山东专用2021版高考数学一轮复习练案55第八章解析几何第六讲双曲线含解析

［练案55]第六讲双曲线
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·河北保定模拟)若方程错误!＋错误!＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ A )
A．m<2或m〉6 B．2〈m<6
C．m〈－6或m〉－2 D．－6〈m<－2 2．（2020·福建漳州质检)已知点M为双曲线C：x2－错误!＝1的左支上一点,F1，F2分别为C左、右焦点，则｜MF1|＋｜F1F2｜－｜MF2｜( B ）
A．1 B．4
C．6 D．8
[解析］由a2＝1,b2＝8，得a＝1，c＝3则｜MF1｜＋|F1F2|－｜MF2｜＝|MF1|－｜MF2｜＋|F1F2｜＝－2a＋2c＝4.故选B. 3．（2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点,P 是C上一点,且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为（ D )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析］因为F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为（2,y P）．
因为P是C上一点,所以4－错误!＝1，解得y P＝±3,
所以P（2,±3)，｜PF|＝3.
又因为A（1，3），所以点A到直线PF的距离为1,
所以S△APF＝错误!×｜PF｜×1＝错误!×3×1＝错误!.故选D. 4．（2018·课标全国Ⅲ卷）已知双曲线C：错误!－错误!＝1(a>0，b〉0)的离心率为错误!，则点(4,0）到C的渐近线的距离为（ D ）A．错误!B．2
C．错误!D．2错误!
[解析］∵e＝错误!＝错误!＝错误!，且a〉0,b〉0，
∴错误!＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0）到C的渐近线的距离为错误!＝2错误!。

5．（2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考）已知抛物线y2
＝4x的准线与双曲线x2
a2－y2＝1（a〉0)交于A,B两点，点F为抛物
线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（ D )
A．错误!B．错误! C．错误!D．错误!
[解析] 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1,联立双曲线x2
a2－y2＝
1，解得｜y｜＝错误!，由题意得错误!＝2，所以a2＝错误!，所以e＝错误!＝错误!＝错误!，故选D.
6．（2019·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0）的左、右焦点分别为F1、F2,一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上,且｜MF2｜＝6,则|MF1｜＝( C ）
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
［解析］由题意知错误!＝错误!，故a＝4，则c＝5.由｜MF2|＝6<a ＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知｜MF1｜－｜MF2｜＝2a＝8,所以｜MF1｜＝14.
7．(2019·湖南省湘潭市模拟)以双曲线错误!－错误!＝1的焦点为顶点,且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ B )
A．x2－y2＝1 B．错误!－错误!＝1
C.错误!－错误!＝1 D．错误!－y2＝1
[解析] 由题可知，所求双曲线的顶点坐标为（±3,0），又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b＝3，则该双曲线的方程为错误!－错误!＝1.
8．(2020·福建南平质检）已知F1,F2是双曲线错误!－错误!＝1（a>0)的左、右焦点，点P在双曲线上,若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( C ）
A．8 3 B．6错误!
C．4错误!D．2错误!
[解析］在△F1PF2中，由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1｜·|PF2|cos∠F1PF2，
得4c2＝(｜PF1|－｜PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2｜PF1|·｜PF2|cos 60°，
由|｜PF1|－｜PF2|｜＝2a，得|PF1｜·｜PF2｜＝4b2＝16.
△F1PF2的面积为错误!｜PF1|·|PF2|sin 60°＝4错误!。

故选C。

9．（2019·湖北省武汉市部分重点高中联考)设双曲线错误!－错误!＝1(a>0,b>0）的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝3相切，则该双曲线的离心
率为( B )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．2错误!
［解析] 令错误!－错误!＝0，得y＝±错误!x,即bx±ay＝0，
故双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0。

由题意得错误!＝错误!，整理得a2＝3b2，
∴e＝错误!＝错误!＝错误!。

选B.
二、多选题
10．已知F1,F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量错误!·错误!＝0，则下列结论正确的是（ACD )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．ΔPF1F2的面积为1
[分析] 求出双曲线C渐近线方程，焦点F1，F2，△PFE的面积即可判断．
［解析］A．代入双曲线渐近线方程得y＝±x，正确．B。

由
题意得F1（错误!,0)，F2(－错误!，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，错误．C.F1（错误!，0),渐近线方程为y＝x,距离为1，正确．D。

由题意得F1(错误!，0）,F2(－错误!,0)，设P(x0,y0),根据错误!·错误!＝0,解得x0＝±错误!，y0＝±错误!,则△PF1F2的面积为1.正确．故选：ACD. 11．双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是( BC ）
A．该双曲线的离心率为错误!
B．该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x
C．点P到两渐近线的距离的乘积为错误!
D．若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为32
[解析] 由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝错误!＝5，∴离心率e＝错误!＝错误!，A错；渐近线方程为错误!－错误!＝0，即y＝±错误!x，B 正确；设点P坐标为（x，y)，则16x2－9y2＝144，且点P到两渐近线距离的乘积为错误!·错误!＝错误!,C正确;∵错误!，∴|PF1|·|PF2|＝
F2＝错误!|PF1｜·｜PF2｜＝16，D错；故选BC.错误!＝32，∴S△PF1
12．已知F1、F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P,若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的
取值可能为( BCD )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析］不妨设过点F2（c,0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y＝错误!（x－c),与双曲线另一条渐近线y＝－错误!x交点为P（错误!，－错误!),因为点P在以线段F1F2为直径的圆外，所以错误!·错误!〉0，即（－错误!，错误!)·(错误!,错误!）〉0，－错误!＋错误!〉0，－3a2＋b2〉0.－3a2＋c2－a2>0，e2>4，∴e>2，故选BCD.
三、填空题
13．（2020·3月份北京市高考适应性考试）已知双曲线错误!－y2＝1（a〉0）的一条渐近线方程为x＋y＝0，则a＝__1__.
［解析］双曲线错误!－y2＝1的渐近线方程为y＝±错误!，即x±ay ＝0（a〉0),由题意知a＝1.
14．(2020·北京清华附中检测）过点P（2，－2)，且与双曲线错误!－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为错误!－错误!＝1 .
［解析] 设双曲线方程为错误!－y2＝λ，则λ＝错误!－4＝－2，∴双曲线方程为错误!－y2＝－2，即错误!－错误!＝1。

15．已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1、
F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P,且∠PF1F2＝错误!，则双曲线的渐近线方程为y＝±错误!X.
[解析] 根据已知可得，|PF1|＝错误!且|PF2｜＝错误!，
故2b2
a－错误!＝2a,所以错误!＝2，错误!＝错误!，
双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.
16．(2020·河南顶尖名校联考)已知双曲线C:错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的左,右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点）有且只有一点P满足错误!·错误!＝0,则双曲线离心率为错误!.
[解析］由题意，F1(c,0)，B（0，b)，
则直线BF1的方程为bx＋cy－bc＝0，
在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满足错误!·错误!＝0，则PO ⊥BF1，且PO＝a。

∴a＝错误!，即a2＝错误!.
∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a2＝0，e4－3e2＋1＝0.
解得e2＝错误!，∴e＝错误!。

B组能力提升
1．(2019·辽宁盘锦模拟)已知A，B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上，△ABM为等腰三角形,且顶角为120°，则E的离心率为( D ）
A．错误!B．2
C． 3 D．2
[解析］如图,作MD⊥x轴于点D，在Rt△MBD中，｜BD｜＝a，｜MD|＝错误!a，∴M（2a，错误!a)
∴M点在双曲线上，∴a2＝b2，即a＝b.∴e＝错误!。

2．(2018·天津高考）已知双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2＝6,则双曲线的方程为( C )
A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1
C。

错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1
[解析］由题意知右焦点到渐近线的距离b＝错误!＝3，又e＝错误!＝错误!＝错误!＝2,∴a2＝3，故双曲线方程为错误!－错误!＝1,选C.
3．(2019·安徽省淮南市模拟)已知点P是双曲线错误!－错误!＝1（a>0,b>0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若S△IPF1＝S△IPF2＋错误!S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为( A )
A．22x±y＝0 B．8x±y＝0
C.错误!x±y＝0 D．3x±y＝0
[解析] 设内切圆半径为r，
∵S△IPF1＝S△IPF2＋错误!S△IF1F2,
∴错误!｜PF1｜r＝错误!|PF2｜·r＋错误!·错误!｜F1F2｜·r，
∴|PF1|－|PF2|＝错误!｜F1F2|，
根据双曲线定义，得|PF1|－|PF2｜＝2a,｜F1F2|＝2c,
∴3a＝c，b＝c2－a2＝2错误!a，错误!＝2错误!，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±22x，
即为2错误!x±y＝0，故选A.
4．（2020·四川省联合诊断)设双曲线C:错误!－错误!＝1的左焦点为
F,直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P，｜OP｜＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( D ）A．错误!B．错误!
C．错误!D．5
［解析］如图所示：
∵直线4x－3y＋20＝0过点F，
∴F(－5,0），半焦点c＝5,
设A为PF中点，∵|OP｜＝|OF|，∴OA⊥PF，
又∵OA为△PFF2中位线,∴OA∥PF2，
由点到直线距离公式可得|OA｜＝错误!＝4，
∴|PF2|＝2|OA|＝8,
由勾股定理可得：|FP|＝错误!＝6,
再由双曲线定义可得：｜PF2｜－|PF｜＝2a＝2,
∴a＝1，
双曲线的离心率e＝错误!＝5.答案选D.
5．（2020·北京市西城区期末)对于双曲线，给出下列三个条件：
①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30°；③实轴长为8,且焦点在x轴上．写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程错误!－错误!＝1(答案不唯一）.
[解析］若选择①③，所以e＝错误!＝2，2a＝8，解得a＝4，c＝8，所以b2＝c2－a2＝48.
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

若选择②③，因为焦点在x轴上，所以错误!＝tan30°＝错误!，2a ＝8，解得a2＝16,b2＝错误!，
所以双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

若选择①②，当焦点在y轴上时，e＝错误!＝2，错误!＝ta n30°＝错误!.又c2＝a2＋b2，解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的标准方程为y2－错误!＝1。

当焦点在x轴上时,无解．。