高一数学等比数列的前n项和检测考试题

2.3.2 等比数列的前n 项和第二课时 优化训练
1．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记作S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )
A ．150
B ．－200
C ．150或－200
D ．400或－50
解析：选A.根据等比数列前n 项和的性质可知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，且公比为q 10，利用等比数列的性质可得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，所以S 220－10S 20－600＝0，解得S 20＝－20或S 20＝30.因为S 20＝S 10(1＋q 10)＞0，所以S 20＝30.再次利用等比数列的性质可得(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，求得S 40＝150.
2．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－1
5
，则实数t 的值
为( )
A ．4
B ．5 C.45 D.15
解析：选B.由S n ＝t 25·5n
－15得t 25＝15
，
∴t ＝5. 3．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27
(8n ＋4－1) 解析：选B.依题意，f (n )是首项为2，公比为8的前n ＋1项求和，根据等比数列的求和公式可得．
4．(2009年高考全国卷Ⅱ)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.
解析：由题意知{a n }的公比q 不为1，
又由S 6＝4S 3得a 1－q 61－q ＝4·a 1－q 3
1－q
，解得q 3＝3，
∴a 4＝a 1q 3＝1·3＝3. 答案：3
5．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1
＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列{
a n
b n
}的前n项和S n.
解：(1)设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，
则依题意有q＞0且
⎩⎪
⎨
⎪⎧1＋2d＋q4＝21，
1＋4d＋q2＝13.
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧d＝2，
q＝2，
所以a n＝1＋(n－1)d＝2n－1，b n＝q n－1＝2n－1.
(2)
a n
b n
＝
2n－1
2n－1
.
S n＝1＋
3
2
＋
5
22
＋…＋
2n－3
2n－2
＋
2n－1
2n－1
，①
2S n＝2＋3＋
5
2
＋…＋
2n－3
2n－3
＋
2n－1
2n－2
.②
②－①，得S n＝2＋2＋
2
2
＋
2
22
＋…＋
2
2n－2
－
2n－1
2n－1
＝2＋2×(1＋
1
2
＋
1
22
＋…＋
1
2n－2
)－
2n－1
2n－1
＝2＋2×
1－
1
2n－1
1－
1
2
－
2n－1
2n－1
＝6－
2n＋3
2n－1
.
1．(2011年永安高二检测)已知等比数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于( )
A．50 B．70
C．80 D．90
解析：选B.由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)得q3＝
1
2
，
∴a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝10，
∴前9项之和等于40＋20＋10＝70.
2．已知数列{a n}为等比数列，若
a8
a4
＝2，S4＝4，则S8等于( ) A．12 B．24
C．16 D．32
解析：选A.由题意知q4＝2，
∴S 8＝S 4＋q 4S 4＝S 4＋2S 4＝3S 4＝12.
3．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )
A ．a (1＋p )7
B ．a (1＋p )8
C.a
p [(1＋p )7－(1＋p )] D.a
p
[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7，2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a ＋p －＋p 7]
1－＋p ＝a
p
[(1＋p )8－(1＋p )]．
4．设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，则点(S n ，S n ＋1)( )
A ．在直线y ＝ax －b 上
B ．在直线y ＝bx ＋a 上
C ．在直线y ＝bx －a 上
D ．在直线y ＝ax ＋b 上
解析：选D.由题意可得，S n ＝b －a n 1－a ，S n ＋1＝b －a n ＋1
1－a
＝
a ·
b －a n 1－a
＋b ＝aS n ＋b ，∴点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝ax ＋b 上．
5．等比数列{a n }是递减数列，其前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8·a 15等于( )
A ．±2
B ．±4
C ．2
D ．4
解析：选C.a 8·a 15＝a 10·a 13＝a 11a 12＝±2，由{a n }为递减数列，舍去－2.
6．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从2008年1月起，到2010年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{a n }，若逐月累计的产值S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 满足S n ＝101a n －36，则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)( )
A ．12.66%
B ．12.68%
C ．12.69%
D ．12.70%
答案：B
7．已知等比数列前n 项和为S n ，S 10S 5＝31
32
，则数列的公比为
________．
解析：设该数列的公比为q ，显然q ≠1.
由S 10S 5＝3132＝a 1·
1－q 10
1－q a 1·
1－q 5
1－q ＝1＋q 5
. 解得q ＝－1
2.
答案：－1
2
8．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.
解析：由题意S 2n ＝－240，S 奇－S 偶＝80，
得S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶
S 奇
＝2.
答案：2
9．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2n －1n 为正奇数，2n －
n 为正偶数
设数列{a n }的前n
项和为S n ，则S 9＝________.
解析：S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝377. 答案：377
10．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式．
解：a n ＝5S n －3， ① a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，
∴a 1＝34
.
n ≥2时，a n －1＝5S n －1－3 ② ①②两式相减a n －a n －1＝5a n ，
∴a n ＝－14a n －1故{a n }为首项为34，公比为－1
4
的等比数列，
∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14n －1
.
11．(2009年高考浙江卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2
＋n ，n ∈N ＋，其中k 是常数．
(1)求a 1及a n ；
(2)若对于任意的m ∈N ＋，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． 解：(1)当n ＝1，a 1＝S 1＝k ＋1，
n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝kn 2＋n －[k (n －1)2＋(n －1)]＝2kn －k ＋1，(*)
经验证，n ＝1时(*)式成立， ∴a n ＝2kn －k ＋1.
(2)∵a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴a 2
2m ＝a m ·a 4m ，
即(4km －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 整理得，mk (k －1)＝0，
对任意的m ∈N ＋成立，∴k ＝0或k ＝1.
12．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
解：设每期应付款x 元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x (1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x (1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和
为x (1＋0.008)11＋x (1＋0.008)10
＋…＋x ＝1.00812
－11.008－1
x .
又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812，
于是有1.00812－11.008－1x ＝2000×1.00812.
解得x ＝16×1.00812
1.00812－1
≈176(元)．
所以每期应付款176元．。