2022届高考数学一轮复习平面解析几何件新人教版5

A.2 B.3 C.6 D.9
(2)[并列型]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则
|PA|+|PF|的最小值为
,此时点P的坐标为
.
考法1 抛物线定义的应用
图 9-5-1
考法1 抛物线定义的应用
方法技巧
1.利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨
图 9-5-5
考法3 直线与抛物线的位置关系
考法3 直线与抛物线的位置关系
考法3 直线与抛物线的位置关系
规律总结 1.抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线上任意一点P(x0,y0)到焦点F的距离称为焦半径.过抛物线焦点的直线 与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.设两交点分别为
A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
①对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向不确定需分为y2=2px(p>0)和 y2=-2px(p>0)两种情况求解; ②焦点在x轴上的抛物线为避开讨论,也可设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口 向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦 点在y轴上的抛物线的方程可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在 的坐标轴,应从x轴、y轴两种情况考虑,再设方程. 2.抛物线性质的应用技巧
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹 叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 注意 (1)定点F不能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为 过点F且垂直于l的一条直线;(2)抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦 点的距离与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化.
第九章 平面解析几何
第五讲 抛物线
考点帮·必备知识通关 考点1 抛物线的定义 考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考法帮·解题能力提升 考法1 抛物线定义的应用 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法3 直线与抛物线的位置关系
高分帮 ·“双一流”名校冲刺 提素养· 数学文化
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
考法3 直线与抛物线的位置关系
方法技巧 直线与抛物线的位置关系的求解策略
(1)直线与抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法:把直线方程和 抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,①若Δ>0,则直线与抛物线相交;②若 Δ=0,则直线与抛物线相切;③若Δ<0,则直线与抛物线相离.若得到的是一元一次 方程,则直线与抛物线交于一点,此时直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
命题 类命题常与向量、切线等知识综合进行考查,多以解答题的形式出现,难度中等偏上.
分析
在2022年高考的复习备考中,选择题、填空题的复习要关注抛物线的定义、焦点弦
预测 的性质在解题中的应用;解答题的复习应重视直线与抛物线的位置关系中以焦点弦的性质
及抛物线的切线等为命题背景的问题,注意设而不求法及根与系数的关系在解题中的应用,
考情解读
考点内容
课标 要求
考题取样
情境 载体
1.抛物线的定 了解
义
2020北京,T7
探索 创新
2.抛物线的标 准方程与几何 性质
了解
2020全国Ⅲ,T5
探索 创新
3.直线与抛物 掌握
线的位置关系
2020山东,T13
课程 学习
对应 考法 考法1
考法2
考法3
预测 热度 ★★☆
★★★
★★★
核心 素养 直观想象 逻辑推理 数学运算 直观想象 逻辑推理 数学运算 直观想象 逻辑推理 数学运算
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三
角形. 过抛物线x2=2py(p>0)上A,B两点作抛物线的切线,两切线相交于点P,则 △PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好 过抛物线的焦点F(如图9-5-8所示),则△PAB有
以下基本性质:
(1)点P必在抛物线的准线上. (2)△PAB为直角三角形,且∠APB为直角.
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成
标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
考法3 直线与抛物线的位置关系
图 9-5-3
考法3 直线与抛物线的位置关系
思维导引
条件与 目标
思路与 方法
考法3 直线与抛物线的位置关系
过程与 关键
考法3 直线与抛物线的位置关系
这类问题对数学运算、逻辑推理等核心素养的要求较高.形如x2=2py(p>0)的抛物线,常
与切线相关联,注意导数在解题中的应用.另外,本讲易设置多选题,所以在复习备考中,要注
意对多选题的训练,做到复习全面高效.
考点帮·必备知识通关
考点1 抛物线的定义 考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考点1 抛物线的定义
考情解读
根据近几年的高考命题情况来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛
物线的位置关系一直是高考命题的热点,命题主要体现三个特色:①以定义作为命题思路,
求解轨迹问题、距离问题、最值问题等;②以焦点弦为主线的几何图形为命题背景,求解
焦点弦的长、三角形(四边形)的面积的值(或最值)等;③研究直线与抛物线的位置关系.这
(2)直线与抛物线相交时,常采用根与系数的关系和点差法求解;直线与抛物线相离 时,常考查最值问题,利用数形结合法进行求解;直线和抛物线相切时,切线的斜率
可以用导数求解. (3)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线
考法3 直线与抛物线的位置关系
高分帮·“双一流”名校冲刺
函数的定义域.
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
思维导引
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
图 9-5-2
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
e=1
y≤0,x∈R
考法帮·解题能力提升
考法1 抛物线定义的应用 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法3 直线与抛物线的位置关系
考法1 抛物线定义的应用
示例1 (1)[2020全国卷Ⅰ,5分]已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A
到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=
考法3 直线与抛物线的位置关系
考法3 直线与抛物线的位置关系
考法3 直线与抛物线的位置关系
图 9-5-4
考法3 直线与抛物线的位置关系
思维导引
考法3 直线与抛物线的位置关系
解析 如图9-5-5,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l, 交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=|AF|=4. 由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得 p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. 由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得 p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
方法技巧
1.抛物线的标准方程的求法
(1)定义法
根据抛物线的定义,确定p的值(p的值为焦点到准线的距离),再结合焦点位 置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.
(2)待定系数法 待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的形式已经确
定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.当焦点位置不确 定时,要对四种形式的标准方程进行分类讨论.
图 9-5-8
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
标准
y2=2px
y2=-2px
方程
(p>0)
(p>0)
焦半
径的长
焦点 弦的长
p+(x1+x2)
p-(x1+x2)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
p+(y1+y2) p-(y1+y2)
考法3 直线与抛物线的位置关系
图 9-5-6
考法3 直线与抛物线的位置关系
(4)若N为准线与x轴的交点,则∠ANF=∠BNF. (5)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线. (6)以A1B1为直径的圆与AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°. (7)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点的最短 的弦. (8)以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (9)若M1为A1B1的中点,则M1A⊥M1B. (10)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. (11)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图形
对
几何
称
x轴
y轴
性质
轴
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
顶点
O(0,0)
几何 性质
焦点 准线 方程
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
离心率
迹是否为抛物线.
(2)距离问题:灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等
价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物 线中与距离有关的问题的有效途径. 注意 一定要验证定点是否在定直线上.
考法1 抛物线定义的应用
2.抛物线定义的应用规律
注意 建立函数关系后,一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围,即
提素养· 数学文化 数学文化 阿基米德三角形的几何性质
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
素养探源
核心素养
考查途径
逻辑推理
数学运算
素养水平 二Biblioteka 二数学文化 阿基米德三角形的几何性质
思维拓展
阿基米德三角形的几何性质