第3章 齐性与量纲的齐次方程
齐次方程
dx + c
∫ p ( x ) dx 得 (1)的通解为： 第四步：将 u ( x ) 代入 y = u ( x ) e ∫ p ( x ) dx ⎡ q ( x )e ∫ p ( x ) dx dx + c ⎤ y=e ⎢∫ ⎥ ⎣ ⎦
−
1. 形式： 一、一阶线性方程 ′ + p ( x) y = q ( x)叫做一阶线性非齐次微分方程； y
②线性方程：
y =u ( x)e
−
y′ + p(x) y = q(x)
→
∫
p ( x ) dx
u =
∫
∫ q ( x )e
p ( x ) dx
dx
③ Bernoulli 方程：
z= y
2. α举例：下页补充一个例子 1−
′ + p( x) y = q( x) y α y
→ z ′ + (1 − α ) z = (1 − α ) q ( x )一阶线性
∫
x=e
−
∫
1− 2 y y2
dy
⎛ 1 ⎞ ⎜ e dy+c⎟ = y e (e +c) = y2(1+ce ) =y e ∫ 2 ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠
1 2 y 1 − y 1 2 y 1 − y 1 y
1 1 ⎛ ∫ 1− 22 y dy ⎞ + 2 ln y ⎛ − − 2 ln y ⎞ y y y ⎜ e ⎜ e dy + c ⎟ = e dy + c ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dy y ⇔ + 2 = 0 — —它不是 y的一阶线性微分方程 dx y + x
dx x 但原方程又 ⇔ + = − y — —它却是以 x为未知函 dy y 数的一阶线性微分方程
相似原理与量纲分析
4 相似原理与量纲分析4.0 本章主要内容导读通过第三章的学习，可以看到用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无法得到问题的解析解，此时往往通过实验方法或者数值模拟方法进行研究。
实验方法通常包括直接实验法和模型研究法。
由于实验研究条件的限制，很多时候并不能采用直接实验法研究原始研究对象(原型)，此时往往采用模型研究法，建立一个模型来模拟原型。
模型实验研究的理论指导基础是相似原理，具体实践方法则是量纲分析。
本章对这两部分内容进行讨论，主要内容如图4-1所示。
图4-1 第四章主要内容导读4.1 相似原理4.1.1相似的基本概念遵循同一物理方程的现象称为同类现象。
如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象。
对于动量传输问题，模型(model)与原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图4-2)：(1)几何相似。
几何相似又称为空间相似，要求模型与原型外形完全一样；对应线段成比例；对应夹角相等；有粗糙度时粗糙度相似；(2)运动相似。
要求模型与原型对应流线几何相似；对应点速度大小成比例，方向相同；(3)动力相似。
又称为受力相似，要求模型与原型的两个对应流场受同种外力作用；对应点上对应作用力成比例。
上述三类相似中，几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据，动力相似是决定二个流动相似的主导因素，运动相似则是几何相似和动力相似的表现。
相似的流动一定是同时满足几何相似、运动相似和动力相似的流动。
完全的几何相似一般并不容易达到。
例如，采用小尺寸模型模拟原型时，除非能够将模型表面加工得比原型光滑得多，否则无法按照原型的表面粗糙度成比例缩小而加工出模型的表面粗糙度；在研究沉淀物的传输时，不能将河床上的物质按比例缩小成粉末，因为细微的粉末之间有内聚力，无法模拟砂粒的特性；在研究河流流动时，水平方向的尺寸远大于垂直方向的尺寸，受实验空间的限制必须对水平方向采用较大比例尺进行缩小，如果将同样的比例尺用于垂直方向，有可能产生太浅的流动，导致毛细作用影响明显，而且河床的斜率太小会使流动保持层流。
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
齐次方程组
定理：若齐次线性方程 组的系数矩阵A的秩r ( A) = r < n， 则它有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为n − r。
必须牢记：基础解系所含向量的个数为 基础解系所含向量的个数为
未知数个数减系数矩阵的秩。 未知数个数减系数矩阵的秩。
推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=r<n ，则方程组有无数多解，其通解为 k1ξ1 + k 2ξ 2 + ⋯ + k n − rξ n − r
(ii )任一解都可由ξ1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n − r 线性表示。
设ξ = (c1 , c2 ,⋯ cr , cr +1 ,⋯ , cn )T 为方程AX = O的任意解，令
ξ0 = cr +1ξ1 + cr + 2ξ 2 +⋯ cnξ n-r
由齐次线性方程组的性质知ξ 0也是方程组的解向量，且ξ 0 的后n − r个分量为cr +1 , cr + 2 ,⋯ , cn , 与ξ的后n − r个分量相等。
A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
所以ξ1 + ξ 2 也是方程组的解向量。 性质2： ξ 是解向量，∀k ∈ R,则kξ 也是解向量。 证：由于 A(λξ ) = λ ( Aξ ) = λ 0 = 0, 故 λξ 是方程组的解向量。
从几何上看，这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方 程表示一个过原点的平面.于是方程组的解，也就是这些 平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的 直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样 的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 由上述性质知，若 ξ1 , ξ 2 ,⋯, ξ n−r 都是方程组 的解向量， λ1 , λ2 ,⋯, λn−r 为任意数，则
高等数学同济五版123齐次方程
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过引入参数 $lambda = frac{y}{x}$，我们 可以得到参数方程 $xlambda' = y'$，进一步求解得到 $x^2 = lambda y$。
幂级数法
总结词
通过将齐次方程转化为幂级数形式，求解齐次方程。
详细描述
幂级数法是将齐次方程转化为幂级数形式，然后通过求解幂级 数得到原方程的解。这种方法适用于某些难以直接求解的齐次
方程。
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过幂级数法，我 们可以得到 $y = x^n$，其中 $n$ 是待求的幂级数系数。
03
齐次方程的应用
在物理中的应用
投资组合优化
在投资组合优化问题中，投资者需要选择一组资产进行投资 ，以实现收益的最大化和风险的最小化。在这个问题中，可 以通过建立齐次方程来描述资产之间的相关性，从而帮助投 资者进行投资决策。
在工程中的应用
机械振动
在研究机械振动问题时，常常需要用到 齐次方程来描述振动的规律。例如，在 研究桥梁、建筑物的振动问题时，可以 通过建立齐次方程来描述振动的频率和 振幅。
齐次方程的特点
齐次方程的每一项都是$y$的整数次幂之和，且每一项的次数都相 同。
齐次方程的性质
齐次方程的解的性质
如果$(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$是齐次方程的一个解，那么$k(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$也是该方程的解，其 中$k$为任意非零常数。
齐次方程的分类
按照指数分类
根据指数的不同，可以将齐次方程分 为线性齐次方程、二次齐次方程、三 次齐次方程等。
量纲分析法
L, T ;
而
[x] L [t] T [r] L [v] LT 1 [g] LT 2
所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的 x 和 t 分别构造且有相同的参数组合 xc 和 tc ，使得
新变量
x x x0
t t t0
为无量纲量，其中 xc , tc 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对
q L M T I N J
量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体 的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例 3—1： 单摆运动，质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，线的另一端固定， 小球偏离平衡位置后，在重力 mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 t 的表达式。
--------------（3.2）
由量纲齐次原则应有 （3.3）
1 2
0 3
0
23 1
---------------
解得：1 0 ,
2
1 2
,
3
1 2
,
代入（3．1）得
t
l g
-------
（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，
lv Fr ; 称为 Reynold 数，记为 Re , 因此（3.10）又可写为
f l 2v2 ( l h , Fr, Re)
------------------（3.11） 4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
设: f、l、h、v、、、g 和 f 、l、h、v、 、、g 分别表示模型和原型中
数学物理方法课程总结
第一部分：一阶线性常微分方程组
● 高阶线性常微分方程化为一阶线性常微分方程组 ● 齐次线性常微分方程（组）解的结构
★基本解组 ★,eAt，A的特征值三种情况 ★通解表达式
● 非齐次线性常微分方程（组）的特解、通解。
第二部分：三类数理方程
第一章：波动方程
● 叠加原理 ● 达朗贝尔公式 ● 齐次化原理 ● 分离变量法求解波动方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 能量积分 ● 用能量积分证明解的唯一性
第二章：热传导方程
● 叠加原理 ● 齐次化原理 ●分离变量法求解热传导方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 傅里叶变换及5个性质 ● 用傅里叶变换求解热传导方程的柯西问题 ● 极值原理 ● 用极值原理证明解的唯一性
第三章：调和方程
● 变分原理 ● 分离变量法求解调和方程的边值问题 ● 格林第二公式 ● 平均值定理 ● 极值原理及其证明 ● 用极值原理证明解的唯一性 ● 格林函数法 ● 格林函数的5个性质及证明思路 ● 特殊边界情况求格林函数
第三节 齐次线性方程组
第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。
即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。
即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。
(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。
解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。
证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。
常微分方程 第三讲：齐次方程
再令 x 2z u
du 6 , dx 3 2u
西 南
两边积分后得 3u u2 6x C,
科
技
大 学
变量还原得 3( x 2sin y) ( x 2sin y)2 6x C.
理
学
院
20
思考题：
求解微分方程
y
2 x 3 3 xy2 3x2 y 2y3
得通解
x
(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
西 南 科
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
技
大
学
理
学
院
9
例1. 求解微分方程 x2 dy xy y2（. P17 eg1） dx
例2. 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
一阶齐次微分方程，简称齐次方程.
eg1: dy x y
dx x y
西 南 科 技 大 学 理
eg2 : dy
x2
y2 sin
y x
dx x2 y2 cos y
学 院
x 7
齐次方程的求解思路：
作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du ,
dx
练习： 试求解微分方程： dy x y dx
西 南 科
思考：求方程 f (xy)ydx g(xy)xdy 0 通解。
技
大
学
理
学
院
5
例：求方程 f (xy)ydx g(xy)xdy 0 通解.
第7.3节 齐次方程
3
例2. 解微分方程 dy y y 解: 方程变形为 2 dx x x u x u 2 u u 2 则有
,
2
y 令u , x
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x u 1 C ln ln , 积分得 即 x ( u 1) C u x u
解
dy 2 y 2 xy 2 dx x xy y 2
2
则
y y 2 x x , 2 y y 1 x x
2
2
y 令 u , x
2u u u u 1 dx u xu , du 2 u (u 1)(u 2) x 1 u u 1 1 1 1 dx [ ( ) ]du , 2 u u 2 u 1 x u 1 Cx. [ln u ln u 2 ] ln u 1 ln Cx , u 2(u 1) 2
第三节 齐次方程
一、齐次方程
第七章
1
一、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
y 解法: 令 u , x du du (u ) u (u ) x 代入原方程得 u x dx dx du dx du d x ln C x 分离变量: (u ) u x (u ) u x
2 ( c 2 c1 0 )
10
例6. 求解 解: 令
令
x h y k hk 40 hk 6 0 dY X Y d X X Y
arctan u 1 ln (1 u 2 ) ln C X 积分得 2
得 h 1, k 5 1 dY 得 d X 1 d u 1 u 1 u dX 再令 Y＝X u , 得 u X du 2 d X 1 u X 1 u
高数齐次方程
y 解法: 令 u , x
代替 u, 便得原方程的通解.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx 此处 C 0 du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
第三节 齐次方程
一、齐次方程
*二、可化为齐次方程的方程
3/2/2017
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
积分后再用
3/2/2017
代回原变量得通解 求解过程中丢失了.
3/2/2017
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
3/2/2017
例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x 则有 u x u 2 u u 2
y , 令u , x
2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
下面证明 1 , 2 , , n r 是齐次线性方程组(1)的一 个基础解系．
(1)证明 1 , 2 ,, n 线性无关.
1 0 , 0 0 1 , , 0 0 0 1
n 由于
r
个n
r
维向量
线性无关， 所以n r 个n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
(2)证明 1 , 2 , , n 线性无关.
设 x 1 方程组的一个解
r
r 1
n 为上述
T
. 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合
b11 b12 b b r1 r2 r 1 1 r 2 0 n 0 1 0 0 b1 ,n r c 1 b r ,n r c r 0 r 1 0 r2 1 n
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 x1 x 3 7 5 x2 x3 7
3 7 4 7
x4, x4.
x3 1 0 2 7 3 7 令 及 ,对应有 x 1 及 , 0 1 x4 x2 5 7 4 7
解
对系数矩阵施 行初等行变换
1 2 A 1 3
1 1 1 1
1 3 3 5
4 5 2 6
量纲分析和相似理论
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
要讲的量纲
1
x1 1
x 1 2
x1 3
x4
2
x2 1
x2 2
x3
2
x5
x x x x nm
nm nm nm
1
2
3n
式中αi,βi,γi(i＝1，2，3,…,n-m)，是各π项的待定指数。
5、根据量和谐原理，各π项的指数皆为零 ，可以求 出指数αi,βi,γi
dim L0M 0T 0
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p 与下列因素有关：管径d、管长L、管壁粗糙度 、管内流体密度、 流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降 p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为
这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它 们之间可以相互换算，具有某种统一性。
一 因次分析的基本概念
1 因次 是物理量的单位种类，又称量刚，如长度、宽度、高
度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位 来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲 （长度量纲），用L表示。
通常表示量纲的符号为 dim 单位：物理量的大小； (不唯一)
设f,l,h,v, , , g和f’,l’,h’,v’, ‘, ’, g’ 分别是船和它的模型的参数
l' l l' g' lg l'v' ' lv
h' h , v'2 v2 ,
'
(1)
则
（ l'
h'
,
l' g' v'2
,
l'
v' '
'）＝
(
l h
量纲分析
解:下面我们按照定理的过程来做.
设关系式为 ( f,l,h,v, , , g) 0
(7)
取基本量纲为L, M ,T .由于
[ ] L3 M ,[] [ p / v ] L1MT 1.
x
回忆：压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
因此量纲矩阵为
加速度a dv , 故[a] LT 2; dt
力f :由牛顿第二定律f ma知,[ f ] LMT 2;
动量[mv ] LMT 1;压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如
万 有 引 力 常 数: 由f
k
m1m2 r2
1 1 1 1 3 1 1 L
A
1
00
0
1
1
0
M
2 0 0 1 0 1 2 T
f lhv g
易验证R( A) 3.因此其一个基础解系含4个解向量 :
0
1
1
y1
0
,
0 0
0
0
l
2
v
2
(
l h
,
lg v2
, lv )
l 2v2 ( l , Fr, Re).
h
虽然ψ的具体表达式我们不知道,但是这并不 能妨碍我们应用这个结果.思想是:
记我们做实验的比例模型的数据为f,l,h,v, , , g;
而航船原型的数据为f ,l,h,v,, , g.
|t 0 1,
(13)
此问题的解仍可记为 x x(t ; )
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第三章 齐性和量纲的齐次方程
对于方程中的任何变量，如果对于任何所采用的测量系统保持有效，但是要求对整个方程中的所有变量都采用同一的测量系统，那么该方程被称为量纲齐性，即量纲一致性（dimensional homogeneity ）。
由于物理和力学上比较的参数具有相同的物理性质，因此物理和力学上的所有通用的定律均可用这样的齐次方程表示，例如，用能量比较能量，用力比较力等等。
早在1822年，Fourier 就已经认识到了这点，并证明了这个特性，即齐性（homogeneity ）。
由于齐性条件从开始就提供了有关物理参数之间的确定关系，因此它能够非常有效地应用在物理和工程方面来帮助求解人们所遇到的难题。
现假定：用一个典型的，且具有明显量纲形式的单值连续函数的齐性方程来表示研究过程中的排列。
即：
()123,,...,n x f x x x =， （3.1）
该方程表示，在一个具体问题里面，所给定的变量（x 1, x 2, …x n ）之间是相互作用的，未知函数（3.1）可通过变量求出。
现作进一步假设，某力学系统具有变量x i ( i = 1, 2, … n ) ，并且测试系统是确定的，那么它们的量纲只要用三个基本量纲[M ]，[L ] 和[T ] 就能够表示；同时，假定对于要求大于三个基本量纲的领域，不排除对于三个基本量纲的开拓。
为了使讨论的具有有效性，令典型变量的量纲为：
[]i
i i a
b c i x M L T ⎡⎤=⋅⋅⎣
⎦ （i = 1，2， … ，n ） 。
（3.2）
该式可用一个矩阵阵列形式来表示： []M []L []T
x 1 a 1 b 1 c 1
x 2 a 2 b 2 c 2 … … … … x i a i b i c i … … … …
x n a n b n c n
式（3.1）的量纲表示为如下式：
()
111222
=,...,n n n a b c a b c a b c M L T f M L T M L T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.3）
（3.1）式的性质表明，当现有测量系统转变到其它测量系统时，这些关系式将保持不变，如公制与英制测量单位之间的转换。
现在，如果引入一些新的测量单位，则原始单位可由下式进行转换并确定：
1 A 1 B 1 C ⎫
⎪
⎬⎪⎭
原始质量单位 = 新的质量单位 ， 原始长度单位 = 新的长度单位 ，原始时间单位 = 新的时间单位 。
（a ） 其中，A ≠ 0，B ≠ 0 和C ≠ 0。
例如，若原始单位为kg 、m 、s ，新单位为lb ，ft ，s 。
则有：
1 () 2.205 () ( 2.205)1 () 3.281 () ( 3.281)1 () 1.0 () ( 1.0)kg mass lb mass A m length ft length B s time s time C ==⎫
⎪
==⎬⎪==⎭
，，， （b ） 为了说明变量转换的作用，现假设原始单位i x ，例如为动能，其测量值为
2222
100 , []i i x kgm s x M L T --⎡⎤==⋅⋅⎣⎦即 。
新单位为i x ，则有
2222 100 2.205 3.281 1.0 i x lb ft s --=⨯⨯⨯⋅⋅ （c ）
由上可见，i x 与i x 具有相同的量纲，即
22
i x M L T -⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎣⎦。
该式又回到了前面所述的矩阵阵列，而且在该种情况下，初始动能矩阵阵列特性不随新单位的变化而改变。
事实上，对于本例来说
1 2 2i i i a b c ===-；； 。
（d ）
再由（b ）式和（c ）式，可得：
122i i x A B C x -=⋅⋅⋅ ，
利用初始动能的一致性，将该式与（d ）式比较，可得如下通式：
i i i a b c i i x A B C x =⋅⋅⋅ 。
（3.4）
现假定函数为齐性，由于（3.1）式的函数关系不随测量系统的改变而变化，对于i x 变量，（3.1）式，必然同样适用，于是有：
()
231 n x f x x x = ，，， （3.5）
将（3.4）式代入（3.5）式，有
(
)
11122212 n n n a b c
a b c a b c
n A B C x f A B C x A B C x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，
， （3.6） 再将（3.1）式代入是上式，有
()()
()()
111222222111
2222 n n n n n n a b c a b c a b c n n a b c a b c n
n a b c A B C f x x f A B C x A B C x f A B C x A B C x f x x A B C ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅ ，，，，，或
，，，， （3.7）
由于（3.7）式的左边无A ，B 和C ，所以该方程的右边的A ，B 和C 的乘积将被约去，即方程（3.6）中的A ，B 和C 组成的是一个恒等式，该可变换常数A 、B 、C 的恒等式条件，这就提供了进行量纲分析的基本关系。
通过如下举例来说明该关系。
例3.1 如图3.1所示，求受一个重量W 加载的简单悬臂梁的挠度y 0 。
图3.1简单悬臂梁
由经验可知，一个忽略了重量的长度为l 的悬臂梁，弯曲刚度不变；在载荷W 的作用下，其自由端的挠度取决于这些分量的数值，当它们之间的关系式未知时，其一般表达为：
()0 y f W EI l =，， (3.8)
变量的量纲为：
[][][][][][]
0232
y L W M L T EI M L T l L --=⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=，
，
， 这些变量对应的矩阵阵列如下： []M []L []T
0y 0 1 0 W 1 1 -2 EI 1 3 -2 l 0 1 0
其中，10x y =、2x W =、3x EI =和4x l =
如前所述，如果引入一个新的测量系统，其矩阵阵列如下： 变量对应得矩阵阵列如下：
[]A M []B L []C T
0y ()10a = ()11b = ()10c = W ()21a = ()21b = ()22c =- EI ()31a = ()33b = ()32c =- l ()40a = ()41b = ()40c =
注意：()i a =、()i b =和()i c =后面跟的数字，表示与3.4式中所对应的指数。
其变量关系系数如下： 对于0y ： 111 a
b
c
A B C B ⋅⋅=，
对于W ： 222
2 a b
c A B C
A B C -⋅⋅=⋅⋅，
对于EI ： 3333
2
a
b
c
A B C A B C -⋅⋅=⋅⋅，
对于l ： 444
a
b
c A B C
B ⋅⋅=。
将这些系数代入（3.6）式，可获得如下关系式
()2320B y f ABC W AB C EI B l --⋅=⋅⋅⋅， ，
（3.9）
由前所述，等式（3.9）中的A 、B 和C 都应约去。
同时，y 0 量纲为长度量纲，因此等式的左边的长度量纲中应还包含着一个Bl 项。
其最简单的组合为：
()()()2220
32
ABC W B l B y B l AB C EI φ--⎡⎤⋅⋅⋅⋅⎢⎥=⋅⋅⎢⎥⎣⎦
， 由该式得：
20
y Wl l EI φ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（3.10）
注意：当满足量纲相似条件时，本例将得到两个无量纲组群，即：
20 y Wl l EI ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
和 函数φ的特性仍然待解，如果需要，可以通过分析问题的物理性质或实验的办法来确定。
等式（3.10）和等式（3.8）的特定将在下一章讨论。
例3.2 求单摆的周期T 。
现假设单摆的周期T 与钟摆的长度l 、质量m 、重力加速度g 和摆角α有关。
解：建立单摆的周期T 的目标函数为
(),,,T f l m g α=
建立单摆运动的变量表
从量纲表中可以看出，钟摆质量m 的量纲与其它量纲组成无量纲群，因此钟摆质量m 与周期T 无关；而摆角α本身为无量纲系数。
由此，可对上述目标函数进行简化，则新目标函数为
(),,T f l g α=
由于单摆长度和重力加速度中的l 和g 的长度量纲可以相除，而除去；因而，目标函数可进一步简化为
,l T f g α⎛⎫= ⎪⎝⎭
或 ,g T f l α⎛⎫
= ⎪⎝⎭；
但上述二个函数右侧的量纲分别为2T 和2T -；根据量纲一致性，将上述二函数统一改为
T f α⎫
=⎪⎪⎭。
由于上式中，α为无量纲系数，则上式可改写为
()T f α=； 也可改写为无量纲群数的形式
()
f T α=无量纲系数()f α可以通过利用物理定律分析或者实验测定。
此处
()2f απ=。
T=。
即单摆的周期2
我们可以从上述例子中看出，在不涉及事物的本质的情况下，通过量纲分析可以得到事物变量的相互关系；而且，事物的变量由四个减少到二个，这样可以大大简化和减少实验工作量。
但是，量纲分析没有解释事物的本质，即不能回答“为什么？”的问题。