复变函数chap5

例 注：
e z 1 函数 2 有些什么奇点？若是极 点，指出级。 z
将f ( z )在 其 孤 立 奇 点 z0的 去 心 邻 域 内 展 开 成 朗 洛级 数 ： f ( z)
n n n n c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) , n n n 0 0 0 n 1 n 0
0 | z z0 | R.
级点判别：
m级级点z0 lim f ( z ) 展开最高负次幂项( z z0 ) m
z
3、零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数f ( z )若能表示成 f ( z) ( z z0 ) m ( z), 其中 ( z )在z0 解析，且 ( z0 ) 0；m为一正整数. 那么，称z0为f ( z )的 m级零点. 如，z 0和z 1分别为f ( z ) z ( z 1)3的一级与三级零点。
则
1 f (z) m g( z ) ( z z0 )
注意到: g ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 ) 2
1 f (z) m g( z ) ( z z0 )
在 z z0 内是解析函数 , 且 g( z0 ) c m 0
f ''' 0 cos z |z 0 1,
于是 f z 有三级零点 z 0 .
问题：零点与极点有什么关系？
定理
z0是f ( z )的m级 极 点 z0是
1 的m级 零 点 。 f ( z)
证明：· z0是f ( z )的m级 极 点 ：
1 f ( z) g ( z ), g ( z )在z0 解 析 ， 且 g ( z0 ) 0. m ( z z0 )
提问：
1、复数列收敛的充要条件（实部、虚部） 2、复数项级数收敛（绝对收敛）的充要条件 3、级数的性质：收敛圆内 解析、可逐项求导、逐项积分
n c z 4、幂级数 n ，求收敛半径的方法： n 0
比值法、根值法 5、特例：等比级数
n
1 z ， | z | 1 1 z n 0
孤立奇点总结：
可去奇点z0 展开无负次幂项 lim f ( z ) c0
z z0
m级奇点z0 展开最高负次幂项( z z0 ) m lim f ( z )
z z0
本性奇点z0 展开含有无穷多项负次幂 lim f ( z )不存在且不是
z z0
(3).本性奇点（无穷多个）
例如：
函 数f ( z ) e1/ z以z 0为 其 本 性 奇 点 ： 1 1 1 e 1 . 2 n z 2! z n! z
1 z
※ 本性奇点的性质：
z z0
lim f ( z )不 存 在 ， 且 不 为 .
在本性奇点 z0的 邻 域 内 ， 有 ： A C , 总 可 以 找 到 一 个 趋 向 z 于 z沿 这 个 数 列 0的 数 列 ， 当 趋向于 z0时 ，f ( z )趋 向 于 A.
· z0是1 / f ( z )的m级 零 点 ：
1 ( z z0 ) m ( z ), ( z )在z0 解 析 ， 且 ( z0 ) 0. f ( z)
说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为
简便的方法.
利用极点和零点的关系，来判断极点。 例
1 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出
它的级.
解
函数的奇点是使 sin z 0 的点, 这些奇点 z k ( k 0 , 1 , 2) 是孤立奇点.
k 因为 (sin z ) z k cos z z k ( 1) 0,
所以 z k 是 sin z的一级零点， 1 即 的一级极点. sin z
2 3 n z z z z e 6、 1 z (| z | ) 2! 3! n!

(1) n z 2 n cos z , (| z | ); 偶函数，偶次幂 (2n)! n 0 (1) n z 2n1 sin z , (| z | ). 奇函数，奇次幂 n 0 (2n 1)!
定理
如果f ( z )在z0 解析，那么z0为f ( z )的m级零点的充要条件 为 f (0) ( z0 ) f ( m 1) ( z0 ) 0, f ( m ) ( z0 ) 0.
例 问 z 0是 f z z sin z 的几级零点? 解 由于 f 0 1 cos z |z 0 0, f 0 sin z |z 0 0,
7、泰勒展开
f ( z)
n 0

f
(n)
( z0 ) ( z z0 ) n , | z z0 | R. n!
8、洛朗展开
1 f ( ) n f ( z) d ( z z ) , R1 | z z0 | R2 . 0 n 1 C ( z ) n 2i 0
z z0
※ 极点的充要性： lim | f ( z ) | ，或写作 lim f ( z ) .
z z0 z z0
例： 对于有理分式
z2 f ( z) 2 ( z 1)(z 1)3
( z 2) /( z 2 1) ( z 1)3 ( z 2) /[(z i )(z 1)3 ] ， z i z 1为其3级极点，z i z ) 在 z0 的去心邻域内 的洛朗级数就是一个普通的幂级数：
一般地，z0是 f ( z ) 的可去奇点，即 f ( z ) 在 z0 的去心邻域内 的洛朗级数就是一个普通的幂级数：
f ( z ) cn ( z z0 ) n c0 c1 ( z z0 ) c2 ( z z0 ) 2 .
1、孤立奇点的三大类：
可去奇点、极点、本性奇点
2、函数的零点与极点的关系
一 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 但 f ( z ) 在 z0
的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则称 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点.
例
sin z z 0 是函数 e , 的孤立奇点. z 1 z 1是函数 z 1 的孤立奇点.
1 z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z2 sin
z 0 的奇点特性. 在点 1
z
1 z0 0 , z k ( k 1 , 2 ,) k 1 因为 lim 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f ( z ) 的奇点存在, 所以 z 0 不是孤立奇点.
n 0

因 此 ， 此 幂 级 数 的 和数 函F ( z )是 在z0 解 析 的 函 数 ， 当z z0时 ，F ( z ) f ( z );
z z0 z z0
当z z0时 ，F ( z0 ) c0 .
lim f ( z ) lim F ( z ) F ( z0 ) c0 .
2、孤立奇点的判定
(1).可去奇点
sin z 考虑函数 , z0 0为唯一的孤立点，观察其展开式： z sin z 1 z3 z5 z2 z4 ( z ) 1 ，z 0. z z 3! 5! 3! 5! 对右面的式子，令z 0, 值为1, 即令z 0,sin z / z 1. sin z sin z 故，若定义z 0时， 1，则 在z 0处也解析了. z z 即z0为可去奇点。
由此得：z0 为函数 f ( z ) 的m级极点的充要条件是
g( z ) f (z) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g( z0 ) 0. 3z 2 例 有理分式函数 f ( z ) 2 , z ( z 2) z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
c0 c1 ( z z0 )
( z z0 ) m [ c m c m 1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) n m ]
( m 1, c m 0)
记 g ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) n m
n
3
§5.1孤立奇点
§5.2留数
§5.3留数在定积分计算上的应用
请在此输入内容
§5.4留数的应用
由第四章，利用将函数f(z)在其解析的环域R1<|z-z0|<R2 内展开成Laurent级数的方法，根据该级数的系数的 积分表达式 1 c1 f ( z )dz 2i c 可以计算右端的积分。这类积分非常广泛，其中C是 该环域内围绕点z0的正向简单闭曲线。C的内部可能有 f(z)的有限个或无穷多个奇点。 有时将函数展开成Laurent级数，求系数C-1 很麻烦。这就需要介绍一种求C-1的新方法：用 留数计算积分的方法。
c0 c1 ( z z0 )
( m 1, c m 0)
那么孤立奇点 z0 称为函数 f ( z ) 的 m 级极点.
由极点的定义
f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
例如： A=∞ A=0
f (z) e
1 z
本性奇点： z0 0
1 zn f ( zn ) e n (n ) n
1 zn f ( zn ) e n 0(n ) n
A≠0, A≠∞
1 zn , ln A 2n f ( zn ) A.
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
1 m ( z z ) ( z z ) , 的最高幂为 负幂项, 其中关于 0 0
即
f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
（1）若洛朗级数中不含负幂项，则称 z0为可去奇点. （2）若洛朗级数中只含有限多个负幂项，则称 z0为 1 m ( z z ) ( z z ) 极点.且关于 的最高幂为 0 0 则称 z0 为m 级极点。 （3）若洛朗级数中含有无穷多个负幂项，则称 z0为 本性奇点. （注意：对 z z0 ,负幂项是不好的项啊！）
定理 f z 有m 级( m为正整数)极点 z0的充要条件为 g ( z) f z m ( z z0 ) g z） 其中 （ 在点 z0处解析且 （ g z0） 0 .
类似地，对于极点：
z z0
lim f ( z ) ?
※ 极点的充要性：
z z0
lim | f ( z ) | ，或写作 lim f ( z ) .
所以，如果我们令 f ( z0 ) c0 , 那 么 在| z z0 | R内(不 用 去 掉 z0 )就 有: f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) c2 ( z z0 ) 2 .
※
可去奇点的充要性：
z z0
lim f ( z ) c 0 .
2 极点