2022高考数学一轮复习课时规范练42点与直线两条直线的位置关系文含解析新人教A版

课时规X 练42 点与直线、两条直线的位置关系
基础巩固组
1.直线l 在直线m :x+y+1=0的上方,且l ∥m ,它们的距离是√2,则直线l 的方程是()
A.x+y-1=0
B.x+y+3=0
C.x+y+1=0
D.x+y+3=0或x+y-1=0
2.(2020某某某某德润中学月考)已知直线l 1:x ·sin α+y-1=0,直线l 2:x-3y ·cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=()
A.23
B.±3
5
C.-35
D.3
5
3.已知A (1,2),B (3,1)两点到直线l 的距离分别是√2,√5−√2,则满足条件的直线l 共有()
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
4.若关于x,y的二元一次方程组{mx+4y=m+2,
有无穷多组解,则m的取值为()
x+my=m
A.1
B.2
C.3
D.4
5.(2020某某西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0
,则a+b的值为()
在y轴上的截距为1
3
A.-7
B.-1
C.1
D.7
6.(2020某某某某模拟)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是√5,则
m+n=() A.0B.1
C.-2
D.-1
7.(2020某某孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是() A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0
C.x+2y-3=0
D.x-2y+3=0
8.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.
9.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距
离d的最大值是.
10.设△ABC的一个顶点是A(-3,1),∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为.
11.若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是.
综合提升组
12.设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A;P,Q分别为l1,l2上任意两点,点M为PQ
的中点,若|AM|=1
2
|PQ|,则m的值为()
A.2
B.-2
C.3
D.-3
13.若直线l:y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值X围是()
A.π
6,π
3
B.π
6
,π
2
C.π
3,π
2
D.[π
6
,π
2
]
14.(2020某某某某中学期中)若关于x,y的二元一次方程组{mx+9y=m+6,
x+my=m
无解,则实数m的值为.
15.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=.
16.(2020某某某某期末)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a=.
创新应用组
17.(2020某某某某模拟)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()
A.{-4
3,2 3 }
B.{4
3,-2 3 }
C.{-4
3,2
3
,4
3
}
D.{-4
3,-2
3
,2
3
}
18.(2020某某某某月考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值X围是()
A.[√5,2√5]
B.[√10,2√5]
C.[√10,4√5]
D.[2√5,4√5]
参考答案
课时规X练42点与直线、
两条直线的位置关系
1.A因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是√2,
则
√2
=√2,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l的方程是x+y-1=0,故选A.
2.D∵l1⊥l2,∴sinα-3cosα=0,
∴tanα=3,∴sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα
sin2α+cos2α=2tanα
tan2α+1
=3
5
.
3.C当A,B两点位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条.又|AB|=√(3-1)2+(1-2)2=√5,而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为√2+√5−√2=√5,所以当A,B两点位于直线l的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C.
4.B 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,
x +my =m 有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直
线x+my=m 重合,所以m
1=4
m =
m+2m
,解得m=2,即m 的取值为2,故选B .
5.A 因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y 轴上的截距为1
3,所以1
3b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A .
6.C 由题意,得1
2=-2
n ,解得n=-4,即直线l 2:x-2y-3=0,
所以两平行直线之间的距离为d=
√1+4
=√5(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.
7.D 由题意,得{x +y -3=0,2x -y =0,
解得{x =1,
y =2,所以两直线的交点坐标为(1,2).
直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是12
,
所以所求直线方程是y-2=1
2
(x-1),即x-2y+3=0.
8.0或5当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=1
3,此时两直线垂直,点(m ,1)到y 轴的距离为0;当m ≠0时,由题意有m
m+2·3
m =-1,解得m=-5,点(m ,1)到y 轴的距离为5.
9.√13因为直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l 1,l 2都与MN 垂直时,它们之间的距离d 取得最大值为|MN|=√(1-3)2+(4-1)2=√13.
10.y=2x-5∵∠B ,∠C 的平分线所在直线分别是x=0,y=x ,∴AB 与BC 关于x=0对称,AC 与BC 关于
y=x 对称.A (-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC 上,A 关于y=x 的对称点A ″(1,-3)也在直线BC 上.由两点式,得出所求直线BC 的方程为y=2x-5.
11.x-2y+2=0由{2x -y -2=0,x +y -4=0,
得{x =2,
y =2,即两直线的交点坐标为(2,2),
在直线2x-y-2=0上取一点A (1,0),设点A 关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a ,b ).
则{b
a -1
=1,
a+1
2
+b 2-4=0,
即{a -b -1=0,
a +
b -7=0, 解得{a =4,b =3,即对称点的坐标为(4,3),则l 的方程为y -23-2=x -2
4-2,整理得x-2y+2=0.
12.A 根据题意画出图形,如图所示.
直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ,M 为PQ 的中点,若|AM|=1
2|PQ|,则PA ⊥QA ,
即l 1⊥l 2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A .
13.B 联立两直线方程得{y =kx -√3,
2x +3y -6=0,可得两直线的交点坐标为
3√3+62+3k ,
6k -2√3
2+3k
,∵两直线的交点在
第一象限,
∴{3√3+6
2+3k
>0,
6k -2√3
2+3k
>0,
不等式组的解集为k>√33,若直线l 的倾斜角为θ,则tan θ>√3
3,∴θ∈π6,
π2
,故选B .
14.-3因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,
x +my =m
无解,所以直线mx+9y=m+6与直线
x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.
经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3.
15.√10以A 为坐标原点,AB ,AC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,因为△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则l BC :x+y-2=0,点P (1,0),所以点P 关于y 轴的对称点为P 1(-1,0),设点
P 关于直线l BC :x+y-2=0的对称点为P 2(x 0,y 0),则y
0x 0
-1
=1且
x 0+12
+
y 02
-2=0,解得P 2(2,1),
则PQ+QR+RP=P 2Q+QR+RP 1=P 1P 2=√10.
16.1由f (x )=ax 3+x+1,得f'(x )=3ax 2+1,所以f'(1)=3a+1,
即f (x )在x=1处的切线的斜率为3a+1,
因为f (x )在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,所以3a+1=4,即a=1.
17.D 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为直线l 1,l 2,l 3,依照题意易得直线l 1与直线l 2不平行,设交点为P ,
因为三条直线不能围成一个三角形,所以l 3与l 1平行,或l 3与l 2平行,或l 1,l 2,l 3交于一点P.
(1)两条直线平行,若l 1∥l 3,此时m=23;若l 2∥l 3,此时m=-4
3.
(2)l 1,l 2,l 3交于一点P 时,
由{2x -3y +1=0,
4x +3y +5=0,解得{
x =-1,y =-13, 即交点P 的坐标为-1,-1
3, 代入mx-y-1=0,则m=-23.
所以实数m 的取值集合为{-4
3,-23,2
3}.
18.B 由题意可知,动直线x+my=0经过定点A (0,0),
动直线mx-y-m+3=0即m (x-1)-y+3=0,经过定点B (1,3),
因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P 又是两条直线的交点,所以PA ⊥PB ,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
设∠ABP=θ,则|PA|=√10sin θ,|PB|=√10cos θ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,π
2,
所以|PA|+|PB|=√10(sin θ+cos θ)=2√5sin θ+π
4,
因为θ∈0,π2
,
所以θ+π4∈
π4
,
3π4
,
所以sin θ+π
4∈
√22
,1,
所以2√5sin θ+π4
∈[√10,2√5].。