专题一阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。

阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米
德三角形面积的____________ 。

阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两
条切线的交点。

性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴___________________ 。

性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线定点C,则另一顶点Q的轨迹为____________________ 。

性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹____________________ 。

性质4若直线I与抛物线没有公共点，以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。

性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为___________________ 。

性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的_____________ ，且阿基米德三角形的面积的最小值为_____ 。

性质7 在阿基米德三角形中，/ QFA= / QFB。

性质8在抛物线上任取一点I （不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T,则△QST 的垂心在_______________ 上。

性质9 |AF| |BF|=|QF|2.
性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB _____________ 。

性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的___________ 倍。

高考题中的阿基米德三角形
例1 （2005卷，理22题）如图，设抛物线C ：y = x 2的焦点为F ,动点P 在直线l :x - y- 2= 0
上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1 ）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明/ PFA= / PFB.
解：（1）设切点A 、B 坐标分别为（x,x ：）和（x.x ：）*! 1 X 。

）, •••切线AP 的方程为：2x 0x - y - x 0 = 0; 切线BP 的方程为：2x 1x - y - x 2 = 0;所以△APB 的重心G 的坐标为
•••/ AFP = Z PFB.
解得P 点的坐标为：x P
X 0 + X 1
2
,y p = x °x 1
y 0 +
y 1+
y p
x
2
+ x 1 +
(x ° + xj 2
- X 0X 1
4x P 2 - 3
y p
所以y p = - 3y G + 4x G ，由点P 在直线
l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为:
1 2
2= 0,即y =
(4x - 3
uuu
(2)方法 1:因为 FA = (x 0,x 02 -
2
x - (- 3y + 4x )- x+ 2).
1 uut -),FP = 4 (X o + X1
公必1 -
2
1 uur 严=皿 二 4).
由于P 点在抛物线外，则 uurr
|FP |1 0.
uuu
ULU FP >FA cos? AFP
-utr
|FP
UlB ||FA | x ° + X 1
2
?<0
1
(X 0X 1 - —)(X ° 厶-) 4
4
uuu
2
“2
L 2
| FP
H X 0 + (X 0 - 4)
1
X 0X 1 + uiu 4
|FP |
同理有cos? BFP
uuu uuu FP >FB -utu tttur I FP || FB |
x 0 + x 1 —1
?x 1 2 1 ULU |FP r X1 (X 0X 1- 4-)( 2 x 1
2 1 2 + (X 1-4)
1、 ;)X 0X 1 + 4
—=—uuu-
|FP |
方法2：①当x1x0=0时，由于x1 ? X0,不妨设x00,则y°= 0,所以
x
P点坐标为（丄，0），贝y P 点到
同理可得到P 点到直线BF 的距离d 2 = |Xi- x ° 1
，
2
例2 (2006全国卷n,理21题)已知抛物线x2= 4y 的焦点为F , A 、B 是抛物线上的两动点，且
AF = ?FB (心0) •过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为
M .
(I)证明FM AB 为定值；
(n)设△ ABM 的面积为S ,写出S = f(力的表达式，并求 S 的最小值.
解: ( I )由已知条件，得F(0, 1),入〉0. 设 A(x1, yi), B(x2, y2).由 AF = ?FB , 即得
(一xi , 1 — y)= X x2, y2- 1),
—xi =农2
①
1 — yi =心
2 — 1)②
1 1
将①式两边平方并把 yi = 4x12, y2= 4x22代入得
直线AF 的距离为：d r = U ；而直线BF 的方程:y- 1
2 4 2
1 Xi
4 x,
x
i
1 1
即(Xi- /X-X^iX 1"
所以 P 点到直线BF 的距离为：d 2
2
1 X
2 X 2 l(X
i
工冷
-1)2 4
(X 2
+ (X i )2
所以 d1 = d2，即得/ AFP= / PFB. ②当 X/。

1 0时，直线AF 的方程:
2 X
y-
X
1 -(x- 0
直线
BF
的方程：y-1
4
2 X
i
所以 x
i
P 点到直线AF 的距离为:
2 1 0),即(X i - 4)x-
d
i
2
1 X 0 + X
2 2
|(x 0 -—)(」 1
)- X 02
X i +
4 2
,2
1.2 2
\ (X 0 - 4) + X 0
1 -X 0
4
x 0- X 2
2
「七％ 2 X 0 +
(X i
2
+丄)空
4 2
2
1 X i +4
|X i | 2
1
0)
，即(X 2- 4)X-
X" + 1 + ) _4_ 1 4
i
x °y + — x ° = 0,
4
1
4X i = 0,
|x °- X i | 2
因此由d i =d 2，可得到/ AFP = Z PFB-
yi =尼y2
③
1
解②、③式得y1 =入y2=入，且有x1x2 =—入22 =—4入2 = —4,
1 抛物线方程为y= 4x2,求
1
=2X.
B两点的切线方程分别是
1
y = 2x1(x—x1) + y1,
1
y= 2x2(x —x2) + y2,
1 1 即y= 2x1x—4x12,
1 1
y= 2x2x—4x22.
解出两条切线的交点
X1 + x2
M的坐标为(—2—
X1X2 X1 + X2
4 )= ( 2 ，—
1)•
所以FM AB =x1+ x2
~T~，—2) (x2—x1,
1 1 1
y2 —y1) = 2(x22 —x12)—2(4x22 —
4x12)= 0
所以FM AB为定值，其值为0 •
1
(II)由(I )知在△ ABM 中，FM 丄AB，因而S= 2|AB||FM|.
X1 + X2)2+ (—2)2 = 1 1
|FM |= '■ ( 2 )2+ (—2)2= 12+ 4X22+ 2X1X2 + 4
/ 1 /__1 丄
=.y1 + y2 + 2 X —4) + 4 = q 入+ 入+ 2= 〃+ 5
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=—1的距离，所以
1 1
|AB|= |AF|+ |BF|= y1 + y2 + 2=入+^+ 2=(::心.
于是S= 2|AB||FM|=(.入 + 打3,
由V入 +寸-;产2知S>4且当心1时，S取得最小值4.
例3 （2007卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0,c）任作一直线，与抛物线y = x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l :y = - c交于P,Q ,
urn uuu ,，亠,
右OA ?OB 2，求c的值；（5分）
C1)
(2)
(3) 若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

（4分）
解: (1)设过C点的直线为y = kx + c，所以x2 = kx + c (c > 0)，即x2-心_ c0，设
d
导得y' 所以过抛物线上A、
A@1,y 1), B(X2』),uur
OA
=
(<1，%),
uur
OB =
=幺
必），
、uur uur 因为
OA?OB
2，所以
x/2 + yy = 2，即x^2 + (kx1 + c)(kx2
+ c
)=2 ,X1X2 .2
+ k X1X2 - kc(x1 + X2)+ c2 = 2
所以-c- 2
k c + kc* + c2=2，即 2
c - c -2 = =0,所以c = =2（舍去
c
= -1)
(2 )设过Q 的切线为y - y1 = k
1 (x -x1)
/
，y = 2x 所以k1 = 2x!,即
y = 2x1x -2x； + y1 =2x1x - x12,它与y = -c的交点为M 暮 c j
,c :,又桫2 2x1：
i= c玉所以Q?2,-c i，因为x/2…，所以-云=乂2，所以
M?x1+争-c|= ?|,- c j所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q?2,-c吉因为PQA x轴，所以P^，y P j X + x k
因为-2 =-，所以P为AB的中点。

2 2
例4 （2008卷，理22题）如图，设抛物线方程为x2 = 2py（p> 0），
M为直线y = - 2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别
为A，B .
（I）求证：A, M , B三点的横坐标成等差数列；
（H）已知当M点的坐标为（2,- 2p）时，AB|= 4 10 •求此时抛物线的方程;
（川）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2 = 2py（p > 0）上，其中, 存在，请说明理由.
解：（I）证明：由题意设
骣
B x2,
桫
2
X2
2p
x1 < x2,M(x。

，- 2p)
•
卄uuu uur uuu 点C
满足oc = OA + OB （O为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不
由 x?= 2py 得 y =
2P ，得 y £ P ，
所以k MA
X - , k M B P X 2
因此直线 MA 的方程为 x 1
2p= -(x- P
x 2
X o )，直线 MB 的方程为 y + 2p = — (x - X o ). P
2
X 所以丄+ 2P
X i 2p = -(X i -
P X 。

），①
2
X
2
+
2P
2p = x 2
-(x 2 - X 。

).②
P
x + X 由①、②得Xl X 2
2 x 1 + x 2 X o , 因此X o X-+ X + X 2 . (n)解: :由（I ） 知，当
X 0 = 2
时， 将其代入①、②并整理得
:
2
2 2
2 x 1 - 4X 1 -4p =0, X 2 - 4X 2 - -4p = 0 , 所以X 1, X 2是方程 2 X - 4X - 4p 2 : =0的两根,
因此X 1 + X 2 = 4
X 1X 2 = -
4
P 2 ,
2 2
乞
又k - k AB = 2P 2p =X 1
+ X
2
=
X
，所以k AB
X 2- X 1 2p P
所以A , M , 2 P
2 ，即"I B 三点的横坐标成等差数列.
由弦长公式得 AB = J l+ k 2 J (x - + X 2)2 - 4X -X 2 = ”1+ £/l6+ 16p 2 .
又AB = 4孑0，所以P = 1或P = 2 , 因此所求抛物线方程为 x 2 = 2y 或x 2 = 4y . （川）解：设 Dg , y 3），由题意得 C （x - + X 2, y - + y ?）,
2P
则CD 的中点坐标为Q 纟
1
+ X 2 + X 3
y i + y 2 + y 3±
4, 设直线AB 的方程为y-『1 = X0(x- p 由点Q 在直线AB 上，并注意到点q
1 + X
2
■迪铀在直线AB 上，代入得
X
y 3 =
X 3 .
若D(x
3，『3)在抛物线上, 2 则 X 3 = 2py 3 = 2X 0X 3 , 因此 X 3 = 0 或 X 3 = 2x 0 . 即 D(0,0)或 Dg2x 0, 2
2X 0
p (1 )当 x 。

= 0 时，则 X ! + x 2 = 2x 0 = 0
，此时,
占 八
、
、 M (0,- 2p)适合题意. (2)当 X 。

1 0，对于 D(0,0)，此时 C 塞x °
. 2 X 1 + 2p X 2 ±
4匕= 2p 2 X 1 2
X 2 又k AB X o
-,AB A CD ，所以 k AB 広CD p
2 , X 0 X 1
+
2 X
2
2 X
1
P 4px 。

4p
2x 0
4px 。

即X ； 2 2
X 2 = - 4p ，矛盾.
对于 2 X
2
D 蚤x °,竺-
±因为C 菱X 0，X1 : X 2主此时直线CD 平行于y 轴,
0’
又k AB x 0
-? 0，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾, p
所以x ° 0时，不存在符合题意的 M 点. 综上所述, 仅存在一点 M (0,- 2p)适合题意. 2008 卷， x = m (y 贡 m,0 < m 理21 题)设点 <1)上,
过点P 作双曲线
4
2 2
x 2 - y 2 =
2 2 2
(1 - k )x - 2k(y , - kxjx- (y ,- kxj - 1= 0
从而 D = 4k 2y - kxj 2 + 4(1- k 2)(y . - kxj 2 + 4(1 - k 2) = 0, x , 解得k = -
*
因此PA 的方程为：y$ = X/ - 1 同理PB 的方程为： 沁=x ?x- 1 又 P(m,y 。

)在 PA 、PB 上，所以 y"。

= mx ! - 1, 刿0 = mx ? - 1 即点A(x 1,y 1), B(X 2』2)都在直线y °y = mx - 1上
1
又M(—,0)也在直线y °y = mx - 1上，所以三点A 、M 、B 共线
m (2)垂线AN 的方程为：y - y t = - x + X t ,
设重心G (x, y)
3
9x - 3y - m
4 9y - 3x + — m
1 切线PA 、PB ，切点为A 、
B ，定点M (丄，0).
m
(1) 过点A 作直线x- y = 0的垂线，垂足为 N ，试求△ AMN 的 重心G 所在的曲线方程； (2) 求证：A 、M 、B 三点共线. 证明: (1 )设AgyJ, B(X 2』2),由已知得到y$2 1 o ,且 x ： 2
y 1 1, -y 1 = - x +
x
1
得垂足N J 1 + %
2
x 1
+
y 1) 2
设切线PA 的方程为：y- 丫1 = k(x- xj 由
-y 1 = k(x - xj
y 2 = 1
1 / 1 X 1 + y 1 x
_(X 1 + + 1) 3 m 2 1 X 1 + yi
+ 0 + 1
) 3
2
Word 文档
1 2 2 2 ——)-y =-为重心G 所在曲线方 3m 9 由 x1 - y 1 = 1 程. 可得(3x- 3y- —)(3x + 3y - — )=2 即(x- m m。