深圳布吉街道布吉中学九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．33
C ．3
D ．332
+ 2．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）
A ．54°
B ．30°
C ．36°
D ．60°
4．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（ ）
A ．5π
B ．7.5π
C ．253π
D ．10π 5．如图，在O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，⊥OD AB ，O
E AC ⊥，
垂足分别为D ，E ，若4AB =，则
O 的半径是（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．42 6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（ ）
A ．212cm π
B ．224cm π
C ．236cm π
D ．248cm π 7．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．55︒
C ．70︒
D ．65︒
8．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（ ）
A ．333
B ．2
C ．3
D ．339．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点
E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点
F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）
A ．393+
B ．2103+
C ．353+
D ．53
10．如图，在△ABC 中，
（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；
（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；
（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；
（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P ．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
①BC ＝2NC ；②AB ＝2AM ；③点P 是△ABC 的内心；④∠MON ＋2∠MPN ＝360°． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ） A ．18cm 2 B ．218cm π C ．27cm 2 D ．227cm π 12．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．80°
D ．45°
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC ，BD 交于点E ，且AC BD AB ==，若70AEB ∠=︒，则AOB ∠等于______︒．
14．已知O的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．
OA=，AB是O的切线，点B是切点，弦15．如图，A是半径为1的O外一点，2
BC OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．
//
16．一点到O上的最近距离为3cm，最远距离为11cm，则这圆的半径是______．17．如图，点C，D是半圈O的三等分点，直径43
AB=．连结AC交半径OD于E，则阴影部分的面积是_______．
、分别为O的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边18．如图，AB AC
形的一边，则n的值为_______________________．
=，
19．如图，已知AD为半圆形O的直径，点B，C在半圆形上，AB BC
AD=，则AC的长为________．
∠=︒，8
BAC
30
20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度
AB=12米，拱高CD=4米，则该拱桥的半径为____米．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在y 轴上，∠C=90°，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分∠BAC 交边BC 于点E ，经过点A 、D 、E 的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 轴相交于另一点G ．
(1)求证：BC 是⊙F 的切线；
(2)若点A 、D 的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，求⊙F 的半径；
(3)请直接写出线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的数量关系：___________________．
22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 在小正方形的顶点上，将线段AB 绕着点O 顺时针方向旋转90°，得到线段A 1B 1．
（1）在网格中画出线段A 1B 1
（2）计算线段AB 在变换到A 1B 1的过程中扫过的区域的面积（重叠部分不重复计算）
23．已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C 为⊙O 上一点． （Ⅰ）如图①，求∠ACB 的大小；
（Ⅱ）如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ．若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．
24．如图，AC 为O 的直径，4AC =，B 、D 分别在AC 两侧的圆上，60BAD ∠=︒，
BD 与AC 的交点为E ．
（1）求点O 到BD 的距离及OBD ∠的度数；
（2）若2DE BE =，求cos OED ∠的值和CD 的长．
25．如图1是某人荡秋千的情形，简化成图2所示，起始状态下秋千顶端O 与座板A 的距离为2m （此时OA 垂直于地面），现一人荡秋千时，座板到达点B （OA 不弯曲）．
（1）当BOA 30∠=时，求AB 弧的长度（保留π）；
（2）当从点C 荡至点B ，且BC 与地面平行，3m BC =时，若点A 离地面0.4m ，求点B 到地面的距离（保号根号）．
26．如图，半径为2的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，求劣弧MN 的长度．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，利用两点之
间线段最短和垂线段最短可判断此时FB＋FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．
【详解】
解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，
则FB＝FB′，
∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，
此时FB＋FE的值最小，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B′AC＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
∵AB＝AB′，
∴△ABB′为等边三角形，
∵B′E⊥AB，
∴AE＝BE＝3
2
，
∴B′E3＝33
2
，
即BF＋EF的最小值为33
2
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．
2．B
解析：B
【分析】
根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】
解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理求出∠AOB ，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO ，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵∠ACB ＝54°，
∴圆心角∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，
∵OB ＝OA ，
∴∠ABO ＝∠BAO ＝
12
（180°﹣∠AOB ）＝36°， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB 的度数是解此题的关键． 4．B
解析：B
【分析】
设AC=a ，BC=b ，由勾股定理可求得a 2+b 2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab ，进而可求得△ABC 的面积．
【详解】
解：设AC=a ，BC=b ，由题意，AB=10，
∴a 2+b 2=102， 由图可知，空白部分面积为（
25122ab π-）， 阴影部分面积= 22111251()()2222222
a b ab ab πππ⨯+⨯⨯+-+
= 22()2582a b ab ππ+-+ =
1002582
ab ππ-+ = ab ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，
∴ab =3（25122
ab π-）， 解得：15ab π=，
∴△ABC=
12
ab =7.5π， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据垂径定理可知，AE=CE ，AD=BD ，易证四边形ODAE 是正方形，即可求得．
【详解】
如图，连接OA
∵⊥OD AB ，OE AC ⊥，AB ⊥AC
∴四边形ODAE 是矩形，AE=CE ，AD=BD
又∵4AB AC ==，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE 是正方形，且边长为2
∴O 的半径OA=22
故选A
【点睛】
本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
首先证明△OCD 是等边三角形，求出OC=OD=CO=3cm ，再根据S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD ，求解即可．
【详解】
解：如图，连结CD ．
∵OC=OD ，∠O=60°，
∴△OCD 是等边三角形，
∴OC=OD=CO=3cm ，
∴OA=OC+AC=15cm ，
∴OB=OA=15cm ，
∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD =226015603360360
ππ⋅⋅⋅⋅-=236cm π． 故选C ．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质与判定等知识．扇形的面积=2
360n r π︒． 7．C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理可得270AOB ADB ∠=∠=︒，再利用垂径定理即可求解．
【详解】
解：连接OB ，
∵35ADB ∠=︒，
∴270AOB ADB ∠=∠=︒，
∵OA BC ⊥，
∴AB AC
=，
∴70
∠=∠=︒，
AOC AOB
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、同弧所对的圆心角相等，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
+的最小值，进而求解即可．利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE PF
【详解】
解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
+最小，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PE PF
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
+的最小值为3．
∴PE PF
故选C．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
先推出∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，证明Rt△EFO≌Rt△DFO，得到
∠EOF=∠DOF=30°，根据EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，得出EF=23，推出点C在以EF为直径的半圆上，设EF中点为G，得出当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，求出OG，CG即可得出答案．
【详解】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠DAE是DE所对的圆周角，∠DOE是DE所对的圆心角，
∴∠DOE=2∠DAE=60°，
连接OE，OD，OF，
∵过点E，D作O的切线交于点F，
∴∠FEO=∠FDO=90°，
∴在Rt△EFO和Rt△DFO中
EO DO FO FO
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△EFO≌Rt△DFO（HL），
∴∠EOF=∠DOF=30°，
又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，∴EF=23
又∵点F恰好是腰BC上的点，∠ECF=90°，∴点C在以EF为直径的半圆上，
∴设EF中点为G，则EG=FG=CG=1
2EF=
1
2
×233，
∴当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，在Rt△OEG中，OE=6，3
∴22
OE EG
+39，
∴393
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，证明
Rt△EFO≌Rt△DFO是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
利用垂径定理可对①②进行判断；利用圆周角定理可得到CM、AN为角平分线，则利用
三角形内心的定义可对③进行判断；根据P是△ABC的内心得出∠APC=90°+1
2
∠B，进而
得出∠MON+∠B=180°，再代入求解即可．
【详解】
解：作BC的垂直平分线，则ON平分BC，则BC＝2NC，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分AB，则AB＝2AM，2AM＞AB，所以②错误；∵M点为AB的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为BC的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-1
2∠BAC-1
2
∠BCA=180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1 2(180°-∠B)=90°+
1
2
∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形内心及外心的性质、线段的垂直平分线的尺规作图等，熟练掌握各图形的性质及尺规作图步骤是解决本题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：底面周长是2×3π=6π，
则圆锥的侧面积是：1
2
×6π×6=18π（cm2）．
故选：B．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
12．B
解析：B
【分析】
设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．
【详解】
解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，
则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，
在Rt △BEO 和△BFO 中，
OE OF OB OB
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）
∴∠1=∠2，
同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，
即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=110°，
∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
二、填空题
13．125【分析】根据题意先求出∠ABE=∠BAE=55°然后由等腰三角形的定义和三角形的内角和定理求出∠C=625°即可求出的度数【详解】解：根据题意∵在圆中有∴∴∴在△ABE 中∴在等腰△ABC 中则∴
【分析】
根据题意，先求出∠ABE=∠BAE=55°，然后由等腰三角形的定义和三角形的内角和定理，求出∠C=62.5°，即可求出AOB ∠的度数．
【详解】
解：根据题意，
∵在圆中，有AC BD AB ==，
∴AC BD =，
∴AD BC =，
∴ABD BAC ∠=∠，
在△ABE 中，70AEB ∠=︒， ∴1(18070)552
ABD BAC ∠=∠=⨯︒-︒=︒， 在等腰△ABC 中，AC AB =则
1(18055)62.52
C ∠=⨯︒-︒=︒， ∴2125AOB C ∠=∠=︒；
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
14．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形
解析：1
【分析】
首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，
O 的面积为π，设半径为r ，
2S r ππ∴==，
∴21r =，
解得，1r =， ∵360606AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，
故1AB OA ==．
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键． 15．【分析】连接OCOB 易证△OAB 为等边三角形由BC ∥OA 得S △OCB ＝S △ACB 把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积【详解】连接OCOB ∵是的切线∴OB ⊥AB 在Rt △OBA 中∵OB=1OA=2∴∠
解析：6π
【分析】
连接OC ，OB ，易证△OAB 为等边三角形，由BC ∥OA ，得S △OCB ＝S △ACB ，把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积．
【详解】
连接OC ，OB
∵AB 是
O 的切线
∴OB ⊥AB
在Rt △OBA 中
∵OB=1，OA=2
∴∠AOB=60°
又∵//BC OA
∴∠OBC=60°
∵OB=OC
∴△OAB 为等边三角形
又∵BC ∥OA ∴S △OCB ＝S △ACB
∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360
π⨯⨯ =6π
故答案为：
6
π 【点睛】 本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．
16．4cm或7cm【分析】当点P在圆内时点P到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径当点P在圆外时点P到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径知道了直径就能确定圆的半径【详解】当点P在圆外时如图1点P到
解析：4cm或7cm
【分析】
当点P在圆内时，点P到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径．当点P在圆外时，点P到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径．知道了直径就能确定圆的半径．
【详解】
当点P在圆外时，如图1，点P到圆的最大距离与最小距离的差为8cm，就是圆的直径，所以半径是4cm．
当点P在圆内时，如图2，点P到圆的最大距离与最小距离的和为14cm，就是圆的直径，所以半径是7cm．
故答案是：4cm或7cm．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．
17．【分析】连接OC由点CD是半圆O的三等分点得到根据垂径定理得到OD⊥AC∠DOC=60°求得OE=CE=3根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OC∵点CD是半圆O的三等分点∴∴OD
解析：
33 2π-
【分析】
连接OC，由点C，D是半圆O的三等分点，得到AD CD CB
==，根据垂径定理得到OD⊥AC，∠DOC=60°，求得3CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OC ，
∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，
∴AD CD CB ==，
∴OD ⊥AC ，∠DOC=60°，
∴∠OCE=30°， ∵43AB =， ∴OC=23
∴OE=3，CE=3，
∴S 阴影=S 扇形COD -S △OCE =260(23)1333322ππ⋅⋅-⨯=-． 故答案为：3322
π-
． 【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 18．【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出进而得出即可得出n 的值
【详解】解：如图所示连接AOBOCO ∵ABAC 分别为⊙O 的内接正方形内接正三边形的一边∴∴∴故答案为：12【点睛】此题主要考查了正多边形
解析：12
【分析】
根据正方形以及正三边形的性质得出360904
AOB ︒∠=
=︒，3603120AOC ==︒∠︒，进而得出30BOC ∠=︒，即可得出n 的值．
【详解】
解：如图所示，连接AO ，BO ，CO ．
∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴360904AOB ︒∠==︒，3603120AOC ==︒∠︒， ∴30BOC ∠=︒，
∴3601230n ︒==︒
， 故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出30BOC ∠=︒是解题关键． 19．【分析】连接CD 由已知可以得到∠B=120°所以∠D=60°然后在Rt △ACD 中计算AC 即可【详解】解：如图所示连接CD ∵∴∠B=120°∴∠D=60°∵AD 为直径∴∠ACD=90°∴CD=4∴AC
解析：43
【分析】
连接CD ，由已知可以得到∠B=120°，所以∠D=60°，然后在Rt △ACD 中计算AC 即可．
【详解】
解：如图所示，连接CD
∵AB BC =，30BAC ∠=︒
∴∠B=120°
∴∠D=60°
∵AD 为直径
∴∠ACD=90°
∴CD=4
∴3【点睛】
本题主要考查圆的内接四边形对角性质，掌握直径所对的圆周角是90°和圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
20．65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m
解析：6.5
【分析】
根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，
根据垂径定理，得AD=6 m ，
利用勾股定理可得：()2
2264AO AO =--，
解得：AO =6.5m ．
即圆弧半径为6.5米，
故答案为：6.5．
【点睛】
本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题
21．（1）见解析；（2）
52；（3）AG=AD+2CD ． 【分析】
（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；
（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）作FR ⊥AD 于R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．
【详解】
（1）证明：连接EF ，
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠FAE=∠CAE ，
∵FA=FE ，
∴∠FAE=∠FEA ，
∴∠FEA=∠EAC ，
∴FE ∥AC ，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；
（2）解：连接FD ，
∵A(0,−1)，D(2,0)，
∴OA=1,OD=2.
在Rt △FOD 中，
∵222
OF OD DF += 设⊙F 的半径为r ，
∴r 2=（r-1）2+22，
解得，r=52，即⊙F 的半径为52
； （3）解：AG=AD+2CD ．
证明：作FR ⊥AD 于R ，
则∠FRC=90°，
又∵BC 是⊙F 的切线；
∴∠FEC=∠C=∠FRC=90°，
∴四边形RCEF 是矩形，
∴EF=RC=RD+CD ，
∵FR ⊥AD ，AF=FD,
∴AR=RD ， ∴EF=RD+CD=12
AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．
【点睛】
本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）2π．
【分析】
（1）分别连接AO 、BO ，均以O 为圆心顺时针旋转90°，找到对应点连接即可；（2）根据图形可知11AOA BOB S S S =-扫过扇形面积扇形计算即可．
【详解】
解：（1）见图：
（2）根据图形可知OA ＝13，OB ＝5
∴1AOA S 扇形＝2n 360
r π＝9013360π＝134π 1BOB S 扇形＝2n 360
r π＝905360π＝54π ∴S 扫过面积＝
134
π－54π＝2π 【点睛】 本题主要考查图形的旋转的性质、勾股定理、扇形的面积、割补法求面积、画图等．解题关键是正确画出图形，再根据图形的进行计算，利用大扇形的面积减去小扇形的面积可得．
23．（Ⅰ）50°；（Ⅱ）20°
【分析】
（I ）连接OA 、OB ，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP ＝90°，利用四边形内角和即可求解；
（II ）连接CE ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE ＝90°，利用圆周角定理即可得到∠BAE ＝∠BCE ＝40°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：（Ⅰ）连接OA 、OB ，
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，
∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
∴∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB ＝
12
∠AOB ＝50°； （Ⅱ）连接CE ，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAE＝∠BCE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等内容，作出合适的辅助线是解题的关键．
24．（1）1，30º；（2）1
2
，2
【分析】
(1)作OF⊥BD于点F，连接OD，根据圆周角定理可得出∠DOB=120º，再由
OB=OD=1
2
AC=2，可得出∠OBD的度数，也可以得出OF的长度，
（2）设BF=2x，则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函数值的知识可求出∠OED的度数，也可得出cos∠OED的值，判断出DO⊥AC，然后利用等腰直角三角形的性质可得出CD的长度．
【详解】
（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，
∵∠BAD=60º，
∴∠BOD=2∠BAD=120º，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=30º，
∵AC为⊙O的直径，AC=4，
∴OB=OC=2，
在Rt△BOF中，
∵∠OFB=90º，OB=2，∠OBF=30º，
∴OF=1
2
OB=1，
即点O到BD的距离等于1，
（2）∵OB=OD ，OF ⊥BD 于点F ，
∴BF=DF ，
由DE=2BE ，
设BE=2x ，则DE=4x ，
BD=6x,EF =x,BF=3x ，
∵3 ∴3333
x EF ==, 在Rt △OEF 中，∠OFE=90º，
∵tan ∠OED=OF =3EF
∴∠OED=60º,cos ∠OED=
12， ∴∠BOC=∠OED-∠OBD=30º，
∴∠DOC=∠DOE-∠BOE=90º，
∴∠C=45º，
∴2OC=22
【点睛】
本题考查属于圆的综合题，涉及等腰三角形的性质，三角函数值，及勾股定理等知识，解答此类综合性题目，要求我们熟悉掌握一些小知识，做到将所学的知识融会贯通，难度较大．
25．（1）
3m π；（2）127(52m -． 【分析】
（1）利用弧长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出OD ，结合图形计算即可．
【详解】
解：（1）AB 弧线的长度=
302()1803
m ππ⨯=； （2）如图，
∵OB=OC ，OD ⊥BC ， ∴1322
BD BC ==， 在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， ∴2222372()2OD OB BD =-=
-=， ∴点B 到地面的距离=712720.4252-
+=-， 答：点B 到地面的距离为127(
5m -． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用、弧长的计算、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 26．45
π 【分析】
如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得,OM AB ON AE ⊥⊥，再根据正五边形的内角和可得108A ∠=︒，然后根据四边形的内角和可得72MON ∠=︒，最后弧长公式即可得．
【详解】
如图：连接OM ，ON ，
∵O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，
∴,OM AB ON AE ⊥⊥，
90AMO ANO ∴∠=∠=︒，
∵正五边形的每个内角为(52)1801085
-⨯︒=︒， 108A ∴∠=︒，
∴在四边形AMON 中，36072AMO ANO A MON ∠-∠=-∠∠︒-=︒，
∵O 的半径为2，
∴劣弧MN 的长度为
72241805ππ⨯=．
【点睛】
本题考查了正五边形的内角和、圆的切线的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键．。