河南省2020年中考数学试题(备用卷) 解析版

河南省2020年中考数学试题（备用卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2020的相反数是（）
A．B．C．2020D．﹣2020
2．（3分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的左视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝124°，则∠4的度数为（）
A．56°B．46°C．66°D．124°
4．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）
A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013
5．（3分）在“交通安全”主题教育活动中，为了了解全省中学生对于交通安全知识的掌握情况，省教育部门计划开展调查，对于该调查的一些建议中，较为合理的是（）A．应该采取全面调查
B．随机抽取某市部分中学生进行调查
C．随机抽取全省部分初一学生进行调查
D．在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查
6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，1）在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＜1＜y2B．y1＜y2＜1C．1＜y2＜y1D．y2＜y1＜1
7．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x+1）*3＝﹣2的根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
8．（3分）我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）
A．﹣＝15B．﹣＝15
C．﹣＝20D．﹣＝20
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（3，3），点D是边BC的中点，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则第2019秒时，点D的坐标为（）
A．（，﹣3）B．（﹣3，﹣）C．（﹣，﹣）
D．（，）
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD 于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP 并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ECDF的周长为（）
A．14B．12C．8D．6
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是．
12．（3分）已知关于x的不等式组其中实数a在数轴上对应的点是如图表示的点A，则不等式组的解集为．
13．（3分）如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是．
14．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+3．
17．（9分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100
七年级01041
八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
年级平均数中位数众数
七年级7575
八年级77.580
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．18．（9分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨
所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）
19．（9分）学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元．
（1）根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是元/件，该产品的成本价格是元/件；
（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？
（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC 于点G．过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．
（1）求证：MD＝GD；
（2）填空：①当∠DEA＝时，AF＝FG；
②若∠AGB的度数为120°，当∠DEA＝时，四边形DEBC是菱形．
21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．
22．（10分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
[数学理解]
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则
点B的坐标是．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上点C（填是否存在），使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的最小值是，此时对应的点D的坐标是．
[问题解决]
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时，＝；
②当α＝180°时，＝；
（2）拓展探究
试判断当0°＜α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决
当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2020的相反数是（）
A．B．C．2020D．﹣2020
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．
故选：C．
2．（3分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的左视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
3．（3分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝124°，则∠4的度数为（）
A．56°B．46°C．66°D．124°
【分析】先求出∠1＝∠5，根据平行线的判定求出a∥b，根据平行线的性质求出∠4＝∠6，再求出∠6即可．
【解答】解：
∵∠2+∠5＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
∴∠4＝∠6，
∵∠3＝124°，
∴∠6＝180°﹣∠3＝56°，
∴∠4＝56°，
故选：A．
4．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）
A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．
故选：B．
5．（3分）在“交通安全”主题教育活动中，为了了解全省中学生对于交通安全知识的掌握情况，省教育部门计划开展调查，对于该调查的一些建议中，较为合理的是（）A．应该采取全面调查
B．随机抽取某市部分中学生进行调查
C．随机抽取全省部分初一学生进行调查
D．在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查
【分析】根据抽取的样本要有代表性进行判断．
【解答】解：在“交通安全”主题教育活动中，为了了解全省中学生对于生命安全知识
的掌握情况，省教育部门计划开展调查，
较为合理的是在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查，
故选：D．
6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，1）在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＜1＜y2B．y1＜y2＜1C．1＜y2＜y1D．y2＜y1＜1
【分析】先根据C（2，1）求得k，即可判断出函数图象所在的象限，再根据点A、B、C 横坐标的大小进行解答即可．
【解答】解：∵C（2，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵﹣2＜0，
∴A（﹣2，y1）在第三象限，
∴y1＜0．
∵2＞1＞0，
∴点B（1，y2），C（2，1）在第一象限．
∴y2＞1，
∴y1＜1＜y2．
故选：A．
7．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x+1）*3＝﹣2的根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】根据运算“*”的定义将方程（x+1）*3＝﹣2转化为一般式，由根的判别式△＝1＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（x+1）*3＝﹣2，
∴（x+1）2﹣3（x+1）＝﹣2，即x2﹣x＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴方程（x+1）*3＝﹣2有两个不相等的实数根．
故选：D．
8．（3分）我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）
A．﹣＝15B．﹣＝15
C．﹣＝20D．﹣＝20
【分析】设原计划每天铺设钢轨x米，则实际每天铺设钢轨（x+20）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前15天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，则实际每天铺设钢轨（x+20）米，
依题意，得：﹣＝15．
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（3，3），点D是边BC的中点，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则第2019秒时，点D的坐标为（）
A．（，﹣3）B．（﹣3，﹣）C．（﹣，﹣）
D．（，）
【分析】根据正方形的性质，中点坐标公式分别求出前9秒时，D点的坐标，再根据规律求得结果．
【解答】解：∵A（3，3），
∴OA＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝90°，OA＝AB＝BC＝OC＝3，
∴OB＝，
∴B（6，0），
∵A点与C点关于OB对称，
∴C（3，﹣3），
∵D是BC的中点，
∴D（，﹣），
将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，旋转1秒后，如图1，
则，，
∴，
同理，，，，，，，，…
由上可知，点D的坐标每8个为一组依次循环着，
∵2019÷8＝252…3，
∴D2019与D3的坐标相同为，
故选：B．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD 于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP
并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ECDF的周长为（）
A．14B．12C．8D．6
【分析】根据作图过程可得AB＝AF，AE平分∠BAD，可以证明▱ABEF是菱形，进而可得四边形ECDF的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAF，
在▱ABCD中，BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AF，
∵BC＝AD，
∴EC＝FD，
∵BC∥AD，
∴四边形AFEB和四边形ECDF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形，
∴AB＝AF＝EF＝BE＝3，
∴CE＝DF＝4﹣3＝1，
CD＝EF＝3，
所以四边形ECDF的周长为：1+1+3+3＝8．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是．
【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
【解答】解：∵1＝，3＝，
∴写出一个大于1且小于3的无理数是．
故答案为（本题答案不唯一）．
12．（3分）已知关于x的不等式组其中实数a在数轴上对应的点是如图表示的点A，则不等式组的解集为a＜x＜1．
【分析】根据数轴可以得到a的正负情况，从而可以得到所求的不等式组的解集，本题得以解决．
【解答】解：由数轴可得，
a＜0，
由不等式组得，a＜x＜1，
故原不等式组的解集是a＜x＜1，
故答案为：a＜x＜1．
13．（3分）如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是．
【分析】先用列表法得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：列表如下：
123
2246
3369
由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果，
∴指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为：＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为4+2．
【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
由题意得，四边形EFCB为矩形，
∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF＝＝2，
则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，
故答案为：4+2．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是π．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，再根据旋转的性质得∠BAB′＝∠CAC′＝45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形门口计算，
利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′进行计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形CAC′﹣S△ABC
＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′
＝﹣
＝π．
故答案为π．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝，
当a＝+3时，
原式＝
＝
＝．
17．（9分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优
于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100
七年级01041
八年级1581
（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
年级平均数中位数众数
七年级76.87575
八年级77.58081
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；
（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；
（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．
【解答】解：（1）七年级的平均数为
（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，
八年级的众数为81；
故答案为：76.8；81；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：
八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；
故答案为：八；
（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．
18．（9分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，
∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．
在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，
AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．
在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，
∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，
∴AD＝＝＝9，
CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．
设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，
解得x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．
19．（9分）学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元．
（1）根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是68元/件，该产品的成本价格是40元/件；
（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？
（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？
【分析】（1）由待定系数法可求销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式，将x＝60代入可求解，由利润＝（售价﹣成本价）×数量，可求解；
（2）由利润＝（售价﹣成本价）×数量，列出w与x的函数解析式，由二次函数的性质可求解；
（3）设科技创新后该产品的成本价格为a元，可得w＝（y﹣a）x＝﹣x2+（80﹣a）x，利用二次函数的性质列出不等式可求解．
【解答】解：（1）设销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝kx+b，由题意可得，
解得：，
∴销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝﹣x+80，
当x＝60时，y＝﹣×60+80＝68（元），
∴该产品的成本价格＝68﹣＝40（元），
故答案为：68，40；
（2）∵w＝（y﹣40）x，
∴w＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，销售利润最大，最大值为2000元．
答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元；
（3）设科技创新后该产品的成本价格为a元，
∵w＝（y﹣a）x＝﹣x2+（80﹣a）x，
∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，
∴﹣＞120，
∴a＜32，
答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元．
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC 于点G．过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．
（1）求证：MD＝GD；
（2）填空：①当∠DEA＝90°时，AF＝FG；
②若∠AGB的度数为120°，当∠DEA＝60°时，四边形DEBC是菱形．
【分析】（1）由圆周角定理和切线的性质可得∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，可证AG＝AM，由等腰三角形的性质可得结论；
（2）①由直角三角形的性质可得AF＝FG＝DF，由等腰三角形的性质和余角的性质可求∠DEA＝90°；
②证得△AMG为等边三角形，得出∠ABM＝30°，由菱形的性质可得∠DBA＝∠DBC
＝30°，DE∥BC，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接BC，DC．
∵D是的中点，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵MA是半圆O的切线，
∴MA⊥AB，
∵AB是半圆O的直径，
∴AD⊥DB，
∴∠ADM＝90°，
∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，
∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，
∴AG＝AM，
∵AD⊥MG，
∴MD＝GD；
（2）解：①若AF＝FG，
∵∠ADG＝90°，
∴AF＝FG＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠ABD，
∵∠ADF+∠EDB＝90°，
∴∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
故答案为：90°；
②∵∠AGB＝120°，
∴∠AGM＝60°，
∵AM＝AG，
∴△AMG为等边三角形，
∴∠M＝60°，
∴∠ABM＝30°，
若四边形DEBC是菱形，
∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，
故答案为：60°．
21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．
【分析】（1）根据y＝﹣x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；
（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得D（，3）；②△DBE∽△ACE，求得D（，）；
（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE＝FG，设D（m，），E （m，），F（n，），G（n，），根据平行四边形周长公式可得：DEGF周长＝﹣2+，由此可求得点G的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，），E（t，），H（t，3）；
∴EC＝，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+4t
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC
∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE
①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
此时BD∥AC，可得D（，3）．
②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE
∵BH⊥CD
∴∠BHD＝90°，
∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝，即：BH•AC＝CE•DH
∴t（4﹣t）＝（）（﹣t2+t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝，
∴D（，）；
综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；
（3）如图2，∵四边形DEGF是平行四边形
∴DE∥FG，DE＝FG
设D（m，），E（m，），F（n，），G（n，），则：DE＝﹣m2+4m，FG＝﹣n2+4n，
∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，即：（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m﹣n≠0
∴m+n﹣4＝0，即：m+n＝4
过点G作GK⊥CD于K，则GK∥AC
∴∠EGK＝∠BAO
∴＝cos∠EGK＝cos∠BAO＝，即：GK•AB＝AO•EG
∴5（n﹣m）＝4EG，即：EG＝（n﹣m）
∴DEGF周长＝2（DE+EG）＝2[（﹣m2+4m）+（n﹣m）]＝﹣2+
∵﹣2＜0，
∴当m＝时，∴▱DEGF周长最大值＝，
∴G（，），
当E，G互换时，结论也成立，此时G（，）．
22．（10分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
[数学理解]
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则
点B的坐标是（1，2）．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上不存在点C（填是否存在），使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的最小值是3，此时对应的点D的坐标是（2，1）．
[问题解决]
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）由条件知x＞0，根据题意得x+＝3，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E 作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴，
解得：，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）；
（2）假设函数y＝（x＞0）的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
根据题意，得|x﹣0|+|﹣0|＝3，
∵x＞0，
∴＞0，|x﹣0|+|﹣0|＝x+，
∴x+＝3，
∴x2+4＝3x，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
故答案是：不存在；
（3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，
∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+＞0，
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
故答案是：3；（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时，＝；
②当α＝180°时，＝；
（2）拓展探究
试判断当0°＜α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决
当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，可求AC的长；然后根据点。