八年级(上)期末数学试卷(含答案)

八年级（上）期末数学试卷（含答案）
一、选择题
1．如图，△ABC ≌△ADE ，∠B=20°，∠E=110°，则∠EAD 的度数为（ ）
A ．80°
B ．70°
C ．50°
D ．130°
2．已知实数,a b 满足2
|2|(4)0a b -+-=，则以,a b 的值为两边的等腰三角形的周长是（ ） A ．10 B ．8或10 C ．8
D ．以上都不对 3．某一次函数的图像与x 轴交于正半轴，则这个函数表达式可能是（ ）
A ．2y x =
B ．1y x =+
C ．1y x =--
D ．1y x =-
4．下列图形中的五边形ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是 （ ）
A ．A
B ＝A
C B ．B
D ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA
6．在－227，－π，0，3.14， 0.1010010001，－31
3
中，无理数的个数有 ( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，···，按这样的运动规律，
经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A ．()2020,1
B ．()2020,0
C ．()2020,2
D ．()2019,0
8．若点Α()m,n 在一次函数y=3x+b 的图象上,且3m-n>2,则b 的取值范围为 ( ) A ．b>2
B ．b>-2
C ．b<2
D ．b<-2
9．给出下列实数：
227、25-、39、 1.44、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 10．一次函数y ＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题
11．若等腰三角形的两边长为10cm ，5cm ，则周长为__________cm ． 12．如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_____．
13．已知点P 的坐标为(4，5)，则点P 到x 轴的距离是____.
14．若点P （2−a ，2a+5）到两坐标轴的距离相等，则a 的值为____． 15． 如图，在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD= °．
16．函数y x 3=
-中，自变量x 的取值范围是 .
17．已知一次函数1y kx b =+与2y mx n =+的函数图像如图所示，则关于,x y 的二元一次方程组0,
0kx y b mx y n -+=⎧⎨
-+=⎩
的解是______．
18．已知函数y=x+m-2019 （m 是常数）是正比例函数，则m= ____________ 19．3的平方根是_________.
20．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为DE 、FG ，此时测得∠EBG ＝36°，则∠ABC ＝_____°．
三、解答题
21．如图，一次函数23y mx m =++的图像与1
2
y x =-的图像交于点C ，与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，且点C 的横坐标为3-. (1)求m 的值与AB 的长;
(2)若点Q 为线段OB 上一点，且1
4
OCQ BAO S S ∆∆=
，求点Q 的坐标.
22．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A ，B 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号
载客量
租金单价
A 30人/辆 380元/辆 B
20人/辆
280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A 型号客车x 辆，租车总费用为y 元，求y 与x 的函数表达式，并写出x 的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
23．先化简，再求值22
333x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭
，其中2x =- 24．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
问题（1）：根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？___________填“是”或“否”）
问题（2）：已知Rt ABC 中，两边长分别是5，52，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是_____________；
问题（3）：如图，以AB 为斜边分别在AB 的两侧作直角三角形，且AD BD =，若四边形ADBC 内存在点E ，使得AE AD =，CB CE =.试说明：ACE △是奇异三角形. 25．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图①中，以格点为端点画一条长度为13的线段MN ； （2）在图②中，A 、B 、C 是格点，求∠ABC 的度数．
四、压轴题
26．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以
1/
cm s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他
cm s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若条件不变．设点 Q 的运动速度为x/
存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
27．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
①请直接写出∠AEB的度数为_____；
②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同－直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
28．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）如图1，
①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为；
（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC =22a ，试写出此时BF 的值． 29．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝
3+a c ，y ＝3
+b d
，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．
（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ； （2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：
（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．
30．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据全等的性质知∠D=∠B=20°，再根据三角形的内角和即可求出∠EAD. 【详解】
∵△ABC ≌△ADE ，∠B=20°，∠E=110°， ∴∠D=∠B=20°，
∴∠EAD=180°-20°-110°=50°，故选C. 【点睛】
本题是对三角形全等知识的考查，熟练掌握全等知识及三角形的内角和是解决本题的关键.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据非负数的性质求出a 和b 的值，然后分两种情况求解即可. 【详解】
∵2
|2|(4)0a b -+-=， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4，
当a 为腰时，2+2=4，不合题意，舍去； 当b 为腰时，2+4>4，符合题意， ∴周长=4+4+2=10. 故选A. 【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别求出每个函数与x轴的交点，即可得出结论．
【详解】
A．y=2x与x轴的交点为（0，0），故本选项错误；
B．y=x+1与x轴的交点为（－1，0），故本选项错误；
C．y=-x-1与x轴的交点为（－1，0），故本选项错误；
D．y=x-1与x轴的交点为（1，0），故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质．掌握求一次函数与x轴的交点坐标的方法是解答本题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
详解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故选：D．
点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定
△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
考点：全等三角形的判定．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据无理数的定义进行求解. 【详解】
解：无理数有：−π，共1个． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
观察可得点P 的变化规律，
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，
， 发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数) .
∵20204505=⨯
∴2020P 点的坐标为()2020,0. 故选: B. 【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律
“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然
数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.
8．D
解析：D 【解析】
分析：由点（m,n ）在一次函数3y x b =+的图像上，可得出3m+b=n ，再由3m-n ＞2，即可得出b ＜-2，此题得解．
∵点A （m ，n ）在一次函数y=3x+b 的图象上， ∴3m+b=n ． ∵3m-n ＞2，
∴3m-(3m+b)＞2，即-b>2, ∴b ＜-2． 故选D ．
点睛：考查了一次函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征，再结合3m-n ＞2，得出-b ＞2是解题的关键．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】
解：−5，
实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之
间依次多一个02
π
、-0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
10．C
解析：C 【解析】
试题解析：∵k=-2＜0， ∴一次函数经过二四象限； ∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限， 故选C ．
二、填空题
11．【解析】 【分析】
此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三
角形三边关系，从而求解．
【详解】
解：①以10cm为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm；②以5
解析：25cm
【解析】
【分析】
此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．
【详解】
解：①以10cm为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm；②以5cm为腰，因为5+5=10，不符合三角形两边之和大于第三边，此情况不成立；
故答案为：25cm．
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的应用是本题的解题关键．
12．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝1
2
（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此题的关键．
13．5
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可得出答案.
【详解】
解：∵点P的坐标为(4，5)，
∴点P到x轴的距离是5；
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了点到坐标轴
解析：5
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可得出答案.
【详解】
解：∵点P的坐标为(4，5)，
∴点P到x轴的距离是5；
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了点到坐标轴的距离的计算，解题的关键是熟记点到坐标轴的距离.
14．a=-1或a=-7．
【解析】
【分析】
由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．
【详解】
解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴|2-a|=|2a+5|，
∴2-
解析：a=-1或a=-7．
【解析】
【分析】
由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．
【详解】
解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴|2-a|=|2a+5|，
∴2-a=2a+5，2-a=-（2a+5）
∴a=-1或a=-7.
故答案是：a=-1或a=-7．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出|2-a|=|2a+5|，注意不要漏解．
15．30
【解析】
【分析】
根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC
解析：30
【解析】
【分析】
根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD 的度数．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=1
2
∠BAC=30°，
故答案为30°．
16．．
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】
依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】
本题考查的知识点
解析：x 3≥．
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】
依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
17．【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，从而可得答案．
【详解】
解：∵一次函数和一次函数的图象交点的坐标为
∴方程组的解是： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题
解析：12x y =-⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，从而可得答案．
【详解】
解：∵一次函数1y kx b =+和一次函数2y mx n =+的图象交点的坐标为()1,2,- ∴方程组00kx y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩的解是：12x y =-⎧⎨=⎩
． 故答案为： 12x y =-⎧⎨
=⎩． 【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．掌握以上知识是解题的关键．
18．2019
【分析】
根据正比例函数的定义，m-2019=0，从而求解．
【详解】
解：根据题意得：m-2019=0，
解得：m=2019，
故答案为2019．
【点睛】
本题主要考查了正比
解析：2019
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义，m-2019=0，从而求解．
【详解】
解：根据题意得：m-2019=0，
解得：m=2019，
故答案为2019．
【点睛】
本题主要考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
19．【解析】
试题解析：∵（）2=3，
∴3的平方根是.
故答案为.
解析：
【解析】
试题解析：∵（2=3，
∴3的平方根是
故答案为
20．【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，根据三角形的内角和定理，得到∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，列方程即可得到结论．
【详解】
∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点
解析：【解析】
根据折叠的性质得到∠ABE ＝∠A ，∠CBG ＝∠C ，根据三角形的内角和定理，得到∠A +∠C ＝180°﹣∠ABC ，列方程即可得到结论．
【详解】
∵把一张三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，
∴∠ABE ＝∠A ，∠CBG ＝∠C ，
∵∠A +∠C ＝180°﹣∠ABC ，
∵∠ABC ＝∠ABE +∠CBG +∠EBG ，
∴∠ABC ＝∠A +∠C +36°＝180°﹣∠ABC +36°，
∴∠ABC ＝108°，
故答案为：108．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理与图形折叠的性质，根据角的和差关系，列出关于∠ABC 的方程，是解题的关键．
三、解答题
21．(1) 32m =，AB =(2) (0,2)Q . 【解析】
【分析】
（1）把点C 的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C 的纵坐标，然后把点C 的坐标代入一次函数解析式即可求得m 的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点A 、B 的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB ；
（2）由14OCQ BAO S S ∆∆=
得到OQ 的长，即可求得Q 点的坐标． 【详解】
(1)∵点C 在直线12
y x =-上，点C 的横坐标为−3， ∴点C 坐标为3(3,)2-，
又∵点C 在直线y =mx +2m +3上， ∴33232m m -++=
， ∴32
m =， ∴直线AB 的函数表达式为362y x =
+， 令x =0,则y =6,令y =0,则3602
x +=，解得x =−4，
∴A(−4,0)、B(0,6)，
∴22
46213 AB=+=；
(2)∵
1
4
OCQ BAO
S S
∆∆
=，
∴111
346 242
OQ
⨯⋅=⨯⨯⨯，
∴OQ=2，
∴点Q坐标为(0,2).
【点睛】
考查两条直线相交问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式等，比较基础，难度不大.
22．（1）y与x的函数表达式为y=100x+17360（21≤x≤62且x为整数）；（2）共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱.
【解析】
【分析】
（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
（2）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；
【详解】
解：（1）由题意：y=380x+280（62-x）=100x+17360．
∵30x+20（62-x）≥1441，
∴x≥20.1，
又∵x为整数，
∴x的取值范围为21≤x≤62的整数．
即y与x的函数表达式为y=100x+17360（21≤x≤62且x为整数）.
（2）由题意100x+17360≤21940，
∴x≤45.8，
∴21≤x≤45，
∴共有25种租车方案，
又100＞0，∴y随x的增大而增大，
∴x=21时，y有最小值．
即租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱.
【点睛】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
23．
29x ，92
【解析】
【分析】 原式括号内两项通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值.
【详解】
22
333x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭
， 22(3)(3)333x x x x x x x
⎛⎫-++=-⋅ ⎪++⎝⎭ 2
933x x x +=⋅+ 29
x
=
当x =2992x =
= 【点睛】
此题考查了分式的化简和求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
24．（1）是；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
问题（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可．
问题（2）分c 是斜边和b 是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．
问题（3）利用勾股定理得AC 2+BC 2=AB 2，AD 2+BD 2=AB 2，由AD=BD ，则AD=BD ，所以2AD 2=AB 2，加上AE=AD ，CB=CE ，所以AC 2+CE 2=2AE 2，然后根据新定义即可判断△ACE 是奇异三角形．
【详解】
（1）解：设等边三角形的一边为a ，则a 2+a 2=2a 2，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：是；
（2）解：①当225255，
∵22255252（或22255225）
∴Rt △ABC 不是奇异三角形，
②当5，52是直角边时，斜边
2252553 ∵22
553=100，2252100 ∴222553=252，
∴Rt △ABC 是奇异三角形，
故答案为53；
（3）证明
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴AC 2+BC 2=AB 2，AD 2+BD 2=AB 2，
∵AD=BD ，
∴2AD 2=AB 2，
∵AE=AD ，CB=CE ，
∴AC 2+CE 2=2AE 2，
∴△ACE 是奇异三角形．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，奇异三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用．
25．（1）见解析；（2）45°
【解析】
【分析】
（113MN ； （2）连接AC ，根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC 是等腰直角三角形，进而可求∠ABC 的度数．
【详解】
解：（1）如图
根据勾股定理，得
MN22
AM AN
+22
23
+13
（2）连接AC
∵22
1310
AC+22
1310
BC，22
2425
AB=+=
∴AC2+BC2＝AB2，
∴ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键．四、压轴题
26．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;
（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.
【详解】
(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°，
在△ACP和△BPQ中，
{AP BQ A B AC BP
=
∠=∠
=
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直；
(2)①若△ACP ≌△BPQ ，
则AC= BP ，AP= BQ ，
34t t xt =-⎧⎨=⎩
解得11
t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，
则AC= BQ ，AP= BP ，
34xt t t =⎧⎨=-⎩
解得：232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】
本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.
27．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；
（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，
∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．
【详解】
（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ACD ≌△BCE ，
∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD ≌△BCE ，
∴AD=BE ．
（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：
∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，
∴△ACD ≌△BCE ，
∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，
∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ．
∴AE = DE+AD=2CM+BE ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
28．（1）①详见解析；②
12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，
)a
【解析】
【分析】
（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；
（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，
∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；
（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF
最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求BO =
，OF OC ==，即可求得BF
【详解】
（1）①连接AD ，如图1．
∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1
2
α
故答案为：1
2α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=1
2
α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE ，
（3）如图3，取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，
，
F 是以AC 为直径的圆上一点，设AC 中点为O ，
∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ，
当B 、O 、F 三点共线时BF 最长； 如图，过点O 作OH ⊥BC ，
∵∠BAC=90°，2a ，
∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC ， ∴2OC HC =
， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ，
∴2OC a =， ∴OH HC a ==，
∴BH=3a ，
∴10BO a =，
∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，
∴∠AFC=90°，
∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==
，
∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ． 【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
29．（1）（
73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72
）或（6，8） 【解析】
【分析】
（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；
（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．
【详解】
解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，
∴x +2＝6，
解得，x ＝4，
∴点E 的坐标是（4，6），
∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，
∴x ＝343+＝73，y ＝063
+＝2， ∴点T 的坐标为（
73，2）， 故答案为：（73
，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），
∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，
∴x ＝
33a +，y ＝023
a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，
∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣13
； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2）， 则点T 的坐标为（
33a +，23a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33
a +＝a ， 解得，a ＝32
， 此时点E 的坐标为（
32，72）， 当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴
33
a +＝3， 解得，a ＝6，
此时点E的坐标为（6，8），
当∠DTH＝90°时，该情况不存在，
综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（
3
2
，
7
2
）或（6，8）
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．
30．（1）5；（2）221
3
；（3）
221
3
【解析】
【分析】
（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到
AM=CN，AN=BM，即可得出AB；
（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；
（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，
由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA，
在△ABM和△CAN中，
=
=
=
AMB CNA
MAB NCA
AB AC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴AB=22
25
1=
+；
（2）分别过点B ，C 向l 1
作垂线，交l 1于P ，Q 两点，
在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC ，
在△AMB 和△CNA 中，
===AMB CNA ABM NAC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△AMB ≌△CNA （AAS ），
∴CN=AM ，
∵∠AMB=∠ANC=120°，
∴∠PMB=∠QNC=60°，
∴PM=
12BM ，NQ=12
NC ， ∵PB=1，CQ=2，
设PM=a ，NQ=b ， ∴2221=4a a +，2222=4b b +，
解得：3=a ，23=b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=433， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；
（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，
过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC ，∠ACB=60°，
∴∠BCN+∠ACM=120°，
∵∠BCN+∠NBC=120°，
∴∠NBC=∠ACM ， 在△
BCN 和△CAM 中，
BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCN ≌△CAM （AAS ），
∴CN=AM ，BN=CM ，
∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，
∴BN=2NP ，
在△BPN 中，222BP NP BN +=，
即22224NP NP +=，
解得：NP=233
， ∵∠AMC=60°，AQ=3，
∴∠MAQ=30°，
∴AM=2QM ，
在△AQM 中，222AQ QM AM +=，
即22234QM QM +=，
解得：QM=3，
∴AM=23=CN ，
∴PC=CN-NP=AM-NP=
43， 在△BPC 中，
BP 2+CP 2=BC 2，
即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角
形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.。