湖北高三高中数学月考试卷带答案解析

湖北高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则的值为（）A．B．C．D．
2.已知集合，，则( )
A．B．C．D．
3.在等差数列中，已知，则= ( )
A．10B．18C．20D．28
4.下面几个命题中，假命题是（）
A．“若,则”的否命题；
B．“，函数在定义域内单调递增”的否定；
C．“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；
D．“”是“”的必要条件.
5.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则
从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为（）
A．B．C．D．
6.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )
A．动点在平面上的射影在线段上
B．恒有平面⊥平面
C．三棱锥的体积有最大值
D．异面直线与不可能垂直
7.设，，若，则的最小值为( )
A．B．6C．D．
8.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
9.函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，并且，则该函数图象的一条对称轴为( )
A．B．C．D．
10.平面上的点使关于t的二次方程的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点的集合在平面内的区域的形状是（）
二、填空题
1.若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于整数k的条件是_______________
2.如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设
，则的最大值等于
3.设x，y满足若目标函数z=ax+y（a>0）的最大值为14，则a=
4.在三棱锥中，，平面ABC,.若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为
5.若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭
圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.
6.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式
,那么的取值范围是
7.函数在区间（）内单调递增，则a的取值范围是
三、解答题
1.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若，，a＝2，且·＝．
（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
（2）求b＋c的取值范围．
2.设数列的前项和为,
已知,,,是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;(2)求;
(3)求满足的最大正整数的值.
3.如图，在三棱锥中，直线平面，且
，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.
(1)证明：直线平面；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值.
4.已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
（2）若不等式有解，求实数m的取值菹围；
（3）证明：当a=0时，.
5.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．
（1）求抛物线的方程；
（2)设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．
湖北高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.设是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则的值为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由复数可化为.复数对应的点在直线上，所以可得.
【考点】1.复数的运算.2.复数对应复平面的点的一一对应.
2.已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得.又因为.所以
.
【考点】1.二次不等式的解法.2.集合的运算.
3.在等差数列中，已知，则= ( )
A．10B．18C．20D．28
【答案】C
【解析】因为在等差数列中，.
【考点】1.等差数列的性质.2.整体的数学思想.
4.下面几个命题中，假命题是（）
A．“若,则”的否命题；
B．“，函数在定义域内单调递增”的否定；
C．“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；
D．“”是“”的必要条件.
【答案】D
【解析】选项A的命题的否命题为“若,则”，该命题为真命题.选项B的命题的否定为“，函数在定义域内不单调递增”，该命题为真命题.选项C是用“或”连接的复合命题，所以要两个命题
都是假命题复合命题才是假命题.由“是函数的一个周期”是真命题，所以C选项的命题是真命题.由于“”是“”的充分不必要条件.所以D选项的命题不正确.
【考点】1.命题的知识.2.命题的否定.3.否命题.4.函数知识.5.充要条件.
5.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身
高在[ 120 , 130），[130 ，140） , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，
则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意可得.所以身高在[ 120 , 130），[130 ，
140） , [140 , 150]三组内的学生比例为3:2:1.所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为3.
【考点】1.统计的知识.2.分层抽样的方法.3.识别图标的能力.
6.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )
A．动点在平面上的射影在线段上
B．恒有平面⊥平面
C．三棱锥的体积有最大值
D．异面直线与不可能垂直
【答案】D
【解析】由于.所以平面.经过点作平面ABC的垂线垂足在AF上.所以A选项
正确.由A可知B选项正确.当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，所以C正确.因为，设.所以，当时，.所以异面直
线与可能垂直.所以D选项不正确.
【考点】1.线面位置关系.2.面面的位置关系.3.体积公式.4.异面直线所成的角.5.空间想象力.
7.设，，若，则的最小值为( )
A．B．6C．D．
【答案】A
【解析】由可得，.因为，，所以
当且仅当即时取等号.
【考点】1.基本不等式的应用.2.构造基本不等式的知识.
8.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为关于的方程有两个不同的实根，即有两个不同的实根.等价于函数与函数有两个交点.如图可得.
【考点】1.含绝对值的函数的图象.2.函数与方程问题.3.数形结合的数学思想.
9.函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，
并且，则该函数图象的一条对称轴为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，所以.所以函数可化为.由，设函数周期为T，可得.所以，所以函数的解析式为. .代入四个选
项可得是该函数图象的一条对称轴.
【考点】1.函数图象的识别.2.三角函数的性质.3.解三角形的知识.
10.平面上的点使关于t的二次方程的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点的集合在平面内的区域的形状是（）
【答案】D
【解析】设关于t的二次方程的根为.由于根的值都是绝对值不超过1的实数，
由韦达定理可得.通过作图可知x,y符合D选项的图形.
【考点】1.线性规划问题.2.绝对值的知识.
二、填空题
1.若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于整数k的条件是_______________
【答案】（或）
【解析】当时，得到.在进入循环可得.根据题意即退出循环，所以整数k的条件是（或）.
【考点】1.程序框图.2.递推的思想.
2.如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设
，则的最大值等于
【答案】
【解析】如图建立直角坐标系.三角形CDB中的点x,y满足不等式组.
又因为.所以.将代入可得.由图可知，目标
函数过点时在轴上的截距最大，即的最大值为.
【考点】1.平面向量的基本定理.2.线性规划问题.3.构建坐标系解决向量问题.4.换元的思想.
3.设x，y满足若目标函数z=ax+y（a>0）的最大值为14，则a=
【答案】2
【解析】依题意可得x，y满足如图所示.
由于，目标函数过点的截距最大，即z取最大值14.所以可解得.
【考点】1.线性规划知识.2.含参数直线方程的确定.
4.在三棱锥中，，平面ABC,.若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为
【答案】
【解析】左视图是一个直角三角形，其直角边分别是2与.所以面积为.
【考点】1.三视图知识.2.三角形面积的计算.
5.若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.
【答案】
【解析】由于过点作圆切线，切点为.所以切线为，联立.解得.即为两个切点A,B.所以直线.所以直线与x,y的交点坐标分别为.依题意椭圆
中.所以椭圆方程为.
【考点】1.圆的切线方程.2.椭圆的性质.3.待定系数求椭圆的方程.
6.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式
,那么的取值范围是
【答案】(9,49)
【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，.
.满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方
的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.
【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.
7.函数在区间（）内单调递增，则a的取值范围是
【答案】
【解析】
设，则。

因为，在上，，单调递减；而在区间（）内单调递增，且，所以应满足，即所以解得.【考点】1.利用导数研究函数的单调性.2.复合函数的性质.3.数形结合的数学思想.
三、解答题
1.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若，，a＝2，且·＝．
（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
（2）求b＋c的取值范围．
【答案】（1）4;（2）(2，4]
【解析】（1）由，，且·＝．可求得角A的值，又因为△ABC的面
积S＝，a＝2，在三角形中利用余弦与三角形的面积公式，即可解出b,c的值或者直接构造b+c，即可得到结论.
（2）由（1）可知角A，以及边长.用角B结合正弦定理分别表示出b,c.再结合角B的范围，求出b+c的取值范
围即可.
试题解析：（1）∵，，且·＝，
∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，
又A∈(0，π)，∴A＝. 3分
又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，
∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4. 7分
（2）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝p－A＝，
∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)， . 12分
∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是(2，4]..14分
【考点】1.三角函数恒等变换.2.正余弦定理的应用.3.三角函数最值的求法.
2.设数列的前项和为,
已知,,,是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;(2)求;
(3)求满足的最大正整数的值.
【答案】（1）；（2）；（3）1
【解析】（1）由可构造的递推式，从而得到通项的递推式，即可得到通项公式.
（2）由（1）以及数列，可得到数列为等差数列，即可求出通项公式，再根据等差数列的前n 和公式可得及轮.
（3）由（2）可得.所以由通项即.即可求得的值，再解不等式即可得结论.
试题解析：(1)解:∵当时,,
∴
∴
∵,,
∴
∴数列是以为首项,公比为的等比数列.
∴
(2)解:由(1)得:,
∴
(3)解:
令>2013/2014,解得:n<1007/1006
故满足条件的最大正整数的值为1
【考点】1.数列的前n项和与通项的关系.2.等差数列的求和公式.3.不等式的证明.4.通项的思想解决数列问题.
3.如图，在三棱锥中，直线平面，且
，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.
(1)证明：直线平面；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)参考解析；(2)
【解析】（1）点，，分别是线段，，的中点所以,平面PAC.所以平面PAC.同理证明MN平面PAC.又由于.所以平面QMN平面PAC.又平面QMN.所以直线平面.
（2）根据已知条件建立坐标系，写出关键点的坐标，并写出相应的向量，计算平面QAN与MAN的法向量，求法向量的夹角，即可得到结论.
试题解析：（1）.连结QM因为点，，分别是线段，，的中点
所以QM∥PAMN∥ACQM∥平面PACMN∥平面PAC
因为MN∩QM=M所以平面QMN∥平面PACQK平面QMN
所以QK∥平面PAC··············7分
（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为
二面角的平面角,令即QM=AM=1所以
此时sin∠MAH=sin∠BAN=MH=记二面角的平面角为
则tan=COS=即为所求。

···········14分
方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设
则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),
=(0,-1,1),
记，则
取
又平面ANM的一个法向量，所以cos=
即为所求。

14分
【考点】1.线面平行.2.面面平行.3.二面角的知识.
4.已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
（2）若不等式有解，求实数m的取值菹围；
（3）证明：当a=0时，.
【答案】(1)参考解析；（2）；（3）参考解析
【解析】(1)由于，.需求的单调区间，通过对函数求导，在讨论的范围即可得函数的单调区间.
（2）本小题可等价转化为，求实数m的取值菹围，使得有解，等价于小于函数，的最小值.所以对函数求导，由导函数的解析式，通过应用基本不等式，即可得
到函数的单调性，从而得到最小值.即可得到结论.
（Ⅲ）由于）当时，.本小题解法通过构造.即两个函数与的差，通过等价证明函数的最小值与函数的最大值的差大于2.所以对两个
函数分别研究即可得到结论.
试题解析：(1)的定义域是，当时，，所以在单调递增；
当时，由，解得.则当时.，所以单调递增.当时，
，所以单调递减.综上所述：当时，在单调递增；当时，在上
单调递增，在单调递减.
（2）由题意：有解，即有解，因此只需有解即可，设
，，因为，且时，所以，即.故在上递减，所以故.
（Ⅲ）当时，，与的公共定义域为，
，设，.因为，
在单调递增..又设，，.当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以为的极大值点，即.故
.
【考点】1.函数的单调性.2.含不等式的证明.3.构建新的函数问题.4.运算能力.5.数学知识综合应用.
5.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．
（1）求抛物线的方程；
（2)设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）由于点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，假设点，再通过，可得一个关于
与的关系式，在结合抛物线方程即可求出.从而求得抛物线的方程.
（2）因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数.所以假设直
线PA，联立抛物线方程即可得到点A的坐标，类比地求出点B的坐标.结合韦达定理，可以得到直线AB的斜率为定值-1.通过假设直线AB的方程，联立抛物线的方程，应用点到直线的距离，即可表示三角形的面积.再通过求最
值即能到结论.
试题解析：（1）设，因为，由抛物线的定义得，又，所以，
因此，解得，从而抛物线的方程为．
（2)由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数
设直线的斜率为，则，由题意，
把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，
由韦达定理得，即，同理，
所以，
设，把代入抛物线方程得，
由题意，且，从而
又，所以，点到的距离，
因此，设，
则，
由知，所以在上为增函数，因此，
即面积的最大值为．
的面积取最大值时，所以直线的方程为．
【考点】1.抛物线的性质.2.函数的最值.3.等价变换.4.圆锥曲线与函数知识的交汇.。