四川省眉山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

四川省眉山市2018-2019学年高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集2，3，4，，集合，则
A. B.
C. 2，
D. 2，3，4，
【答案】C
【解析】解：全集2，3，4，，集合，
2，．
故选：C．
根据补集的定义求出M补集即可．
此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2.计算：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】解：．
故选：B．
利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值
是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
则，
故选：D．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.函数是
A. 偶函数且最小正周期为
B. 奇函数且最小正周期为
C. 偶函数且最小正周期为
D. 奇函数且最小正周期为
【答案】A
【解析】解：由题意可得：，
所以该函数图象关于y轴对称，属于偶函数，且周期为．
故选：A．
先将函数运用二倍角公式化简为的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．
本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法一般都要把三角函数化简为的形式再解题．
5.设0，，1，2，，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有a的值有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】解：当时，的定义域是，且为奇函数，不符合题意；
当时，函数的定义域是且为偶函数，不符合题意；
当时，函数的定义域是且为非奇非偶函数，不符合题意；
当时，函数的定义域是R且为奇函数，满足题意；
当时，函数的定义域是R且为偶函数，不符合题意；
当时，函数的定义域是R且为奇函数，满足题意；
满足题意的的值为1，3．
故选：B．
分别验证，0，，1，2，3知当或时，函数的定义域是R且为奇函数．
本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．
6.设集合，，若，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，，因为，所以；
故选：C．
根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．
此题考查了子集及其运算，属于简单题．
7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】解：由，
即把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，
故选：D．
由三角函数图象的平移可得：把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，得解．
本题考查了三角函数图象的平移，属简单题．
8.函数的部分图象如图，则，可以取的一组值是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：，
，，
又由
得．
故选：D．
由图象可知，可求出，再由最大值求出．
本题考查函数的部分图象求解析式，由最值与平衡位置确定周期求，由最值点求的方法．9.已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数一定存在零点的区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由于，，
根据函数零点的存在定理可知故函数f在区间内一定有零点，其他区间不好判断．
故选：C．
利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．
10.设函数，则满足的x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数，则由可得，或．
解可得，解可得，
综合可得x的取值范围是，
故选：A．
由题意可得，或，分别求得、的解集，再取并集，即得所求．
本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的性质，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．
11.同时具有性质“周期为，图象关于直线对称，在上是增函数”的函数是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数的周期，不满足条件．
B.函数的周期，当时，，则函数关于不对称，不满足条件．
C.函数的周期，当时，，则函数关于对称，不满足条件．
D.函数的周期，当时，，该函数关于关于直线对称，在上是增函数，满足条件．
故选：D．
根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．
本题主要考查三角函数的性质，根据三角函数的周期性对称性和单调性的性质是解决本题的关键．
12.已知奇函数的定义域为，当时，，若函数的零点恰有两
个，则实数a的取值范围是
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】解：是奇函数，是奇函数，
恰好有两个零点，
在上只有1个零点．
当时，，
在上单调递增，
．
故选：A．
利用奇偶性可知在上只有1个零点，根据在上的单调性即可列出不等式，求出a的范围．本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数的定义域为______．
【答案】
【解析】解：要使函数有意义，则，
即，
．
即函数的定义域为．
故答案为：．
根据函数的解析式，列出不等式组，求出解集即可．
本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．
14.若，则的值等于______．
【答案】6
【解析】解：，
，
故答案为：6．
由于，将化简为，问题解决了．
本题考查同角三角函数间的基本关系，将化简为是关键，属于基础题．
15.设定义在R上的函数的周期为，当时，，则______．
【答案】
【解析】解：定义在R上的函数的周期为，
则：，
当时，，
故：．
故答案为：．
直接利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用．
16.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和
乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．
【答案】5
【解析】解：5秒后甲桶和乙桶的水量相等，
函数满足，
即，得，
当k秒后甲桶中的水只有升，即，
即，
即，
经过了秒，即，
故答案为：5．
根据5秒后甲桶和乙桶的水量相等，得到n的值，由建立关于k的方程，结合对数恒等式进行求解即可．本题主要考查函数的应用问题，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键本题的难点在于正确读懂题意．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知，，求以及的值．
【答案】解：，，，，
；
．
【解析】利用同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式即可得出．
熟练掌握同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式是解题的关键．
18.已知函数
求函数的最小正周期和单调递减区间；
求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合．
【答案】解：，
则函数的周期，
由，，
即，，
即函数的单调递减区间为，．
当时，函数取得最大值，
此时，即，，
即函数取得最大值是x的取值范围是．
【解析】用三角函数的倍角公式斤先化简，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解根据三角函数最值性质进行求解即可
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为是解决本题的关键．
19.科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：
分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中瓦平
方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．
已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
求a和m的值
为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．
【答案】解：将瓦平方米，瓦平方米代入，
得，
即，．
由题意得，得，
得，即，
即，
答：此时声音强度I的最大值为瓦平方米．
【解析】根据条件代入关系式，即可求出a和m的值；
解不等式即可．
本题主要考查函数的应用问题，解对数的运算法则是解决本题的关键．
20.已知函数．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ设函数，求函数的值域．
【答案】解：Ⅰ，
，
Ⅱ
，
所以的值域为：．
【解析】Ⅰ利用两角差的正弦公式可得；
Ⅱ利用二倍角、两角和的余弦公式、辅助角公式可得．
本题考查了三角函数的恒等变换应用属中档题．
21.已知二次函数有两个零点0和，且最小值是，函数与的图象关于原点对称．
求和的解析式；
若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】解：二次函数有两个零点0和，
设图象的对称轴是，
，即，
，
．
函数的图象与的图象关于原点对称，
．
由得．
当时，满足在区间上是增函数；
当时，图象对称轴是
则，
又，解得；
当时，同理需，
又，解得．
综上，满足条件的实数的取值范围是．
【解析】根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求和的解析式；
根据在区间上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数的取值范围．
本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．
22.已知函数，．
若函数为奇函数，求实数a的值；
设函数，且，已知对任意的恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：函数为奇函数，定义域为R，关于原点对称，
，即，
化简得：，即；
，
由，化简得，，
设，，则，
对任意的恒成立，
对任意，不等式恒成立．
注意到，分离参数得对任意恒成立．
设，，即．
，
可知在上单调递增，
．
．
故a的取值范围为．
【解析】由函数为奇函数，利用列式即可求得；
，由，得，设，，则，分离参数a，得到对任意恒成立，再由函数的单调性求得在上
的最小值得答案．
本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．。