山东省淄博市普通高中部分学校2020-2021学年下学期高二教学质量检测(期末)数学试题参考答案

参照秘密级管理★启用前 2020—2021学年度第二学期部分学校高中二年级
阶段性教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
C B A B
D B C D ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．BC 10．ABC 11．AC 12. BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．427 14．1 15．600，27或28均可 16．3132
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解：（1）
……………………………5分（每空1分） （2）根据列联表，得
()2
2
260622824()0.373 2.706()()()()30301446
n ad bc a b c d a c b d χ⨯⨯-⨯-==≈<++++⨯⨯⨯ …………………9分
根据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，没有充分证据推断过马路“不走斑马线行为”与骑车有关． …………………………………………10分 18．（12分）
解：设A 表示枪已校正，B 表示射击中靶．由题意，得
()0.6P A =，
()0.4P A =，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =，(|)0.4P B A =，(|)0.6P B A =． ……………3分（错2个扣1分，写4个不扣分）
（1）由全概率公式，得
()()(|)()(|)0.60.90.40.40.7P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=． ……6分 （2）该射手任取一支枪射击，未中靶的概率
()1()10.70.3P B P B =-=-=． …………………………………9分
由条件概率公式，得
()()(|)0.40.6(|)0.8()()0.3
P AB P A P B A P A B P B P B ⨯=
===． ……………12分 19.(12分) 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3221S S -=， 可得11(33)2(2)1a d a d +-+=，即110a d -+= ① …………………1分 又因为2123n n a a +-=，*n N ∈. 取1n =，所以3123a a -=，即1230a d -+= ② …………………2分 由①②可得11,2a d == ………………………………………………4分 故{}n a 的通项公式为21n a n =-. ………………………………………………5分
（2
……………………………………7分 当n 为偶数时，
111111111(1)()()()()3355723212121
n T n n n n =+-+++-⋅⋅⋅++-+---+
1212121
n n n =-=++ ……………………………………9分 当n 为奇数时，
1111111(1)()()()335572121
n T n n =+-+++-⋅⋅⋅++-+12212121
n n n +=+=++ ……………………………………11分 故 2,2122,21n n n n T n n n ⎧⎪⎪+=⎨+⎪⎪+⎩
为偶数为奇数 ……………………………………12分 20．（12分）
解：（1）若0a =，则()ln 1f x x =+，(1)1f =，1()f x x
'=， 所以(1)1f '=， …………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()111y x -=⋅-，
化简得：y x =. …………………………………………4分
（2）解法1：
()2f x ≥恒成立，即ln 10a x x
+-≥恒成立，………………………………5分 设()ln 1a h x x x =+-，则221()a x a h x x x x
-'=-=， ………………………6分 若0a ≤，()0h x '>，函数()h x 在()0,+∞上是单调递增的，
(1)0h <,所以()0h x ≥恒成立不可能， …………………………………7分 若0a >，当()0,x a ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，
当(),x a ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，
所以当x a =时，函数()h x 取得极小值()ln h a a =， …………………9分 所以min ()ln h x a =， …………………………………………10分 因为()0h x ≥恒成立，所以ln 0a ≥，即1a ≥，
综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞. …………………………………12分
解法2：
()2f x ≥恒成立，即ln 1a x x
+≥恒成立，即ln a x x x ≥-恒成立， …………………………………………5分
设()ln g x x x x =-，则()()1ln 1ln g x x x '=-+=-， ………………………6分 当()0,1x 时，()0g x '>，()g x 为单调递增的，
当()1,x +∞，时，()0g x '<，()g x 为单调递减的，
所以函数()g x 在1x =时，函数取得极大值(1)g ， …………………………9分 所以max ()(1)1g x g ==， ………………………………………………………10分 因为()a g x ≥恒成立，所以1a ≥,
所以a 的取值范围是[)1,+∞. …………………………………………12分
评分说明：无论解法1还是解法2，求对相应导数得2分；从求得导数到求对极值得3分，
从极值得最值得1分；由恒成立求对结果得2分．
21．（12分）
解：（1）y a bx =+的线性相关系数
9
1()()0.898i i
x x y y r --==≈∑ ………………2分 d y c x
=+的线性相关系数
9
2()()0.996i i
u u y y r --==≈-∑ …………4分 因为12||||r r <，所以d y c x
=+更适宜作为可吸入颗粒物浓度y 关于观测点与污染企业距离x 的回归方程类型． ………………………6分
（2）9
1921()() 1.40100.14
()i i
i i
i u u y y u u β==---===--∑∑， ………………………………8分 ()ˆˆ97.9100.21100y u α
β=-=--⨯=， ………………………………9分 所以10ˆ10010100y u x =-=-
即y 关于x 的回归方程为10ˆ100y x =-． ………10分 当20x 时，可吸入颗粒物浓度的预报值为310ˆ10099.5mg/m 20
y =-=． …12分 22．（12分）
解：（1）由已知可得，1()e cos 2x f x x -'=
--，………………………1分 当3ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，1cos 0x -≤≤， 所以11()e cos e 022
x x f x x --'=--≥->， ……………………………2分 所以()f x 在区间3ππ,
2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增的， ……………………………3分 故函数在3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为ππ(π)e 2f -=+ ………………………4分 （2）由已知条件可知：()e
sin x g x x -=+ 当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()e cos x g x x -'=-+，()e sin 0x g x x -''=->， 所以()g x '在区间3π,2π2⎛⎫
⎪⎝⎭上是单调递增的，……………………………6分 又 3π23π()e 02
g -'=-<，2π(2π)e 10g -'=-+> 所以存在唯一3π,2π2t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，使得()0g t '=， ……………………………8分 所以3π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
(),2πx t ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， ………………………9分 因为3π23πe 102g -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
， 所以函数()g x 在区间3π,2t ⎛⎫
⎪⎝⎭上没有零点 ……………………………10分 又3π()02g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
，()2π2πe 0g -=>， 所以函数()g x 在区间(),2πt 上存在唯一零点， ………………………………11分 故函数()g x 在区间3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有唯一零点． ………………………………12分。