中山大学概率统第1章习题解

习题一
1. 用以样本点为元素的集合的形式写出下列试验的样本空间及事件A ,B .
1) 投掷一颗骰子,记录出现的点数.A =“出现奇数点”.
2) 投掷一颗骰子两次,记录出现点数.A =“两次点数之和为10”,B =“第一次的点数比第二次的点数大2”.
3) 一个口袋中有5只编号分别为1,2,3,4,5的球,从中同时取出3只球,观察其结果.A =“球的最小号码为1”.
4) 将a ,b 两个球随机地放到甲,乙,丙三个盒子中去,观察放球情况.A =“甲盒中至少有一球”.
5) 记录在一段时间内通过某桥的汽车流量,A =“通过汽车不足5辆”,B =“通过的汽车不少于3辆”.
2. 设,,A B C 都是事件,试通过对,,,,,A B C A B C 中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件:
1) ,,A B C 中仅有A 发生.
2) ,,A B C 中至少有两个发生.
3) ,,A B C 中至多两个发生.
4) ,,A B C 中恰有两个发生.
5) ,,A B C 中至多有一个发生.
3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:
A =“三次都是红的”,
B =“三次颜色全同”,
C =“三次颜色全不同”,
D =“三次颜色不全同”,
E =“三次中无红”,
F =“三次中无红或无黄”. 解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有3464=种可能，因此样本空间含有64个样本点。

每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，因此事件A 含有8个样本点。

3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，3次抽球都抽到黄球共有311=种可能，3次抽球都抽到白球共有311=种可能，因此事件B 含有81110++=个样本点。

3种颜色的排列有333!6A ==种，对应于每一种排列，抽到的球有2112⨯⨯=种可能，
因此事件C 含有6212⨯=个样本点。

因为事件B 含有10个样本点，故事件D B =含有641054-=个样本点。

每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有328=种可能，因此事件E 含有8个样本点。

3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有3327=中可能，3次都抽不到红球和黄球有311=中可能，因此事件F 含有827134+-=个样本点。

由上可得
()8/641/8P A ==， ()10/645/32P B ==， ()12/643/16P C ==，
()54/6427/32P D ==， ()8/641/8P E == ()34/6417/32P F ==。

4. 5个人依次抽5条签,取后不放回.
1) 如果5条签中有1条上签,求第3人抽中上签的概率.
2) 如果5条签中有1条上签,求前3人中有一人抽中上签的概率.
3) 如果5条签中有两条上签,求后两个人都抽不到上签的概率.
解 5个人依次抽5条签,有55
5!120A ==种结果，故样本点总数为120。

1） 第3人抽到上签,其余的人抽到余下的签,有44
4!A =种结果,故所求的概率为 4!/5!1/5=。

2) 类似1),前3人中每人抽中上签都有44
4!A =种结果,故共有34!⨯种结果,所求的概率为
(4!3)/1203/5⨯=。

3) 从这5条签中取出两条上签和1条非上签有3种可能，前3人抽取这3条取出的签有3!6=种可能，后2人抽取余下的两条签有2种可能，故共有36236⨯⨯=种结果，所求的概率为
36/1203/10=。

5. 袋中有10个球,其中有5个红球,3个黄球和2个白球.现从这10个球任取5个.
1) 求这5个球中恰有3个红球的概率.
2) 求这5个球中恰有3个红球,1个黄球和1个白球的概率.
解 不考虑取球的次序，从10个球中选取5个有510252C =种可能，故样本点总数为252。

1） 从5个红球中取出3个红球，有35
10C =种可能，从剩下的5个球中取出2个球，有25
10C =种可能，故样本点数为1010100⨯=，所求得概率为 100/25225/63=。

2） 从5个红球中取出3个红球，有35
10C =种可能，从剩下的5个球中取出1个
黄球和1个白球，有11
32326
C C=⨯=种可能，故样本点数为10660
⨯=，所求得概率为
60/2525/21
=。

6.在5对夫妻中任选4人,求至少有一对夫妻被选中的概率.
解1考虑选出的人的次序。

在5对夫妻10个人中选出4人有109875040
⨯⨯⨯=种可能，样本点总数为5040。

先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。

第1人可以在5对夫妻10人中任选，第2人可以在余下的4对夫妻8人中任选，第3人可以在余下的3对夫妻6人中任选，第4人可以在余下的3对夫妻4人中任选，故事件A含有108641920
⨯⨯⨯=个样本点。

由上知A含有504019203120
-=个样本点，事件A的概率是
3120/504013/21
=。

解2考虑选出的人的次序。

在5对夫妻10个人中选出4人有4
1010!/6!5040
A==种可能，样本点总数为5040。

先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻被选中”含的
样本点数。

在5对夫妻中先选出4对排列，有4
55!/1!120
A==种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有4216
=种选法，故事件A含有120161920
⨯=个样本点。

因而A含有504019203120
-=个样本点，事件A的概率是
3120/504013/21
=。

解3不考虑选出的人的次序。

在5对夫妻10个人中选出4人有4
10210
C=种可能，样本点总数为210。

先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻
被选中”含的样本点数。

在5对夫妻中先选出4对，有4
55
C=种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有4216
=种选法，故事件A含有51680
⨯=个样本点。

由上知A含有21080130
-=个样本点，事件A的概率是
130/21013/21
=。

7.有9个学生,其中有3个女生,把他们任意地分到3个小组,每组3人.求每组都有一个女生的概率.
解不考虑分到各组的人的次序。

在9个学生中选出3个人分到第1组有3
984
C=种可
能，在余下的6个学生中选出3个人分到第2组有3
620
C=种可能，把最后的3个学生
分到第3组有1种可能。

样本点总数为842011680⨯⨯=。

在6个男生和3个女生中各选出2个和1个分到第1组有216
345C C =种可能，在余下4个男生和2个女生中各选出2个和1个分到第2组有214212C C =种可能，把最后的2
个男生和1个女生分到第3组有1种可能，事件含有45121540⨯⨯=个样本点。

所求的概率是
540/16809/28=。

8. 同时投掷3个骰子,求掷出的3个面的点数之和是6的概率.
解 样本点总数为。

投掷3个骰子，有36216=种可能的结果.
掷出的3个面的点数之和是6的结果的数目恰好等于多项式
234563323453()()(1)Q x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++
中7x 的系数.因为
23453(1)x x x x x +++++
23456789102345(1234565432)(1)x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++++ 23456789101234565432x x x x x x x x x x =++++++++++
234567891011234565432x x x x x x x x x x x +++++++++++
23423x x x ++++
342x x +++
4x ++
5x ++，
上式中3x 的系数是432110+++=,故()Q x 中6x 的系数是10.因而所求的概率是
10/2165/108=.
9. 某学校四个年级的学生各占四分之一,从中任意地抽出6名,求其中每个年级的学生都至少有一名的概率(设学生人数很多,抽取几个学生后各年级学生比例的改变可以忽略).
解 以i A 记取不到i 年级的学生,1,2,3,4i =.则
6()(3/4)i P A =,16i ≤≤; 6()(2/4)i j P A A =,14i j ≤<≤;
6()(1/4)i j k P A A A =,14i j k ≤<<≤; 61234()(0/4)P A A A A =.
1234()P A A A A
1234141414()()()()i i j i j k i i j i j k P A P A A P A A A P A A A A ≤≤≤<≤≤<<≤=
-+-∑∑∑
162636464
446(3/4)(2/4)(1/4)(0/4)0.8066C C C C =-+-=. 所求的概率是
12341()10.61910.3809P A A A A -=-=.
10. 一个口袋中有标有号码1到5号的球各一个,另一个口袋中有标有号码3,5,7,10的球各一个.从这两个口袋中随机地各摸出一个球,则摸出的两个球的号码之和不少于9的概率是多少?
解 样本空间含有5420⨯=个样本点，事件A =“两个球的号码之和不少于9”含有11个样本点(1,3)，(1,5),(1,7),(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,3)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)。

所求的概率是
11/20。

11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生
的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概
率.
解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的X
天和Y 天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当
||1/2X Y -≤（如右图）
，从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为7/8，故两人的出生时间相差不到半天的概率为
7/87/162
=。

12. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?
解 设A =“订阅日报”，B =“订阅晚报”，C =“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 65%55%75%30%50%40%20%95%=++---+=。

13. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少?
解 掷五枚硬币，有5232=种结果，样本点总数是32。

则i A =“恰好出现i 个正面”，
0,1,2,3,4,5i =。

在5枚硬币中选出i 个，有5
i C 种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币出现反面，有1种可能。

故事件i A 含有5i C 个样本点。

设B =“至少出现两个正面”，
则B 的对立事件B =“至多出现一个正面”0
1A A =含有015
56C C +=个样本点，事件B 含有32626-=个样本点。

因而 ()26/3213/16P B ==.
又3A 含有35
10C =个样本点，故 3()10/325/16P A ==。

从而所求的条件概率为
333()()10/32(|)5/13()()26/32
P A B P A P A B P B P B ====。

14. 设()1/6P U =,()5/12P V =,(|)(|)7/10P U V P V U +=,求概率()P UV . 解 (|)(|)7/10P U V P V U +=，
()()7/10()()P UV P VU P V P U +=，
()()7/105/121/6P UV P VU +=， 7/10()1/1212/56
P VU ==+。

15. 盒中放有6个乒乓球,其中有4个是新的.第一次比赛时从中任取2个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取2个,求第二次取出的球都是新球的概率.又已知第二次取出的球都是新球,求第一次取到都是新球的概率.
解 设0B =“第一次取出的求中没有个新球”,1B =“第一次取出的求中有1个新球”，2B =“第一次取出的求中有2个新球”。

A =“第二次取出的球都是新球”.则 001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 21434232432124962424/25656565656565900
++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==. 222()(|)(4/6)(3/5)(2/6)(1/5)(|)1/6()4/25
P B P A B P B A P A ⨯⨯⨯===.
16. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是p .求李小姐没有收到电子邮件的条件概率.
解 设A =”李小姐没有收到电子邮件”,B =“张先生没有收到李小姐的答复”.则
()P A p =，(|)P B A p =，(|)1P B A =。

()()(|)1(|)()()(|)()(|)(1)2P AB P A P B A p P A B P B P A P B A P A P B A p p p p
====++--。

17. 同卵双胞胎有相同的性别,异卵双胞胎有一半有相同的性别,双胞胎中同卵双胞胎的概率是p .如果某对双胞胎有相同的性别,求他们是同卵双胞胎的概率.
解 设A =“双胞胎为同卵”,B =“双胞胎有相同性别”.则
()P A p =，(|)1P B A =，(|)1/2P B A =。

()()(|)2(|)()()(|)()(|)(1)/21
P AB P A P B A p p P A B P B P A P B A P A P B A p p p ====++-+。

18. 设有甲乙丙三个箱,甲箱内有1a 个白球和1b 个黑球,乙箱内有2a 个白球和2b 个黑球,丙箱内有3a 个白球和3b 个黑球.今任意取出一箱,再自此箱中任意取出一球,结果发现此球为白球.试求在这种情况下“取到的球属于甲箱”条件概率.
解 以A 表示事件“取到的球是白球”,分别以123,,B B B 表示“取到甲箱”,“取到乙箱”,“取到丙箱”.则
33121112233
111()()(|)333i i i a a a P A P B P A B a b a b a b ===⋅+⋅+⋅+++∑， 1
311112*********()()(|)()(|)1()()()a a b P B P A B a a b P B A P A a a b a a b -⎛⎫++==++ ⎪++⎝
⎭.
19. 设,,A B C 都是事件.又A 和B 独立,B 和C 独立,A 和C 互不相容.()1/2P A =, ()1/4P B =,()1/8P C =.求概率()P A B C . 解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P A P B P A P C ==++-- 1/21/41/8(1/2)(1/4)(1/2)(1/8)13/16=++--=。

20. 两个人轮流抛一个硬币,约定谁先抛出正面谁为胜者.求先抛者获胜的概率. 解1 设i A =“第i 次抛出正面”，A =“先抛者获胜”。

则
{}(21)12211221111()()()22/3k k k k k k k k P A P A A A P A A A +∞+∞+∞
-+++=======∑∑。

解2 设先抛者获胜的概率为x ，则后抛者获胜的概率为/2x ，解方程
/21x x +=
图6.1
得2/3x =，故先抛者获胜的概率为2/3。

21. 三个人轮流抛一个骰子,约定谁先抛出6点谁为胜者.求先抛者获胜的概率. 解1 获胜的概率为
{}313311331111()()()(5/6)(1/6)30/91k k k k k k k k P A P A A A P A A A +∞+∞+∞
-++=======∑∑。

解 2 设先抛者获胜的概率为x ，则第二个和第三个获胜的概率分别为为5/6x 和25/36x ，解方程
5/625/361x x x ++=
得30/91x =，故先抛者获胜的概率为30/91。

22. 设,A B 都是事件.证明如果()1P A =或()0P A =,则,A B 相互独立.
证 1）设()0P A =。

则
又0()()0P AB P A ≤≤=，故()0P AB =。

因而
()()()P AB P A P B =。

由此得,A B 相互独立.
2) 设()1P A =。

则
()1()0P A P A =-=.
又0()()0P AB P A ≤≤=，故()0P AB =。

因而
()()()()()()P AB P B P AB P B P A P B =-==。

由此得,A B 相互独立.
23. 小张,小李,小王三位朋友射击的命中率分别是0,2,0.3,0.4,每人射击一次,求至多有一人没有命中的概率.
解 分别以A ，B 和C 记小张,小李和小王三位命中，则所求的概率是
()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC +++
()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+++
0.20.30.60.20.70.40.80.30.40.20.30.40.212=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=。

24. 设线路中有元件,,,,A B C D E 如图6.1,它们是否
断开是独立的,断开的概率分别是
0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.
解 设A A =“断开”,B B =“断开”, C C =“断开”, D D =“断开”,E E =“断开”,
T =“线路断开”
.则()0.6P A =,()0.5P B =,()0.4P C =,()0.3P D =,()0.2P E =. (){[()]}[()]()[()]P T P A B CD E P A B CD P E P A B CDE ==+-
()()()()()()()P ACD P BCD P ABCD P E P ACDE P BCDE P ABCDE =+-+--+ 0.60.40.30.50.40.30.60.50.40.30.20.60.40.30.2=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯ 0.50.40.30.20.60.50.40.30.2-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯
0.0720.0600.03600.2000.01440.01200.00720.2768=+-+--+=
解2 ()()()()0.50.60.50.60.8P A B P A P B P AB =+-=+-⨯=,
[()]()()()0.80.40.30.096P A B CD P A B P C P D ==⨯⨯=,
(){[()]}[()]()[()]()P T P A B CD E P A B CD P E P A B CD P E ==+- 0.0960.20.0960.20.2768=+-⨯=.
25. 应聘某项工作要先后过4道关,各道关的淘汰率分别是60%, 50%, 50%, 20%,求应聘失败的概率.
解 分别以A ，B ，C 和D 记通过这4道关，以E 记应聘成功。

则
()()()()()()40%50%50%80%0.08P E P ABCD P A P B P C P D ===⨯⨯⨯=。

因而应聘失败的概率为
()1()0.92P E P E =-=。

26. 在某个电子游戏中,甲乙两人同时向同一个目标射击,甲的命中率是0.5,乙的命中率是0.4.如果两人都命中目标,则目标“死亡”的概率是0.9.如果刚好有一人命中目标,则目标“死亡”的概率是0.6.如果无人命中目标,则目标“死亡”的概率是0.
1) 求目标“死亡”的概率.
2) 如果已知目标死亡,求两人都命中目标的概率.
3) 如果已知目标死亡,求甲命中目标的概率.
解 设A =“甲命中”,B =“乙命中”,D =“目标死亡”
. 1) ()()(|)()(|)()(|)()(|)P D P AB P D AB P AB P D AB P AB P D AB P AB P D AB =+++ 0.50.40.90.50.60.60.50.40.60.50.60=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.
0.180.180.120.48=++=。

2) ()(|)0.50.40.93(|)(|)0.488
P AB P D AB P AB D P C D ⨯⨯===.
3) ()(|)()(|)(|)(|)(|)()()P AB P D AB P AB P D AB P A D P AB D P AB D P D P D =+=
+ 0.50.40.90.50.60.630.480.484
⨯⨯⨯⨯=
+=. 27. 某人在罚球线投篮命中率为0.4,投篮3次.求最多只有一次命中的概率. 解 分别以1A ，2A 和3A 记第1次，第2次和第3次投篮命中，所求得概率是
32123123123123()()()()0.630.40.60.648P A A A P A A A P A A A P A A A +++=+⨯⨯=。

28. 某人左右两个口袋各有一盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴.经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完,如果最初两盒中各有n 根火柴,求这时另一盒中还有r 根火柴的概率(提示:按照左边一盒或右边一盒为空盒分为两种情形,但必须注意到两盒都是空盒的情形).
解 可能出现两种情况：
1) 取了2n r -次以后，左边合中没有火柴，右边合中有r 根火柴，第21n r -+次取
到左边的合子。

出现这种情况的概率是212(1/2)(1/2)
n n r n r p C --=。

2) 取了2n r -次以后，右边合中没有火柴，左边合中有r 根火柴，第21n r -+次取
到右边的合子。

出现这种情况的概率也是222(1/2)(1/2)
n n r n r p C --= 所求的概率是2122(1/2)
n n r n r p p C --+=
29. 设,,A B C 是事件,证明:
1) (|)(|)(|)P BC A P B A P C AB =.
2) 以下两个式子等价:
(|)(|)P C AB P C B =, (|)(|)(|)P AC B P A B P C B =.
(注:第一式称为Markov 性,第二式称为条件独立) 证 1) ()()()(|)(|)(|)()()()
P BA P ABC P ABC P B A P C AB P BC A P A P AB P A ===. 2) ()()()(|)(|)(|)()()()P ABC P AB P BC P AC B P A B P C B P B P B P B =⇔
= ()()(|)(|)()()P ABC P BC P C AB P C B P AB P B ⇔
=⇔=.
30. 设()0P B >,利用条件概率的定义证明
0(|)1P A B ≤≤, (|)1P B Ω=, (|)0P B φ=,
121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-
证 因为AB B ⊂，故()()P AB P B ≤。

又()0P AB ≥,故
()0(|)1()P AB P A B P B ≤=≤。

()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===。

()()0(|)0()()()P B P P B P B P B P B φφφ====。

12121212[()]()()()(|)()()P A A B P A B P A B P A A B P A A B P B P B +-== 1212(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+-。

31*. 证明注5.1中的三元组(,,)B P ΩF 是一个概率空间.
证 由于(,,)P ΩF 是一个概率空间，故F 满足公理1.1.从上题知B P 满足公理1.2之1)和2),下证B P 满足公理1.2之3).若12,,
A A ∈F 且互不相容,则 ()(){}()111
11()()()()()n
n
n n n n B n B n n n P A B P A B P A B P A P A P B P B P B ∞∞∞==∞∞=======∑
∑.
32*. 证明命题4.4.
提示:把( 4.2)中的,,,i j k A A A 分别换成,,,i j k A A A ,再利用事件运算的对偶律. 证 把命题4.3中的,,,i j k A A A 分别换成,,,i j k A A A 1
2()n P A A A ⋅⋅⋅ 11()()i i j i n i j n P A P A A ≤≤≤<≤=
-∑∑1121()(1)()n i j k n i j k n P A A A P A A A -≤
<<≤+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑.
由事件运算的对偶律有 ()1()i i P A P A =-,
()1()i j i
j P A A P A A =-, ()1()i
i j k j k P A A A P A A A =-,
1212()1()n n P A A A P A A A ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅.
由此得
12111()[1()][1()]n i i j i n i j k
P A A A P A P A A ≤≤≤<≤-⋅⋅⋅=
---∑∑ 1121[1()](1)[1()]n i j k n i j k n P A A A P A A A -≤<<≤+--⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅∑.
12()n P A A A ⋅⋅⋅
11()()i i j i n i j k P A P A A ≤≤≤<≤=
-∑∑
1121()(1)()n i j k n i j k n
P A A A P A A A -≤<<≤+
-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑
12(1(1))n n n n n C C C +-+++- 11()()i i j i n i j k P A P A A ≤≤≤<≤=
-∑∑
1121()(1)()n i j k n i j k n P A A A P A A A -≤<<≤+
-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑(11)n +-
11()()i i j i n i j k P A P A A ≤≤≤<≤=-∑∑
1121()(1)()n i j k n i j k n P A A A P A A A -≤<<≤+
-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑。

习题一参考答案
1. 1) {1,2,3,4,5,6}Ω=,{1,3,5}A =.
2) Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6),,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. A ={(4,6),(5,5),(6,4)}, B ={(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}. 3) Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(3,4,5)},
A ={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}. 4) {Ω=(,,)ab --,(,,)ab --,(,,)ab --,(,,)a b -,(,,)b a -,(,,)a b -,(,,)b a -, (,,)a b -,(,,)b a -}
A ={(,,)ab --,(,,)a b -,(,,)b a -,(,,)a b -,(,,)b a -}.
其中(,,)ab --表示甲盒有,a b 两个球,另两盒没球,其余类推.
5) {0,1,2,}Ω=, {0,1,2,3,4}A =, {3,4,5,}B =.
2. 1) ABC ; 2) AB AC BC ; 3) A B C (或ABC ); 4) ABC ABC ABC ;
5) ABC ABC ABC ABC .
3. ()1/8P A =, ()5/32P B =, ()3/16P C =, ()27/32P D =; ()1/8P E =, ()17/32P F =.
4. 1) 1/5; 2) 3/5; 3) 3/10.
5. 1) 25/63; 2) 15/63.
6. 13/21..
7. 9/28.
8. 5/108.
9. 0.3809.
10. 11/20.
11. 7/16.
12. 95%.
13. 5/13.
14. 1/12.
15. 4/25, 1/6.
16. 1/(2)p -.
17. 2/(1)p p +.
18. 1
311
211122133()()1()()a a b a a b a a b a a b -⎛⎫
++++ ⎪++⎝⎭
19. 23/32.
20. 2/3
22. 36/91.
23. 0.212.
24. 0.2768
25. 92%.
26. 0.48; 3/8; 3/4.
27. 0.648.
28. 22/2n n r n r C --.。