一榀框架计算内力计算

一榀框架计算内力计算
第8章一榀框架计算
8.7框架内力计算
框架结构承受的荷载主要有恒载、活载、风荷载、地震作用。

其中恒载、活载为竖向荷载，风荷载和地震为水平作用。

手算多层多跨框架结构的内力和侧移时，采用近似方法。

求竖向荷载作用下的内力采用分层法，求水平荷载作用下的内力采用反弯点法、D值法。

在计算各项荷载作用下的效应时，一般按标准值进行计算，然后进行荷载效应组合。

8.7.2框架内力计算
1.恒载作用下的框架内力
（1）计算简图
将图8-12（a）中梁上梯形荷载折算为均布荷载。

其中a=1.8m，l=6.9m，?=al?1800/6900?0.26，顶层梯形荷载折算为均布荷载值：（1?2?2+?3）?q=（1?2?0.262+0.263）?m，顶层总均布荷载为m。

其他层计算方法同顶层，计算值为21.63kNm。

中间跨只作用有均布荷载，不需折算。

由于该框架为对称结构，取框架的一半进行简化计算，计算简图见8-19。

（2）弯矩分配系数
节点A1:SA1A0?4iA1A0?4?1.18?4.72
SA1B1?4iA1B1?4?1.33?5.32
SA1A2?0.9?4iA1A2?0.9?4?1.61?5.796
?S??0.622?1.333?0.844??15.836
A
?A1A0?SA1A04.72??0.298 S15.836
A
图8-19 恒载作用下计算简图（括号内数值为梁柱相对线刚度）?A1B1?SA1B15.32??0.336 S15.836
A
?A1A2?SA1A25.796??0.366 S15.836
A
节点B1:SB1D1?iB1D1?2?1.12?2.24
?S?18.076
B
?B1A1?SB1A15.32??0.294 S18.076
B
?B1B0?SB1B04.72??0.321 S18.076
B
?B1B2?SB1B25.796??0.321 S18.076B
?B1D1?SB1D12.24??0.124 S18.076
B
节点A2:?A2A1?0.9?4?1.61?0.417
0.9?4?1.61?0.776?1.33?A2A3?0.9?4?0.776?0.201 13.91
4?1.33?0.382 13.91
4?1.33?0.329 4?1.33?0.9?4?1.61+0.9?4?0.776?2?1.12?A2B2?节点B2:?B2A2?
?B2B1?
?B2C1?
?B2B3?0.9?4?1.61?0.359 16.152?1.12?0.139
16.150.9?4?0.776?0.173 16.15
节点A3 、A4、A5与A2相同B3、B4、B5与B2相同。

（3）计算杆件固端弯矩（顺时针方向为正）。

顶层横梁：
MA4B4??MB4A4??121ql23.54?6.92??93.4kN?m 1212
11MB4D4??ql23.16?32??2.37kN?m 33
一、二、三层横梁：
MA1B1??MB1A1??121ql21.63?6.92??85.8kN?m 1212
11MB1D1??ql23.16?32??2.37kN?m 33
（4）节点不平衡弯矩
横向框架的节点不平衡弯矩为通过该节点的各杆件在节点处的固端弯矩与通过该节点的纵梁引起柱端横向附加弯矩之和，根据平衡原则，节点弯矩的正方向与杆件弯矩方向相反，一律以逆时针方向为正。

节点A4的不平衡弯矩∶MA4??93.4?17.82??75.58kN?m
节点A3的不平衡弯矩∶MA3??85.8?12.96??72.84kN?m
节点B3的不平衡弯矩∶MB3?85.8?17.53?2.37?65.90kN?m
节点B4的不平衡弯矩∶MB4?93.4?19.66?2.37?71.37kN?m
节点A2、A1的不平衡弯矩∶MA1??85.8?19.44??66.36kN?m
节点B2、B1的不平衡弯矩∶MB1?85.8?26.29?2.37?57.14kN?m
（5）弯矩计算及弯矩图
根据对称原则，只计算AB、BC跨。

在进行弯矩分配时，应将节点不平衡弯矩反号后再进行弯矩分配。

恒载弯矩分配过程见图8-20。

恒载作用下弯矩见图8-21。

分层法计算恒载作用下的弯矩步骤如下：
图8-20恒载弯矩分配过程
梁端弯矩为计算所得弯矩，柱端弯矩为上下两层所得弯矩之和。

例如节点A2，
梁端弯矩MA2B2??67.55kN?m
柱端弯矩
MA2A3?15.65?7.74?23.39kN?m,MA2A1?32.46?9.33?41.79kN?m。

由于分层法计算的近似性，框架节点处的最终弯矩可能不平衡，但通常不会很大。

如需进一步修改，可对节点的不平衡力矩再进行一次分配。

该例题中，节点A2的不平衡力矩为7.74?9.33?17.07kN?m，该值较大，需再进行一次分配。

故A2节点处的杆端弯矩分别为：MA2A3=23.39-17.07?0.201=19.96kN?m
MA2B2=?67.55?17.07?0.382=?74.07kN?m
MA2A1=41.79?17.07?0.417=34.67kN?m
其他节点以此类推。

梁上作用均布荷载，故梁弯矩图为二次抛物线。

梁跨中最大弯矩值和梁跨中中点处的弯矩值相差不大，为简化计算，用梁跨中中点处的弯矩代替梁梁跨中最大弯矩进行梁配筋计算。

梁跨中中点弯矩根据叠加法确定，比如MA2B2中=21.6374.07+81.50?6.92?=50.94kN?m 82 MB2C2中=3.16210.48?2?3?=?6.93kN?m 82
因为柱中没有荷载，柱弯矩为直线，故柱弯矩图为柱上下两端弯矩连线即可。

最后弯矩图见图8-21。

图8-21 恒载作用下弯矩图
（6）剪力计算及剪力图
取杆件为研究对象，利用平衡方程即可求出杆端剪力。

以A2B2梁为例说明计算方法。

计算简图见图8-22
图8-22剪力计算图
对B2点取矩，FSA2B2=74.07?81.56.9+21.63?=73.55kN 6.92
?Fy?0：FSB2A2=-21.63?6.9?73.55=75.70kN
柱剪力计算同梁，比如A2A1。

计算简图见图8-23。

计算过程如下：
34.97?34.84FSA2A1=FSA1A2=-=-19.31kN3.6
其他杆件计算以此类推。

恒载作用下的剪力图见图8-24.
图8-23 柱剪力计算简图图8-25 节点计算简图（7）轴力计算及轴力图
在恒载作用下，柱中轴力以压力为主，故此处轴力以压力为正。

取节点为研究对象，利用平衡方程即可求出杆件轴力。

首先计算顶层边节点A4，得出梁A4B4、柱A4A3顶端的轴力。

柱A4A3底端的轴力为柱A4A3顶端的轴力加柱自重。

再分别取B4、A3节点逐个计算，即可得出所有杆件的轴力。

节点A4计算简图见图8-25。

图8-24 恒载作用下剪力图图8-26 恒载作用下轴力图
FNA4B4=-FSA4A3=19.7kN
FNA4A3=FSA4B4+178.18kN=256.77kN
其他节点以此类推。

各杆轴力均为直线，计算结果见图8-26。

2.活载作用下的框架内力
活荷载为可变荷载，应按其最不利位置确定框架梁、柱计算截面的最不利内力。

当活荷载作用相对较小时，常先按满布活荷载计算内力，为了消除不考虑活载不利布置所造成的误差，对满跨布置所计算出的跨中弯矩乘以1.2的系数，支座弯矩不调整。

计算方法同恒载。

将图8-12（b）中梁上梯形荷载折算为均布荷载。

其中a=1.8m，l=6.9m，?=al?1800/6900?0.26，顶层梯形荷载折算为均布荷载值：（1?2?+?）?q=（1?2?0.26+0.26）?1.8=1.58kNm，其他层计算方法同顶层，计算值为6.34kNm。

中间跨荷载为零。

由于该框架为对称结构，取框架的一半进行简化计算，计算简图见8-27。

活载作用下的弯矩图、剪力图、轴力图分别见图8-28、8-29、8-30。

2323
图8-27 活载作用下的计算简图（括号内数值为梁柱相对
线刚度）图8-28 活载作用下的弯矩图
图8-29 活载作用下的剪力图图8-30 活载作用下的轴力图
3.风荷载作用下的框架内力
风荷载为水平作用，采用反弯点法或D值法。

梁柱线刚度比最大值为1.33/0.776?1.71?3，故需采用改进反弯点法—D值法。

（1）计算简图见图8-31。

图8-31 风荷载作用下计算简图(括号内数值为柱抗侧移刚度)
?D?2?17.18?2?20.88?76.12kN?m
?D?2?24.33?2?36?120.66kN?m
?D?2?18.54?2?24.59?86.26kN?m 123、4
各层各柱剪力计算
四层：V4?8.21kN
VA4A3?
DA4A3D18.5424.59
?V4??8.21?1.76kNVB4B3?B4B3?V4??8.21?2.34kN
86.2686.26D4D4
三层：V3?8.21+9.86=18.07kN
VA3A2?
DA3A2D18.5424.59?V3??18.07?3.88kNVB3B2?B3B2?V3??18.07?5.15kN
86.2686.26D3D3
二层：V2?8.21+9.86+9.86=27.93kN
VA2A1?
DA2A1D24.3336?V2??27.93?5.63kNVB2B1?B2B1?V2??27.93?8.33kN
D120.66D120.6622
一层：V10.47=38.40kN 1?8.21+9.86+9.86+
VA1A0?
DA1A0D17.1820.88?V1??38.40?8.67kNVB1B0?B1B0?V1??38.4?10.53kN D76.12D76.1211
各层柱反弯点计算见表8-8。

表8-8 柱反弯点高度
计算柱端弯矩Mij上和Mij下。

Mij下?Vijyh，Mij上?V，见表8-9。

（）ijh?yh
表8-9 风荷载作用下框架柱剪力及柱端弯矩
风荷载作用下框架梁端弯矩计算
边节点M?M上?M下
中间节点M左?i左M上?M下）i左?i右
M右?i右M上?M下）i左?i右
四层：MA4B4?MA4A3?3.89kN?m
MB4A4?iB4A41.33?MB4B3??4.63?2.51kN?m
iB4A4?iB4C41.33?1.12
iB4C41.12?MB4B3??4.63?2.12kN?m iB4A4?iB4C41.33?1.12MB4C4?
一、二、三层计算方法同上，计算结果见图8-32。

风荷载作用下的杆件弯矩均为直线，画弯矩图时，将杆件两端弯矩直接连线即可。

图8-32 风荷载作用下弯矩图（单位：kN?m）
风荷载作用下的剪力和轴力计算和恒载作用下相同，此处不再赘述。

计算结果见图8-33。

图8-33 风荷载作用下的剪力值（轴力值）
4.地震作用下的框架内力计算
地震作用下的计算方法和风荷载一样采用D值法。

（1）计算简图见图8-34。

图8-34 地震作用下计算简图(括号内数值为柱抗侧移刚度)
?D?747.96kN?m
?D?1165.28kN?m 12
?D
3、4
?819.96kN?m
各层各柱剪力计算四层：V4?1862.30kN
VA4A3?
DA4A318.54
?V4??1862.30?42.10kN
819.96D4
VB4B3?
DB4B324.59
?V4??1862.30?55.85kN D819.964
三层：V3?1862.30+1334.18=3196.48kN
VA3A2?
DA3A218.54
?V3??3196.48?72.28kN
819.96D3
VB3B2?
DB3B224.59
?V3??3196.48?95.86kN D819.963
二层：V2?1862.30+1334.18+958.81?4155.29kN
VA2A1?
DA2A124.33
?V2??4155.29?57.27kND1765.282
VB2B1?
DB2B136?V2??4155.29?84.74kN
1765.28D2
一层：V1?1862.30+1334.18+958.81+605.29=4760.58kN VA1A0?
DA1A017.18?V1??4760.58?109.35kN D747.961
DB1B020.88?V1??4760.58?132.90kN
747.96D1
VB1B0?
各层柱反弯点计算见表8-9。

表8-9 柱反弯点高度
注：地震作用下反弯点高度按倒三角水平分布力考虑，查附表1 计算柱端弯矩Mij上和Mij下。

Mij下?Vijyh，Mij上?V，见表8-9。

（）ijh?yh
地震作用下框架梁端弯矩计算方法同风荷载作用下梁端计算方法，此处不再赘述。

弯矩图见8-35。

图8-35 地震作用下弯矩图（单位：kN?m）
地震作用下的剪力图和轴力图见图8-36。

图8-36 地震作用下的剪力值（轴力值）
5.0.5（雪+活）作用下的内力计算因雪荷载为0.4kNm2，与活荷载0.5kNm2相差不大，故取0.5活载进行计算。

计算简图见图8-37。

0.5活作用下的内力计算同恒载计算方法。

计算结果见图8-38、8-39。

图8-37 0.5活作用下计算简图图8-38 0.5活荷载作用下的弯矩图（kN?m）
剪力图轴力图图
8-39 0.5活作用下的剪力图和轴力图（单位：kN）———————————————————————————————————————————————。