高考数学二轮专题突破高效精练 第2讲 函数、图象及性

第2讲 函数、图象及性质
1. 已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x)＝f(x ＋2)恒成立，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x 2，则当x∈[2，3]时，函数f(x)的解析式为____________．
答案：f(x)＝(x －2)2
解析：因为函数满足f(x)＝f(x ＋2)，所以函数周期为2.又x∈[2，3]，x －2∈[0，1]，
则f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.
2. 若函数h(x)＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________. 答案：[－2，＋∞)
解析：因为h′(x)＝2＋k x 2，所以h′(x)＝2＋k x 2＝2x 2＋k x
2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．
3. 若函数f(x)＝k －2x 1＋k·2
x (k 为常数)在定义域上为奇函数，则k ＝________． 答案：±1
解析：∵ f(x)为定义域上的奇函数，∴ f(x)＋f(－x)＝0.k －2x 1＋k·2x ＋k －2－x 1＋k·2
－x ＝0.得(k 2－1)(22x ＋1)＝0.∵ 22x ＋1≠0，∴ k 2－1＝0，解得k ＝±1.
4. 定义在(－1，1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a
的取值范围为________．
答案：(1，2)
解析：函数为奇函数，在(－1，1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a
2－1)．
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜11－a ＜a 2－1
，Þ1＜a ＜ 2. 5. 函数f(x)＝1－2x ＋1
x ＋3的定义域为________．
答案：(－3，0]
解析：⎩
⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0x ＋3>0Þ－3<x≤0. 6. 函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x ＋2)＝1f （x ），若f(－1)＝12
，则f(2 013)＝________．
答案：2
解析：函数满足f(x ＋2)＝1f （x ），故f(x ＋4)＝1f （x ＋2）
＝f(x)，函数周期为4，f(2 013)＝f(1)．又f(3)＝1f （1）
＝f(4－1)＝f(－1)，∴ f(1)＝2. 7. 设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －a|的图象关于直线x ＝1对称，则实数a 的值为________． 答案：3
解析：画图可知a ＋（－1）2
＝1，a ＝3.[也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验] 8. 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f(x ＋1)是偶函数，且当x≥1时，
f(x)＝2－x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13的大小关系是______________．(按从大到小的顺序排列) 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
解析：函数y ＝f(x ＋1)是偶函数，所以f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，当x≥1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1单调递减，所以由43＜32＜53，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＞f(32)＞f(13)． 9. 函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2 0132＝______． 答案：0
解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2, 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，
∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2 0132＝0. 10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.
若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是____________．
答案：[－2，0]
解析：在直角坐标系中画出函数y ＝|f(x)|的图象，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a>0时，与y ＝|f(x)|在y 轴右侧总有交点，不合．当a ＝0时，成立．当a<0时，找出与y ＝|－x 2＋2x|，x ≤0相切的情况，y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)＋x 20－2x 0，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2.综上，a ∈[－2，0]．
11. 已知f(x)＝3x ，并且f(a ＋2)＝18，g(x)＝3ax －4x 的定义域为区间[－1，1](a∈R )．
(1) 求函数g(x)的解析式；
(2) 判断g(x)的单调性；
(3) 若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围．
解：(1) ∵ f(a＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2，
∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1，1]．
(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，当x∈[－1，1]时，2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1，1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1，1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)
(3) 由(2)知t ＝2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x 在[－1，1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ m 的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，14. 12. 已知f(x)＝x ＋a x
(x ＞0)，当x∈[1，3]时，f(x)的值域为A ，且A [n ，m](n ＜m)． (1) 若a ＝1，求m －n 的最小值；
(2) 若m ＝16，n ＝8，求a 的值；
(3) 若m －n≤1，且A ＝[n ，m]，求a 的取值范围．
解：(1) ∵ a＝1，∴ f(x)在区间[1，3]上单调递增，
∴ f (x)∈[f(1)，f(3)]，
∴ 当x∈[1，3]时，m －n≥f(3)－f(1)＝43即m －n 的最小值是43
. (2) (解法1)∵ 当x>0时，f(x)＝x ＋a x
在(0，a]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤m f （3）≤m ⎩⎪⎨⎪⎧1＋a≤163＋a 3
≤16a ≤15. ① 当a ≤1，即0≤a≤1时，f(x)＝x ＋a x
在[1，3]上单调递增，∴ f (1)≥n，a ≥7(舍去)； ② 当1<a<3，即1<a<9时，f(x)＝x ＋a x
的最小值是2a ，∴ 2a ≥n ，a ≥16(舍去)； ③ 当a ≥3，即a≥9时，f(x)＝x ＋a x
在[1，3]上单调递减， ∴ f (3)≥n，a ≥15.
综上可得：a ＝15.
(解法2)当m ＝16时，x ＋a x
≤16恒成立，即a≤16x－x 2恒成立， ∴ a ≤(－x 2＋16x ，x ∈[1，3])min ＝15；
当n ＝8时，x ＋a x
≥8恒成立，即a≥8x －x 2恒成立， ∴ a ≥(－x 2＋8x ，x ∈[1，3])max ＝15. 综上可得：a ＝15. (3) ① 若a ≤1，即0<a≤1时，f(x)＝x ＋a x
在[1，3]上单调递增， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1≥m－n ＝f （3）－f （1）＝2－23a ，0<a ≤1，
无解； ② 当1<a<3即1<a<9时f(x)＝x ＋a x
在[1，a]上递减，在[a ，3]上递增， ∴ ⎩⎨⎧1≥m－n ＝f （3）－f （a ）1<a≤3或⎩⎨⎧1≥m－n ＝f （1）－f （a ），3<a<9，
∴ 12－63≤a ≤4.
③ 当a ≥3，即a≥9时，函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1≥m－n ＝f （1）－f （3）＝23a －2，a ≥9，
无解． 综上可得：12－63≤a ≤4.
13. 设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧1a x ，0≤x ≤a ，11－a
（1－x ），a ＜x≤1，a 为常数且a∈(0，1)． (1) 当a ＝12时，求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13； (2) 若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为f(x)的二阶周期点，证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1、x 2；
(3) 对于(2)中x 1、x 2，设A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(a 2，0)，记△ABC 的面
积为S(a)，求S(a)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12上的最大值和最小值． 解：(1) 当a ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝23
. (2) f(f(x))＝⎩⎪⎪
⎨⎪⎪⎧1a 2x ，0≤x ≤a 2
，1a （1－a ）（a －x ），a 2<x ≤a ，1（1－a ）2（x －a ），a<x<a 2－a ＋1，1a （1－a ）（1－x ），a 2
－a ＋1≤x≤1. 当0≤x≤a 2时，由1a 2x ＝x ，解得x ＝0，由于f(0)＝0，故x ＝0不是f(x)的二阶周期点； 当a 2＜x≤a 时，由1a （1－a ）
(a －x)＝x ， 解得x ＝a －a 2＋a ＋1
∈(a 2，a)． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1＝1a ·a －a 2＋a ＋1＝1－a 2＋a ＋1≠a －a 2＋a ＋1
，故x ＝a －a 2＋a ＋1是f(x)的二阶周期点；
当a<x<a 2－a ＋1时，由1（1－a ）2(x －a)＝x ，解得x ＝12－a
∈(a ，a 2－a ＋1)． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－a ＝12－a
，故x ＝12－a 不是f(x)的二阶周期点； 当a 2－a ＋1≤x≤1时，由1a （1－a ）(1－x)＝x ，解得x ＝1－a 2＋a ＋1
∈(a 2－a ＋1，1)． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2＋a ＋1＝a －a 2＋a ＋1≠1－a 2＋a ＋1
， 故x ＝1－a 2＋a ＋1
是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x 1＝a －a 2＋a ＋1，x 2＝1－a 2＋a ＋1
. (3) 由(2)得A(a －a 2＋a ＋1，a －a 2＋a ＋1)，B(1－a 2＋a ＋1，1－a 2＋a ＋1
)，则S(a)＝12·a 2（1－a ）－a 2＋a ＋1
， S ′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2. 因为a 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12内，故S′(a)>0，则S(a)在区间[13，12]上单调递增， 故S(a)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝133，最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝120
.。