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1.1.1三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
abc
sin A sin B sin C
变式:
1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sin C
或a k sin A，b k sin B，c k sin C （k 0）.
定理的应用 （1）已知两角和任一边，
求其它两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其它边和 角.
5(
sin 30
6
2)
练习：已知两角和任一边，求其它两边和一角.
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30 , a c 4 3
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B b
3 2 2
2
3
2 （三角形中大边对大角）
例4 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 运用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
解三角形.
C
解：根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 b
由正弦定理 a c
a
sin A sin C
Ac
B
得a
c sin A sin C
10 sin 45
= sin 30
10
2
由正弦定理 b c sin B sin C
得
b=
c sin B
sin C =
10 sin105
c a sin C 2 6 2 3 1
sin A 2
4
2
判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
两解 (3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o
无解
三角形面积公式：
A
SΔABC
b cosB
c, cosC
试判断ΔABC的形状 .
解： 令
a sinA
k,由正弦定理，得
a ksinA, b ksinB, c ksinC
代入已知条件，得：
sinA cosA
sinB cosB
sinC cosC
即 tanA tanB tanC
又A, B,C (0, π), A B C, 从而ΔABC为正三角 形。
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2
(2)已知两边和其中一边的对角,求其它边和角.
练习：在ABC中，a=2,b 2, A 450,求B,C,c
解：由正弦定理得sin B bsin A a
a b, A B,且00 B 1800
2
2 2
1
2
2
B 300 ,C 105 （三角形中大边对大角）
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°. 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90°＝2sin Bcos(90° －B)， ∴sin2B＝12. ∵B 是锐角，
∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC 是等腰直角三角形．
1 2
absinC
1 2
bcsinA
1 2
acsinB
c ha
b
证明：∵
SΔABC
1 2
aha
而 ha AD c sinB bsinC
B
Da
C
∴
S
ΔAB
C
1 2
acsinB
1 2
ab
sinC
∴
S
Δ
同理 SΔ
ABC
1 2
a
ABC
bs
1 2
bc
inC
sinA
1 bc 2
s
i
n
A
1 2
acsinB
例3.在ΔABC中,已知 a cosA
即
abc
sin A sin B sin C
变式:
1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sin C
或a k sin A，b k sin B，c k sin C （k 0）.
定理的应用 （1）已知两角和任一边，
求其它两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其它边和 角.
5(
sin 30
6
2)
练习：已知两角和任一边，求其它两边和一角.
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30 , a c 4 3
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B b
3 2 2
2
3
2 （三角形中大边对大角）
例4 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 运用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
解三角形.
C
解：根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 b
由正弦定理 a c
a
sin A sin C
Ac
B
得a
c sin A sin C
10 sin 45
= sin 30
10
2
由正弦定理 b c sin B sin C
得
b=
c sin B
sin C =
10 sin105
c a sin C 2 6 2 3 1
sin A 2
4
2
判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
两解 (3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o
无解
三角形面积公式：
A
SΔABC
b cosB
c, cosC
试判断ΔABC的形状 .
解： 令
a sinA
k,由正弦定理，得
a ksinA, b ksinB, c ksinC
代入已知条件，得：
sinA cosA
sinB cosB
sinC cosC
即 tanA tanB tanC
又A, B,C (0, π), A B C, 从而ΔABC为正三角 形。
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2
(2)已知两边和其中一边的对角,求其它边和角.
练习：在ABC中，a=2,b 2, A 450,求B,C,c
解：由正弦定理得sin B bsin A a
a b, A B,且00 B 1800
2
2 2
1
2
2
B 300 ,C 105 （三角形中大边对大角）
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°. 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90°＝2sin Bcos(90° －B)， ∴sin2B＝12. ∵B 是锐角，
∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC 是等腰直角三角形．
1 2
absinC
1 2
bcsinA
1 2
acsinB
c ha
b
证明：∵
SΔABC
1 2
aha
而 ha AD c sinB bsinC
B
Da
C
∴
S
ΔAB
C
1 2
acsinB
1 2
ab
sinC
∴
S
Δ
同理 SΔ
ABC
1 2
a
ABC
bs
1 2
bc
inC
sinA
1 bc 2
s
i
n
A
1 2
acsinB
例3.在ΔABC中,已知 a cosA