翼教版八年级数学下册微专题新定义问题测试题

微专题：新定义问题【河北热点】
1．(2017·湘潭中考)阅读材料：设a→＝(x1，y1)，b→＝(x2，y2)，如果a→∥b→，那么x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空：已知a→＝(2，3)，b→＝(4，m)，若a→∥b→，则m＝________．
2．(2017·吉林中考)我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k互为交换函数．例如：y＝4x＋3的交换函数为y＝3x＋4.―次函数y＝kx＋2与它的交换函数图像的交点横坐标为________.
3．(2017·赤峰中考)在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P′(－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫作点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…、P n、…，若点P1的坐标为(2，0)，则点P2017的坐标为________．4．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah.例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(－3，1)，C(2，－2)，则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20.根据所给定义解决下列问题：
(1)若已知点D(1，2)，E(－2，1)，F(0，6)，则这三点的“矩面积”为________．
(2)若D(1，2)，E(－2，1)，F(0，t)三点的“矩面积”为18，求点F的坐标．
5．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离等于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线l与图形W的相关系数为k.
若图形W是由A(－2，－1)，B(2，－1)，C(2，1)，D(－2，1)顺次连线而成的矩形：
(1)如图①，直线y＝x与图形W相交于点M，N.直线y＝x与图形W成“k相关”，则k的值为线段MN的
长度，即k＝________；
(2)若一条直线经过点(0，1)且与W成“5相关”，则该直线的表达式为______________
____________；
(3)若直线y＝mx＋b(m≠0)与直线y＝3x平行且与图形W成“k相关”，当k≥2时，求b的取值范围．
参考答案与解析
1．6 2.1
3．(2，0) 解析：P 1 坐标为(2，0)，则P 2坐标为(1，4)，P 3坐标为(－3，3)，P 4坐标为(－2，－1)，P 5
坐标为(2，0)，∴P n 的坐标为(2，0)，(1，4)，(－3，3)，(－2，－1)循环．∵2017＝2016＋1＝4×504＋1，∴P 2017 坐标与P 1点相同，故答案为(2，0)．
4．解：(1)15
(2)由题意可得a ＝1－(－2)＝3，当t ＞2时，h ＝t －1，则3(t －1)＝18，解得t ＝7，故点F 的坐标为(0，7)；当1≤t ≤2时，h ＝2－1＝1≠18÷3，故此种情况不符合题意；当t ＜1时，h ＝2－t ，则3(2－t )＝18，解得t ＝－4，故点F 的坐标为(0，－4)，所以，点F 的坐标为(0，7)或(0，－4)．
5．解：(1)2 2
(2)y ＝12x ＋1或y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1或y ＝－1
2
x ＋1
(3)∵直线y ＝mx ＋b (m ≠0)与直线y ＝3x 平行，∴m ＝ 3.∵k ≥2，∴符合题意的临界直线分别经过点(－1，1)，(1，－1)，如图所示．当直线y ＝3x ＋b 过点(－1，1)时，有1＝－3＋b ，解得b ＝1＋3；当直线y ＝3x ＋b 过点(1，－1)时，有－1＝3＋b ，解得b ＝－1－ 3.∴当k ≥2时，b 的取值范围为－1－3≤
b≤1＋ 3.
易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围
——类比各形式，突破给定范围求最值
◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值
1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为________．
2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法12】( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
3．函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．
◆类型二限定自变量的取值范围求最值
4．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是【方法12】( )
A．0，－4 B．0，－3 C．－3，－4 D．0，0
5．已知0≤x ≤3
2
，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )
A ．有最小值34，但无最大值
B ．有最小值3
4
，有最大值1
C ．有最小值1，有最大值19
4
D ．无最小值，也无最大值
6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )
A ．1，－29
B ．3，－29
C ．3，1
D ．1，－3
7．已知0≤x ≤1
2，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．
◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围
8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )
A ．－1≤y ≤5
B ．－5≤y ≤5
C ．－3≤y ≤5
D ．－2≤y ≤1
9．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )
A ．y ≥3
B ．y ≤3
C ．y ＞3
D ．y ＜3
10．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值C
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m
11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．
◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．9
13．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
14．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
15．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.
16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值
1，则m的取值范围是_____________.
参考答案与解析 1．5 2.C
3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋1
3，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该
抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是1
3
.
4．A 5.C
6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.
7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y
随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝1
2时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－22＋2＝－2.5.
8．C
9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.
10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12
，所以a －1＜0.当x ＜12
时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32
.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.
12．A
13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－42
4a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.
14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1
≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.
综上所述，a≤5.故选D.
15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a
4
.∵a≥4，∴x＝
3a
4
≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.
16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a
2×1
＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。