人教新课标版数学高一人教A必修3素材 3. 2.2古典概型及随机数的产生(结)

3. 2.2古典概型及随机数的产生（结）
考点一：用模拟法估计一维型的几何概率
求有关长度、角度、弧长等的几何概型，用计算器或计算机产生一个变量在[a ，b ]上的均匀随机数，计算其频率，从而可估计概率．
例1.取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？
【思路点拨】 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,5]内的任意数，并且每一个实数都是等可能的被取到．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,5]上的均匀随机数，其中取得[2,3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[2,3]内，也就是表示剪得两段长都不小于2 m ．这样取得的[2,3]内的随机数个数与[0,5]内的个数之比就是事件A 发生的概率近似值．
【解】 设剪得两段的长都不小于2 m 为事件A .
法一：步骤是：
(1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND.
(2)作伸缩变换：y ＝x *(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数．
(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m .
(4)则概率P (A )的近似值为m n
. 法二：步骤是：
(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5](这里5和0重合)．
(2)固定指针转动转盘，或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m 及试验总次数n .
(3)则概率P (A )的近似值为m n
. 【思维总结】 用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
变式训练1 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？
解：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND.
(2)经过伸缩变换，a ＝a 1*3.
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N 1和[0,3]内随机数的个数N .
(4)计算频率1()n N f A N
即为概率P (A )的近似值 考点二：用模拟法估计二维型的几何概率
把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率．
例2．在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了一个以正方形的中心为圆心的圆，半径为6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：投在圆内的概率是多少？
【思路点拨】 要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以产生两组均匀随机数来表示点的坐标，确定点的位置．
【解】 设事件A ＝{投在圆内}．
(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数：a 1＝RAND ，b 1＝RAND.
（2）经过伸缩和平移变换：a=a 1*16-8,
b=b 1*16-8,得到两组［-8,8］上的均匀随机数（3）统计投在圆内的次数N 1
（即满足a 2+b 2<36的
点（a,b ）数）.
计算频率：,即为概率P (A )的近似值.
【思维总结】 解决此题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标，从而确定点的位置． 变式训练2 如图，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm 、4 cm 、6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？
解：记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C ＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16]N 1,N )，f n (B )＝N 2N ，f n (C )＝N －N 1N
，即分别为概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值．
考点三：用模拟法近似计算不规则图形的面积
用模拟试验法计算不规则图形的面积，实质上就是利用模拟法估计二维型几何概率的一个延伸性的应用，它相当于给定概率求面积的问题．
利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积．
【思路点拨】 可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计．
【解】 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，
a 1＝RAND ，
b 1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1* 4-3，
b ＝b 1* 3得到一组[1,3],一组[1,3]上的均匀随机数。

(3) 统计实验次数N 和落在阴影部分的点的个数N 1（满足条件b <2-2a -a 2的点（a ，b ）的个数）
(4)计算频率1N N
就是点落在阴影部分的概率的近似值． (5)设阴影部分面积为S .由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 12.∴S 12≈N 1N
. ∴S ＝12N 1N
即为阴影部分面积的近似值．
【思维总结】 本题在解答过程中易犯如下错误：认为阴影部分的点满足条件b >2－2a －a 2，导致错
误的原因是没有验证而直接给出．
方法感悟
1．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．(如例1)
2．对面积型的几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组均匀随机数是不能确定点的位置的，故解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，再根据点的个数比来求概率．(如例2)。