高考数学 第三章第4课时 知能演练轻松闯关 新人教A版(

2014年高考数学 第三章第4课时 知能演练轻松闯关 新人教A
版
一、选择题
1．已知cos 2θ＝
23
，则sin 4θ＋cos 4
θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79
D ．－1 解析：选B.sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2
θ
＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 2
2θ)＝1118
.
2．(2012·高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.
7
4
D.3
4
解析：选D.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π. ∴cos 2θ＝－1－sin 2
2θ＝－18，
∴sin θ＝1－ cos 2θ2＝3
4
. 3．(2012·高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2
，则tan 2α＝( )
A ．－34 B.34
C ．－43 D.43
解析：选B.由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1
tan α－1
＝
12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34
. 4．(2013·杭州调研)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2
α＋sin 2α
cos α－
π
4
＝
( )
A ．－255
B ．－3510
C ．－310
10
D.255
解析：选A.由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π
2＜α＜0，所以sin
α＝－
1010
.
故2sin 2
α＋sin 2αcos α－π4＝2sin αsin α＋cos α2
2sin α＋cos α＝22sin α＝－255.
5．tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2
解析：选C.tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3·sin 20°cos 20°
－1) ＝
cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°
cos 20°
＝cos 10°·2sin 20°－30°sin 20°＝－sin 20°sin 20°
＝－1.
二、填空题
6．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝1
2
的锐角x 的大小为________．
解析：由题意知sin π5sin x －cos π5cos x ＝1
2，
即cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π5＋x ＝－12，故x ＋π5＝±23π＋2k π，k ∈Z . 又因为x 为锐角，故x ＝7π
15
.
答案：7π15
7．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．
解析：由tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝tan 45°＝1，
可得tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 答案：2
8.2cos 5°－sin 25°sin 65°
的值为________．
解析：2cos 5°－sin 25°sin 65°
＝2cos 5°－sin 30°－5°sin 65°
＝2cos 5°－12cos 5°＋3
2
sin 5°
cos 25°
＝32sin 5°＋3
2cos 5°cos 25°
＝3
sin 30°sin 5°＋cos 30°cos 5°
cos 25°
＝
3cos 25°
cos 25°
＝ 3.
答案： 3 三、解答题
9．已知tan α
＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π
2
)，求tan(α＋β)的
值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝55，β∈(0，π
2
)，
得sin β＝25
5
，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－13＋21＋2
3
＝1.
∵α∈(π2，π)，β∈(0，π
2)，
∴π2＜α＋β＜3π2
， ∴α＋β＝5π
4
.
10．(2011·高考广东卷)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x －π6，x ∈R .
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π4的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝
⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．
解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫5π12－π6
＝2sin π
4
＝ 2.
(2)f ⎝
⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin α＝1013，∴sin α＝513. 又α∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213.
f (3β＋2π)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.又β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin β＝45，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝16
65
.
一、选择题
1．(2013·洛阳模拟)若cos 2αsin α＋
π4
＝1
2
，则sin 2α的值为( )
A ．－78 B.78
C ．－47 D.47
解析：选 B.
cos 2α
sin α＋
π
4＝cos 2α－sin 2
αsin αcos π4＋cos αsin
π4
＝2(cos α－sin α)＝1
2
，
即cos α－sin α＝
24
，等式两边分别平方得cos 2
α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin 2α＝18，解得sin 2α＝78
. 2．(2013·唐山调研)若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2
β＋sin αcos β＝( ) A.14 B.34
C ．cos 2β
D ．sin 2
α
解析：选B.将β＝α＋30°代入sin 2α＋cos 2
β＋sin αcos β，
整理得sin 2α＋cos 2
(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)
＝sin 2α＋(cos αcos 30°－sin αsin 30°)2
＋sin α(cos αcos 30°－sin αsin 30°)
＝sin 2
α＋(32cos α－12sin α)(32cos α－12
sin α＋sin α)
＝sin 2
α＋(32cos α－12sin α)(32cos α＋1
2
sin α) ＝sin 2α＋(
32cos α)2－(12sin α)2
＝sin 2
α＋34cos 2α－14
sin 2α
＝34(sin 2α＋cos 2
α) ＝34
. 二、填空题
3．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则1＋cos 2α
cos 2α＋sin 2α
的值为________．
解析：由已知得tan α＝－2，则1＋cos 2α
cos 2α＋sin 2α
＝
2cos 2
αcos 2
α＋2sin αcos α＝21＋2tan α＝－2
3
. 答案：－2
3
4．化简：sin 180°＋2α1＋cos 2α·cos 2
α
cos 90°＋α
＝________.
解析：原式＝－sin 2α·cos 2
α
1＋cos 2α·－sin α
＝2sin α·cos α·cos 2
α2cos 2
α·sin α＝cos α. 答案：cos α 三、解答题
5．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π
2
)．
(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2
＝95
，
即1＋sin 2α＝9
5，
∴sin 2α＝4
5.
又2α∈(0，π
2
)，
∴cos 2α＝1－sin 2
2α＝35
，
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝4
3.
(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π
4)，
∴cos(β－π4)＝4
5.
于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝24
25.
又sin 2(β－π
4)＝－cos 2β，
∴cos 2β＝－24
25.
又2β∈(π
2，π)，
∴sin 2β＝7
25
.
又cos 2
α＝1＋cos 2α2＝45，
sin α＋cos α＝35
5
，
∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π
4
))．
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×(－2425)－55×725
＝－11525
.。