高中数学2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律同步训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学2．3 平面向量的数量积２.３.2 向量数量积的运算律同步训练新人教B版必修4
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2．3。

2 向量数量积的运算律
知识点一：向量的数量积
１．已知向量a与b满足｜a｜=3,|ｂ｜＝6,〈a,b〉=错误!，则a·b等于
A.－9 B．９ C.９＼ｒ(3) D.-９错误!
2.已知非零向量m，n满足ｍ·n≥0，则m与ｎ夹角θ的取值范围是
Ａ．［0,错误!) B．[0，错误!]
C.[错误!，π）
D.［错误!,π]
３.一物体在力Ｆ的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AＢ＝1０3米,F与水平方向成３０°角,｜Ｆ|=5牛顿,则物体从Ａ运动到B力F所做的功W＝____＿＿____________ _____＿___＿______＿_＿＿_＿______＿____＿___＿_____＿＿__＿________________________.
4.给出下列命题中,
①若a=０，则对任一向量b，有ａ·b=0；
②若a≠0，则对任意一个非零向量b,有a·b≠0；
③若a≠0，a·b＝0，则b=0；
④若a·b＝０,则ａ、b至少有一个为0；
⑤若a≠0,a·b=a·ｃ,则ｂ=ｃ；
⑥若a·b＝a·ｃ,且b≠c，当且仅当a＝0时成立.
其中真命题为_＿______．
5.（2010江西高考,文13）已知向量a,b满足|b|=２,a与b的夹角为60°，则b在ａ上的投影是＿_＿_＿____＿.
知识点二:向量数量积的性质及运算律
6．向量a,b、ｃ满足a＋b+c＝0且a⊥ｂ，｜a｜＝１，|b|=2，则|c｜２等于
A.1 B．2 Ｃ.４D．5
7．已知|ａ|＝１，|b|=6,a·(b－ａ）＝2,则向量a与b的夹角是
A。

错误! B．错误!Ｃ。

错误! D。

错误!
8．设平面上有四个互异的点Ａ、B、C、D，已知（错误!＋错误!－２错误!)·(错误!－错误!）=０,则△ＡBC是
Ａ．直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形Ｄ．等边三角形
9．(20１0湖南高考,文6)若非零向量a,ｂ满足｜a|=｜b|,（２a+b)·b＝0，则ａ与b的夹角为
A.3０° Ｂ.60° C.12０°D．1５0°
10.设a,b,c为任意向量,ｍ∈R,下列各式中
①（a－b)＋c=a－（ｂ-c)
②m(a＋ｂ）=mａ+m b
③(a-ｂ)·c＝ａ·ｃ－b·c
④(a·b）ｃ=ａ(b·c)
⑤|ａ·b｜=|a|｜b|
不成立的有______＿_.
11.已知|a｜=１，|b|=错误!，设a与ｂ的夹角为θ。

（1)若θ=π
3
，求|a＋ｂ｜；
（2)若a与a－ｂ垂直,求θ。

能力点一:有关数量积的计算问题
1２.已知非零向量a，ｂ，若(a+２b)⊥(ａ-2b）,则错误!等于
A.错误!
B.4
C.错误!D．2
13.已知|a|＝３,|b|＝5,且a·ｂ＝1２,则向量ａ在向量b上的正射影的数量为
A。

错误! B．3 Ｃ.4 Ｄ.５
1４.对于任意向量x和ｙ,|x｜｜y｜与x·y的大小关系是
A.|ｘ||y|≤x·yＢ.|x||y｜>x·y
C.｜x｜｜y｜≥x·yＤ.|ｘ｜｜y|＜x·y
15.已知|a|=２,|b｜＝６,a·(b－a)＝2,则|a-λｂ|的最小值为
A．4 B.2＼r(３)
C．２ D.错误!
1６．若｜ａ｜=3，|b｜＝5，且a＋λｂ与a－λb垂直,则λ＝__＿__＿_＿。

1７.已知|ａ|=２｜b|≠0，且关于x的方程x2＋｜a|x+a·ｂ＝0有实根，求a与b夹角的取值范围．
18。

设平面内两个向量a与b互相垂直且｜ａ|＝2,|b｜=１，又ｋ与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x=a＋(t-4）ｂ与ｙ＝－k a+t b互相垂直,求k关于ｔ的函数解析式ｋ＝f(ｔ)；
(2)求函数k=f（ｔ）取最小值时的向量x、ｙ.
能力点二：数量积的应用
19.一质点受到平面上的三个力F1,F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知Ｆ1,F2成60°角，且Ｆ１,F２的大小分别为2和４,则F3的大小为
A.6
B.2
C．2错误!Ｄ.2错误!
20．(2010四川高考，理５）设点Ｍ是线段BＣ的中点，点Ａ在直线BC外，错误!2=1６,|错误! +错误!|=|错误!-错误!|，则|错误!|等于
A.８Ｂ．４ C．２D．1
2１．(2010天津高考，文9)如图，在△ＡBC中,ＡD⊥AB,错误!＝错误!错误!，|错误!|=1，则A错误!·A错误!等于
A.2错误! B。

错误!C．错误!D。

错误!
22．在边长为错误!的等边三角形ABC中,设错误!＝ｃ,错误!=a,错误!=ｂ，则ａ·b＋b·c+ｃ·a＝__＿_____.
２３．在△AＢC中，设错误!=c,错误!=a,错误!＝ｂ,且ａ·b=b·c=c·a，试判断△ABC的形状.
2４.在等腰直角三角形AＢＣ中,∠C是直角,ＣA＝CB，D是CB的中点，Ｅ是AＢ上的一点，且AＥ＝2EB.求证：AD⊥CE。

答案与解析
基础巩固
1.Ａ 2。

B
3.75 W＝|Ｆ｜·｜错误!|·cos3０°=5×10错误!×错误!＝75。

4.①
5．1 b在a上的投影是|b｜cos６0°＝2×＼ｆ(１,２)＝１．
6．D ｜ｃ|２＝c2=[-(a＋b)］2＝(a＋b）2＝|a｜2+|ｂ｜2＋2a·b,∵a⊥ｂ,∴a·ｂ=0。

∴|c|2＝１+2２=5。

7．C
8．B （错误!＋错误!-2错误!)·（错误!-错误!）＝[(错误!-错误!)+（错误!-错误!)]·(错误!-错误!)＝（错误!+错误!)·（错误!－错误!）=｜错误!|2－|错误!｜2=0,∴|错误!｜=|错误!|.
9.C 0＝(２a+b)·ｂ＝2a·b＋b2=2|a｜|ｂ｜ｃos〈a,ｂ〉+｜b|2,
∵|a|=｜b｜≠0,
∴2ｃos〈ａ·b〉＋1=0,cos〈a,ｂ〉＝－错误!,<a,b＞=12０°．
10.④⑤
11.解:(1)∵｜a＋ｂ|2＝（ａ+b)2＝a2＋ｂ2+２ａ·b
=１＋（错误!)2+2×１×错误!×cos错误!=3+错误!,∴|a＋b|＝错误!．
(２)由条件得a ·（ａ-b )=0,∴a 2
＝ａ·ｂ＝|a |·｜ｂ|·ｃｏsθ。

∴cosθ=错误!=错误!＝错误!. ∴θ＝错误!． 能力提升
12.Ｄ 因为（a ＋2b )⊥（a －2ｂ),所以(ａ＋2b )·(ａ－２ｂ)＝0.所以a 2
=４b 2
.所以｜a ｜＝2｜b |。

故｜a ｜｜ｂ|
=2。

13．A 由于co ｓ〈ａ,b 〉＝错误!＝错误!＝错误!, ∴｜a ｜·cｏs<ａ,ｂ〉=３×4
5=错误!．
1４.C
15.D ∵ａ·（ｂ－a ）=a·b －｜ａ｜2
=a·b －4，∴a·b =6。

｜a -λｂ|2＝｜a |2+λ２｜b ｜2-2λa ·b ＝４＋3６λ2
-12λ＝３6（λ－16)２＋3,
∴当λ＝＼ｆ(1,６）时，|a -λｂ|2
取最小值3。

∴|a －λｂ|的最小值为＼r （3). 16.±错误! 由于(a +λｂ)·(ａ-λb ）=0， ∴|a |2
－λ2
|b ｜2
＝0． ∴λ2＝错误!=错误!。

∴λ=±错误!.
17.解：设a 与b 的夹角为θ，根据题意得Δ≥0，即|ａ｜2
－４a ·b ≥0， 即|a ｜2
－４|ａ||b ｜·coｓθ≥0, ∴|a |2-4｜a |×错误!|a ｜·cｏsθ≥０。

∴cosθ≤＼f （1,2).∴θ∈［错误!,π]. 18．解：(1)∵a⊥b ，∴a·b =０.
又ｘ⊥y ，∴x·y ＝0，
即［a +(t-３)b ]·(－k ａ＋t b )＝0.
-k a ２
-ｋ(t －３)a·b +t ａ·ｂ＋ｔ（t-3)b ２
=0． ∵|ａ｜＝2，|ｂ｜=1, ∴－４k ＋t 2
－3t=0， 即k ＝＼f(1,4）(t 2
-３t).
(２)由（1）知,k ＝＼f （1,4）(t 2
-3t)＝错误!（t-错误!)2
－错误!, 即函数最小值为－错误!,此时t ＝错误!， ∴ｘ=a -错误!b ,y =错误!ａ＋错误!b .
19.D 由已知得Ｆ1+F 2+F ３＝0，∴F 3=-（F １＋Ｆ２）．Ｆ＼o ＼al(2
，３)＝(F １＋F ２）2
=F 错误!+
Ｆ22＋２|F 1|｜F 2｜c ｏs60°＝28。

∴|F 3｜=２错误!。

２０.C 因为｜AB →＋错误!｜=｜错误!-错误!｜，平方得错误!·错误!＝0,即错误!⊥错误!, 又错误!2
=1６, 所以|错误!|=4.
所以|错误!|＝错误!｜错误!|=2.
21.D 设|错误!｜=x ，则|错误!|=错误!x ，
错误!·错误!=(错误!+错误!）·错误!＝错误!·错误!=|错误!|·｜错误!|·cos∠ADB＝错误!
x×1×错误!=错误!。

22.-3
23．解：∵a·b ＝b·ｃ,
∴b·（a －c )＝0．
又b =-（ａ＋c ),则有－（a ＋c )·（a -c )=0，
即c２－a2＝0,也即|ｃ|＝|a｜。

同理｜ｂ|＝｜ａ|，故|a｜=|b|＝|c|。

所以△ABC为正三角形．
拓展探究
２4.证明:方法一:错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!+错误!)
＝错误!·错误!+错误!·错误!+错误!·错误!+错误!·错误!
=-错误!+错误!·（错误!错误!)+0＋错误!错误!·错误!错误!
＝-｜错误!|2＋错误!｜错误!|｜错误!|cos45°+错误!|错误!||错误!｜ｃos４５°
=－｜错误!｜２＋错误!·|错误!|·错误!|错误!｜·错误!＋错误!·｜错误!｜·错误!|错误! |·错误!
＝-|错误!|2＋错误!｜错误!|2+错误!|错误!|２=0。

∴错误!⊥错误!，即AD⊥ＣE.
方法二:设错误!＝a,错误!＝b.
由题设得|a|=｜b|，a·b=0。

∵D为CＢ的中点,
∴错误!＝错误!ｂ-a.
∵AE＝2EB,
∴错误!=错误!错误!=错误!(ｂ-a)＝错误!b-错误!a.
∴错误!＝错误!＋错误!=a＋错误!b－错误!a＝错误!a+错误!b。

∴错误!·错误!＝(错误!b－a)（错误!ａ+错误!b)
＝1
6
ａ·ｂ－错误!ａ·b+错误!b2－错误!a2
=错误!(|ｂ｜２-|a|2）＝0。

∴错误!⊥错误!,即ＡD⊥CＥ.
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