高中数学几类不同增长的函数模型(01)教案

3、2、2、1 函数模型的应用举例
一、【学习目标】
1、培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.
2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.
3、通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.
二、【自学内容和要求及自学过程】 阅读材料，回答问题
我们学习过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系，有着广泛的应用.下面我们通过一些实例，来感受它们的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程.
材料一：我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x ≤40)，试求f(x)和g(x).
结论：f(x)=5x(15≤x ≤40).g(x)=⎩
⎨⎧≤<+≤≤4030,902,
3015,90x x x
材料二：A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.
结论：y=5x 2+
2
5
(100—x)2(10≤x ≤90) 问题：你能说出材料一和材料二分别属于什么样的函数模型吗？ 结论：材料一含有两个函数模型，一次函数模型、分段函数模型； 材料二为二次函数模型. 三、【练习与巩固】
例1、一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间关系如图<1>所示. <1>求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
<2>假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t
h 的函数解析式，并作出相应的图象
.
图<1> 图<2>
结论：<1>阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.
<2>根据图，有s=⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,
10,200450t t t t t t t t t t
这个函数的图象如图<2>所示.
练习一：电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图)所示(其中MN ∥CD).<1>分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；<2>假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由.
图3-2-2-3
结论：<1>先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：
f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤,100,10103,1000,20x x x g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤.500,100103,5000,50x x x
<2>当f(x)=g(x)时,
10
3
x-10=50, ∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可； 当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选方案B.
例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y 0e rt ,
其中t 表示经过的时间，y 0表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
<1>如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
<2>如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
结论：<1>设1951～1959年的人口增长率分别为r 1,r 2,r 3,…,r 9.由55196(1+r 1)=56300，可得1951年的人口增长率为r 1≈0.020 0.同理,可得r 2≈0.0210，r 3≈0.0229，r 4≈0.0250，r 5≈0.0197，r 6≈0.0223，r 7≈0.0276，r 8≈0.0222，r 9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r 1+r 2+…+r 9)÷9≈0.0221.令y 0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55 196e 0.0221t ,t ∈N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e 0.0221t (t ∈N )的图象
由图可看出，所得模型与1950～1959年实际人口数据基本吻合.
<2>将y=130000代入y=55 196e 0.0221t ,由计算器可得t ≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
练习二：一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. <1>求t 年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
<2>由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)
结论：<1>最初的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92；由此推知,t 年后,ω=500×0.9t .<2>解方程500×0.9t =250,则0.9t =0.5,所以t=
9.0lg 5.0lg =1
3lg 22
lg --≈6.6(年),即这种放
射性元素的半衰期约为6.6年.
【归纳】：用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往要对模型进行修正.
四、【作业】
五、【小结】
六、【教学反思】。