山东省聊城市重点中学2025届高三两校联考数学试题

山东省聊城市重点中学2025届高三两校联考数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题
C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”
D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”
2．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3)
B ．70,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．71,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．∅
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21
B ．22
C ．11
D ．12
4．设函数22sin ()1
x x
f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知过点(1,1)P 且与曲线3
y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知函数()(1)x
f x x a e =--，若22lo
g ,a b c ==则（ ）
A ．f (a )<f (b ) <f (c )
B ．f (b ) <f (c ) <f (a )
C ．f (a ) <f (c ) <f (b )
D ．f (c ) <f (b ) <f (a )
7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．
1211e e
r R e e ++-- B ．
111e e
r R e e ++-- C ．1211e e
r R e e
-+++ D ．
111e e
r R e e
-+++ 8．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）
A ．1
22
π-
B ．21π-
C ．22π-
D ．24π-
9．下列与函数y x
=
定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2
x
y =
B ．21log 2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．2
1log y x
= D ．1
4y x =
10．若AB 为过椭圆22
116925
x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）
A ．20
B ．30
C ．50
D ．60
11．设全集U
=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）
A ．[2]5，
B ．[2]3，
C ．[)24，
D ．[)34，
12．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3
214633
f x x x x =-+-的极值点，则20206lo
g a =（ ） A ．1-
B ．1
C 2
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 14．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数；
②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
15．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 16．若12
x ≤
且0x ≠时，不等式2
2ax x a x --≥恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.
（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形； （2）求证：AM 与AN 不垂直；
（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长. 18．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值.
19．（12分）已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；
（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =时求点P 坐标.
20．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2
cos 3
B =． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求cos(2)6
B π
-的值．
21．（12分）已知函数()f x x a x 2=-++．
()1当a 1=时，求不等式()f x 3≤的解集；
()02x R ∃∈，()0f x 3≤，求a 的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12x a t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数，a R ∈）.在以坐标原点为
极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
3cos 24sin 3ρθρθ+=.
（1）若点()2,0A 在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；
（2）已知0a >，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且||PQ
的最小值为
2
a 的值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论.
解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误； 命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确； 命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误； 命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误． 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题. 2、C 【解题分析】
先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫
=-=⎨⎬⎩
⎭
，再求M N ⋃. 【题目详解】
因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩
⎭
， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2
M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝
⎦
，
故选：C. 【题目点拨】
本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题. 3、A 【解题分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【题目详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A.
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少. 4、B 【解题分析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【题目详解】
对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，
因为()()()()()2
22
2sin sin 11
x x x x
f x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；
对于选项D:因为2
22
2sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22
sin 01
f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【题目点拨】
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5、C 【解题分析】
设切点为()00x ,y ，则3
00y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处
的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【题目详解】
若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则
32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1
--===++--，
又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2
002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2
=-
， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6、C 【解题分析】
利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,x
y y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小关系，由此
比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【题目详解】 因为()
()e x f x x
a ，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增；
在同一坐标系中作y c =与22,log ,x
y y x y x ===图象，
22log a b c ==，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.
故选：C
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7、A
【解题分析】
由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【题目详解】
椭圆的离心率：=(0,1)c
e a
∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：
则,n a c R r a c R =+-=--
所以1r R a e +=
-,()1r R e
c e
+=-, ()121111r R e r R e e
n a c R R r R e e e e
+++=+-=+-=+----
故选：A 【题目点拨】
本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 8、C 【解题分析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【题目详解】
由几何体的三视图可得，
几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为22的等腰直角三角形、高为2的棱柱，
故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积， 即2
1
V 12222222
ππ=••-•••=-，
故选C. 【题目点拨】
本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积. 9、C 【解题分析】
分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【题目详解】
函数y =
的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.
B 选项，21log 2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的定义域为R ，不符合. C 选项，2
1
log y x
=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14
y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 10、D 【解题分析】
先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【题目详解】
由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为1
22
S OF y c y =
⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，
由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，
又由22
116925
x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，
所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.
【题目点拨】
本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用. 11、D 【解题分析】
求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解 【题目详解】
由于2log (4)124x x -≤∴≤<
故集合[
)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >
故集合()()35B =-∞⋃+∞，
， ∴
(
)[)|34U
B A ⋂=，
故选：D 【题目点拨】
本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 12、B 【解题分析】
根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【题目详解】
解：依题意1a 、4039a 是函数()3
214633
f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根 ∴140396a a =
又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==
∴2020
1a ==.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
14
【解题分析】
采用列举法计算古典概型的概率. 【题目详解】
抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为1
4
. 故答案为：
14
【题目点拨】
本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14、①②③ 【解题分析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【题目详解】
函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26
ln 2ln 4ln
ln(1)44x f x x x x x
+=+--==-+--， 6
14u x
=-+
-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；
22
116662'()2482(1)993
f x x x x x x =
+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116
'()2428
f x x x x x =
+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的
极小值点，④错误． 故答案为：①②③. 【题目点拨】
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题． 15、1 【解题分析】
试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为1． 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量
，
，，
，
中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列
的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
16、(][),22,-∞-+∞
【解题分析】
将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对a 的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间
11,00,22⎡⎫⎛⎤
-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出a 的取值范围. 【题目详解】
因为2
2ax x a x --≥，所以()()2
2
22ax x a x --≥，所以()()2
2
22ax x a x --≥，
所以()()2
2
220ax x a x ax x a x -----+≥，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩或2230
ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩，
当0a =时，2x x ≥对1
2
x ≤
且0x ≠不成立， 当0a >时，取12x =，2
230
0ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩
，
所以13
04213
042110
42110
42
a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⋅--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪
⎛⎫⎪⋅--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≥；
当0a <时，取12x =-，2230
0ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以2
2300
ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩，
所以13
04213
042110
42110
42
a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⋅--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪
⎛⎫⎪⋅--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≤-，
综上可得a 的取值范围是：(][),22,-∞-+∞.
故答案为：(][),22,-∞-+∞.
【题目点拨】
本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC . 【解题分析】
（1）由平面11ABB A 与平面11DCC D 没有交点，可得AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面，所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ，得证；（2）由四边形1AMC N 是平行四边形，且1MN AC ≠，则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直；（3）先证11Rt ABM Rt C B M ≅，可得M 为1BB 的中点，从而得出B 是PC 的中点，可得PC . 【题目详解】
（1）依题意1A M C N ，，，都在平面1AC 上， 因此AM ⊆平面1AC ，1NC ⊆平面1AC ， 又AM ⊆平面11ABB A ，1NC ⊆平面11DCC D ，
平面11ABB A 与平面11DCC D 平行，即两个平面没有交点， 则AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面， 所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ， 所以四边形1AMC N 是平行四边形；
（2）因为M ，N 两点不在棱的端点处，所以11MN BD AC <=， 又四边形1AMC N 是平行四边形，1MN AC ≠， 则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直； （3）如图，延长1C M 交CB 的延长线于点P ，
若四边形1AMC N 为菱形，则1AM MC =，易证11Rt ABM Rt C B M ≅， 所以1BM B M =，即M 为1BB 的中点， 因此11
2
BM CC =
，且1//BM CC ，所以BM 是1PCC 的中位线， 则B 是PC 的中点，所以22PC BC ==. 【题目点拨】
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.
18、 (I ) ；(II )证明见解析
【解题分析】
(I )直接利用两点间距离公式化简得到答案. (II ) 设，
，联立方程得到
，
，代入化简得到
，计算得
到证明. 【题目详解】 (I ) 椭圆
，故
，
.
(II )设
，
，则将
代入
得到：
，故
，
，
，故，得到，
，故
，同理：
，
由已知得：或
，
故，
即
，化简得到.
故原点到直线l 的距离为为定值.
【题目点拨】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19、（1）
35
10
；（2）证明见解析，(0,1)P 或(2,0)P 【解题分析】
（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标． 【题目详解】
（1）设抛物线C 上点的坐标为2
(,)4
t t ，
则
2
2
|2|35
24)
10
t
t
d t t
--
=-
+，
(1
t=时取等号），
则抛物线C上的点到直线l距离的最小值
10
；
（2）设
1
(A x，
1
)
y，
2
(B x，
2
)
y，
2
1
4
y x
=，
1
2
y x
∴'=，
∴直线PA，PB的方程为分别为1
11
()
2
x
y y x x
-=-，2
22
()
2
x
y y x x
-=-，
由两条直线都经过点P点得1x，2x为方程200
240
x x x y
-+=的两根
120
2
x x x
+=，
120
4
x x y
=，
直线AB的方程为21
11
21
()
y y
y y x x
x x
-
-=-
-，
12
11
()
4
x x
y y x x
+
-=-，
121212
110
1(1)110
4442
x
x x x x x x
y x y
++
---=-+=-+=，
A
∴，Q，B共线．
又
12
13(1)
x x
-=-，
12
43
x x
∴=-，
10
20
120
32
2
24
x x
x x
x x x
=-
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=-
⎩
，
解00
x=，
2
x=，
点0
(P x，
)
y是直线l上的动点，
x
∴=时，
1
y=-，
2
x=时，
y=，
(0,
1)
P
∴-，或(2,0)
P．
【题目点拨】
本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
20
、（Ⅰ）b=
【解题分析】
（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； （Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【题目详解】
（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =， 又3a =，所以1c =，
所以根据余弦定理得，2
29136
b +-=，
解得，b =
（Ⅱ）因为2cos 3B =
，所以sin B =，
21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==
则111cos(2)sin 2()6292B B B π-+=-+． 【题目点拨】
本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题. 21、（1）{}
21x x -≤≤； （2）[]5,1-. 【解题分析】
（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x -≤时，()21f x x =--，
令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，
②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，
令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =， 综上所述，不等式的解集为{}
21x x -≤≤．
（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x R ∃∈，有()3f x ≤成立， 所以只需23a +≤，
解得51a -≤≤，
所以a 的取值范围为[]5,1-． 【题目点拨】 绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 22、（1
cos sin 0θρθ+-= （2
）a =
【解题分析】
（1）利用消参法以及点()2,0A 求解出l 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线l 的极坐标方程； （2）将Q
的坐标设为()
cos αα，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性，求解出||PQ 取最小值时对应a 的值. 【题目详解】
（1）消去参数t 得l
0y +-=， 将()2,0A 代入，可得1a =
0y +-= 所以l
cos sin 0θρθ+-=
（2）C 的直角坐标方程为22
13
y x +=
直线l
0(0)y a +-=> 设Q
的直角坐标为()
cos αα
∵P 在直线上，∴||PQ 的最小值为Q 到直线l 的距离()d α的最小值
()d α=
∵0a >，∴当4πα=，sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时||PQ
取得最小值2
=
a =【题目点拨】
本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数，难度一般.（1）直角坐标和极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==；（2）求解曲线上一点到直线的距离的最值，可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式，然后再去求解.。