高中数学第九章解三角形9.1.2余弦定理优质作业含解析新人教B版必修第四册
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3
2.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于( )
A.14
B.34
C.
2 4
D.
2 3
答案 B
解析因为 b2=ac,c=2a,所以 b2=2a2,b=
2a.所以 cosB= 2+ 2- 2 =
2
2+4 2-2 2 ·2
2
=
3.
4
3.已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则 C 的大小为( )
c= 19.
9.在锐角三角形 ABC 中,AB=3,AC=4.若△ABC 的面积为 3 3,则 BC 的长是
.
答案 13
解析由题可知1AB·AC·sinA=3
2
3,所以 sinA= 23.又因为△ABC 为锐角三角形,所以 A=60°,由余弦定理
cosA=
2+
2-
2
,得
a=
13即 BC=
13.
2
10.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边,那么 a 的取值范围是
2
2
3+1)×
3 2
=
3+ 2
3.综上所述,选
BC.
8.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,则 a+b=
,若 C=60°,则边
c=
.
答案 5 19 解析由题意得 a+b=5,ab=2.由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
答案 C
解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,
所以 a2+b2-c2=-ab,即 2+ 2- 2=-1,
2
2
所以 cosC=-1,所以 C=120°.
2
4.在△ABC
中,sin2
2
=
2
(a,b,c 分别为角
A,B,C
的对应边),则△ABC
的形状为(
)
A.3 2
2
B.3 3
C.3
2
2
答案 B 解析如图,
D.3 3
在△ABC 中,BD 为 AC 边上的高,且 AB=3,BC=
13,AC=4.因为
cosA=32+42-( 13)2
2×3×4
=
1,所以
2
sinA=
3.故
2
BD=AB·sinA=3× 3 = 3 3.
2
2
3.已知△ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,A=120°,a= 21,△ABC 的面积为 3,则 c+b=( )
B= 3ac,则 B 的值为( )
A.π
B.π
6
3
C.π 或 5π
66
D.π 或 2π
33
答案 D
解析∵(a2+c2-b2)tanB=
3ac,且 cosB=
2+
2-
2
,∴sinB=
3,∴B=π 或 2π.故选 D.
2
2
33
2.在△ABC 中,已知 AB=3,BC= 13,AC=4,则边 AC 上的高为( )
大角的度数是( )
A.135°
B.90°
C.120°
D.150°
答案 C
解析因为 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,故 a∶b∶c=3∶5∶7,设 a=3k(k>0),则 b=5k,c=7k.由大边对大
角定理可知,角 C 是最大角,由余弦定理得 cosC= 2+ 2- 2=-1.因为 0°<C<180°,因此,C=120°.故选 C.
2
4002 + 4002-2 × 400 × 400cos =400 2-2cos ,故正方形面积为 160000(2-2cosα)=320000(1-cosα),
所以所求占地面积为 320000(1-cosα+sinα)=320000 2sin α-π +1 ,所以当α-π = π,即α=3π时,占地
.
答案(2,8)
解析因为 2a-1>0,所以 a>1,最大边为 2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以 a2+(2a-1)2<(2a+1)2,化简
2
得 0<a<8.又因为 a+2a-1>2a+1, 所以 a>2,所以 2<a<8.
11.在△ABC 中,求证:
2-
2
2
=
sin( sin
).
证明右边=sin cos -cos sin
2
2
6.
某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为 400 m 的等腰
三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为( )
A.π
B.π
C.πHale Waihona Puke D.π34
6
8
答案 D
解析设等腰三角形的顶角为α,由三角形的面积公式,得 4 个等腰三角形的面积和为
4×1×400×400sinα=320000sinα,由余弦定理可得正方形边长为
sin
=ssiinn ·cosB-ssiinn ·cosA
= · 2+ 2- 2 − · 2+ 2- 2
2
2
=
2+ 2
2-
2
2
−
2+ 222
2
=
2- 2
2
=左边.
所以
2-
2
2
=
sin( sin
).
能力提升练
1.(2020 江苏扬州大桥高级中学高一月考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan
3+1 2
答案 BC
解析由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=4+4+2
3-2×2×(
3+1)×1=6,所以 a=
2
6.由正弦定理,得
sin
=
,所以 sinB= sin
=
2×
3 2
=
2.由于 0°<B<120°,所以 B=45°.所以 C=180°-B-A=75°.三角形
sin
6
2
ABC 的面积为1bcsinA=1×2×(
4
42
4
面积最大,此时底角为π-34π = π,故选 D.
28
7.(多选题)(2020 海南中学高一期中)已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
A=60°,b=2,c= 3+1,则下列说法正确的是( ) A.C=75°或 C=105°
B.B=45°
C.a= 6
D.该三角形的面积为
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析因为 sin2
= 1-cos
=
- ,所以 cosA=
=
2+
2-
2
,整理得
a2+b2=c2,符合勾股定理.故△ABC
为直角
2
2
2
2
三角形.
5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,那么这个三角形中最
第九章解三角形
9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.2 余弦定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在△ABC
中,角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c,若
b=3,c=2,cos
A=1,则
3
a=(
)
A.5
B. 7
C.4
D.3
答案 D
解析由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2×3×2×1=9,解得 a=3.故选 D.
2.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于( )
A.14
B.34
C.
2 4
D.
2 3
答案 B
解析因为 b2=ac,c=2a,所以 b2=2a2,b=
2a.所以 cosB= 2+ 2- 2 =
2
2+4 2-2 2 ·2
2
=
3.
4
3.已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则 C 的大小为( )
c= 19.
9.在锐角三角形 ABC 中,AB=3,AC=4.若△ABC 的面积为 3 3,则 BC 的长是
.
答案 13
解析由题可知1AB·AC·sinA=3
2
3,所以 sinA= 23.又因为△ABC 为锐角三角形,所以 A=60°,由余弦定理
cosA=
2+
2-
2
,得
a=
13即 BC=
13.
2
10.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边,那么 a 的取值范围是
2
2
3+1)×
3 2
=
3+ 2
3.综上所述,选
BC.
8.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,则 a+b=
,若 C=60°,则边
c=
.
答案 5 19 解析由题意得 a+b=5,ab=2.由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
答案 C
解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,
所以 a2+b2-c2=-ab,即 2+ 2- 2=-1,
2
2
所以 cosC=-1,所以 C=120°.
2
4.在△ABC
中,sin2
2
=
2
(a,b,c 分别为角
A,B,C
的对应边),则△ABC
的形状为(
)
A.3 2
2
B.3 3
C.3
2
2
答案 B 解析如图,
D.3 3
在△ABC 中,BD 为 AC 边上的高,且 AB=3,BC=
13,AC=4.因为
cosA=32+42-( 13)2
2×3×4
=
1,所以
2
sinA=
3.故
2
BD=AB·sinA=3× 3 = 3 3.
2
2
3.已知△ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,A=120°,a= 21,△ABC 的面积为 3,则 c+b=( )
B= 3ac,则 B 的值为( )
A.π
B.π
6
3
C.π 或 5π
66
D.π 或 2π
33
答案 D
解析∵(a2+c2-b2)tanB=
3ac,且 cosB=
2+
2-
2
,∴sinB=
3,∴B=π 或 2π.故选 D.
2
2
33
2.在△ABC 中,已知 AB=3,BC= 13,AC=4,则边 AC 上的高为( )
大角的度数是( )
A.135°
B.90°
C.120°
D.150°
答案 C
解析因为 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,故 a∶b∶c=3∶5∶7,设 a=3k(k>0),则 b=5k,c=7k.由大边对大
角定理可知,角 C 是最大角,由余弦定理得 cosC= 2+ 2- 2=-1.因为 0°<C<180°,因此,C=120°.故选 C.
2
4002 + 4002-2 × 400 × 400cos =400 2-2cos ,故正方形面积为 160000(2-2cosα)=320000(1-cosα),
所以所求占地面积为 320000(1-cosα+sinα)=320000 2sin α-π +1 ,所以当α-π = π,即α=3π时,占地
.
答案(2,8)
解析因为 2a-1>0,所以 a>1,最大边为 2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以 a2+(2a-1)2<(2a+1)2,化简
2
得 0<a<8.又因为 a+2a-1>2a+1, 所以 a>2,所以 2<a<8.
11.在△ABC 中,求证:
2-
2
2
=
sin( sin
).
证明右边=sin cos -cos sin
2
2
6.
某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为 400 m 的等腰
三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为( )
A.π
B.π
C.πHale Waihona Puke D.π34
6
8
答案 D
解析设等腰三角形的顶角为α,由三角形的面积公式,得 4 个等腰三角形的面积和为
4×1×400×400sinα=320000sinα,由余弦定理可得正方形边长为
sin
=ssiinn ·cosB-ssiinn ·cosA
= · 2+ 2- 2 − · 2+ 2- 2
2
2
=
2+ 2
2-
2
2
−
2+ 222
2
=
2- 2
2
=左边.
所以
2-
2
2
=
sin( sin
).
能力提升练
1.(2020 江苏扬州大桥高级中学高一月考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan
3+1 2
答案 BC
解析由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=4+4+2
3-2×2×(
3+1)×1=6,所以 a=
2
6.由正弦定理,得
sin
=
,所以 sinB= sin
=
2×
3 2
=
2.由于 0°<B<120°,所以 B=45°.所以 C=180°-B-A=75°.三角形
sin
6
2
ABC 的面积为1bcsinA=1×2×(
4
42
4
面积最大,此时底角为π-34π = π,故选 D.
28
7.(多选题)(2020 海南中学高一期中)已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
A=60°,b=2,c= 3+1,则下列说法正确的是( ) A.C=75°或 C=105°
B.B=45°
C.a= 6
D.该三角形的面积为
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析因为 sin2
= 1-cos
=
- ,所以 cosA=
=
2+
2-
2
,整理得
a2+b2=c2,符合勾股定理.故△ABC
为直角
2
2
2
2
三角形.
5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,那么这个三角形中最
第九章解三角形
9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.2 余弦定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在△ABC
中,角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c,若
b=3,c=2,cos
A=1,则
3
a=(
)
A.5
B. 7
C.4
D.3
答案 D
解析由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2×3×2×1=9,解得 a=3.故选 D.