基于正弦自适应权重的模拟退火粒子群算法

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将模拟退火算法混合到粒子群算法中，虽然能够有效地解决粒子群算法容易陷入局部极值的问题，但是在用此混合算法求解复杂高维函数时，收敛速度较慢、精确度较低。

为解决此问题，提出对惯性权重的正弦自适应变化的方案，即正弦自适应权重的模拟退火粒子群算法。

本文采取四个基准函数来对提出的优化算法进行仿真，同时与改进前的模拟退火粒子群算法和其他人所提出的基于惯性权重改进的优化方案进行比较。

结果表明，优化后的算法拥有更强的收敛能力，更高的精确度，更加稳定的优化值。

1 引言
粒子群算法（Particle Swarm Optimization ，PSO ）是一种群体智能的随机搜索算法，虽然诞生时间不久，但是凭借其智能性和容易实现等优势，越来越多学者对其进行各个方面的研究。

目前在对粒子群算法的研究中，比较普遍的两个方向是对粒子群算法工程应用的研究，例如图像配准、指纹识别和神经网络等方面，以及对粒子群算法的优化方案的研究。

在粒子群算法各种优化方案中，主要分为两大类，一是对惯性权重的改进；二是混合其他算法的改进。

2 模拟退火粒子群的混合算法
2.1 粒子群算法
在粒子群算法中，每一个粒子都有速度和位置属性，且每一个属性都有N 维的方向。

在每一次的迭代过程中，算法都需更新每一个个体的速度和位置，并且记录最佳适应度值，进而得出最优解。

粒子群算法的速度和位置更新公式如下：
(1)
(2)
式中，t 表示迭代次数，v ij 、x ij 分别表示当前粒子的N 维的速度和N 维的位置；p ij 表示上一次迭代过程中记录下来的粒子的个体最优位置，p gi 表示上一次迭代过程中记录下来的整个群体的最优位置；w 表示粒子的惯性权重，c 1、c 2是粒子的学习因子；r 1、r 2分别是取值范围为0~1之间的随机数（张德丰，MATLAB R2017a 人工智能算法：电子工业出版社，陈韦凯，万子芬，2018）。

2.2 模拟退火算法
模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm ，SA ）源于固体的退火原理。

固体在高温逐渐冷却到低温这一过程中，粒子渐渐有序，内能逐渐减少，再反复利用Metropolis 抽样准则计算出到达常温状态下的内能，即目标函数值。

在利用Metropolis 抽样准则时，运用到以下公式：
(3)
式中，E i 表示当前状态的内能，E j 表示新状态下的内能；k 为玻尔兹曼常数，T 为热力学温度。

p 属于[0,1]中，且p 值越大，则状态时重要的概率就越大，进而影响之后的内能（温正，孙华克，MATLAB 智能算法：清华大学出版社，盛东亮，李建庄，2017）。

2.3 两个算法的混合
虽然模拟退火算法流程简单易实现，但是由于自身的串
行性，运行效率较低，且算法的收敛性十分依赖初始值和初始参数。

而粒子群算法的初始值的随机性很好地满足此要求，因此在粒子群算法的框架下，利用模拟退火算法的概率突跳特性可以提高算法的收敛速度，减少运行时间（Yong Luo,Bo Zhu,Yong Tang.Simulated annealing algorithm for optimal capital growth:Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2014），可得模拟退火粒子群算法（Simulated Annealing Particle Swarm Optimization ，SAPSO ）
在与粒子群算法结合的过程中，必须确定初始温度和退温方式，其公式如下：
(4)
式中，
是退火常数的权重，除此
之外，还需要确定各个粒子的内能（即适应度值），进而得出各个适应度值下的概率TF ( p i )，可以利用如下公式：
(5)
在更新惯性权重、粒子速度和位置时沿用粒子群算法中的公式（N Sadati,T Amraee,A M Ｒanjbar.A global particle swarm-based-simulated annealing optimization technique for under-voltage load shedding problem:Applied Soft Computing,2009）。

这样就可以混合计算。

3 正弦自适应权重的模拟退火粒子群算法
3.1 算法实现的主要思想
正弦自适应权重的模拟退火粒子群算法（Sinusoidal Adaptive Simulated Annealing Particle Swarm Optimization,SASAPSO ），是在模拟退火粒子群的混合算法的基础上提出来的。

虽然模拟退火粒子群算法较于粒子群算法，其全局优化能力得到了改善，但是在求解复杂高维函数时，难以找到精确的值而且收敛性较差（张永芳，粒子群算法的研究与应用：华北电力大学(北京)，2009）。

本文提出针对算法的惯性权重进行正弦自适应变化的策略。

正弦自适应惯性权重的这种改进方案是在自适应权重法的基础上提出的。

惯性权重值越大，算法全局搜索能力越强；惯性权重值越小，算法局部搜索能力越强（姜长元，赵曙光，沈士根，郭力争，惯性权重正弦调整的粒子群算法：计算机工程与应用，2012）。

还可以引入正弦函数来确定惯性权重大小。

在定义域范围为[0,π]中，取值为[0,1]的正弦函数表现出凸函数的特性，它的这特性能够与惯性权重的取值相结合。

引入正弦变化的算法在计算的前期有很强的收敛能力（周静，崔国民，彭富裕，肖媛，基于正弦调整的粒子群算法应用于换热网络：电子科技，2016），其惯性权重大小正弦的变化能够保证局部查找和全局查找动态地进行。

因此，为能够综合以上策略的优势，让算法既能够自适应调节全局
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和局部的搜索能力，又能够加快算法收敛速度和提高精确度，提出正弦自适应权重的模拟退火粒子群算法。

经反复计算及测试，本文确定以下的正弦自适应惯性权重的公式，并且在每一次更新粒子速度和位置的之前，更新惯性权重：
(6)
式中，w max 表示惯性权重最大值，w min 表示惯性权重最小值；f 表示当前粒子适应度值，f avg 表示当前迭代下所有粒子适应度值的平均值，f max 表示当前迭代下最大的粒子适应度值。

3.2 算法实现的步骤
改进的算法的步骤如下：
1）定义各个参数的值以及随机初始化粒子的速度和位置；2）利用目标函数计算粒子适应度值，并初始化所有粒子的个体极值P best 和群体的全局极值g best ；
3）利用公式(4)确定初始温度；根据式子(5)确定当前温度下各个粒子的适应度值的概率值，并与随机的一个概率相比得出相应的位置作为全局最优的位置；
4）利用公式(6)更新粒子的惯性权重；并且利用公式(1)和(2)分别更新粒子的速度和位置；
5）更新粒子的个体极值P best 和群体的全局极值g best ，并进行退温操作；
6）当算法达到停止条件时则停止搜索并输出结果，否则返回第3）步继续搜索。

4 仿真实验分析
此次实验采用了四种基准函数进行仿真，目的是测试改进后的SASAPSO 算法的性能。

同时，为了体现改进后的SASAPAO 算法的优势，将改进前的模拟退火粒子群算法（SAPSO 算法）进行计算仿真并进行比较。

除此之外，本文还与其他人所提出的基于模拟退火粒子群算法改进的优化算法进行对比，例如非线性惯性权重的模拟退火粒子群算法（改进PSO 算法）（司呈勇，一种改进的模拟退火粒子群算法在有约束函数优化问题中的应用：中国年中国智能自动化学术会议论文集(第一分册)：中国自动化学会智能自动化专业委员会:中国自动化学会智能自动化专业委员会，2011）和结合自适应惯性权重的模拟退火粒子群算法（P_PSO_SA ）（于桂芹，李刘东，袁永峰，一种结合自适应惯性权重的混合粒子群算法：哈尔滨理工大学学报，2016）。

与本文提出的SASAPSO 算法类似，以上两种改进的算法提出的思路都是针对惯性权重的改变进而影响粒子搜索性能，提高精确度。

本文将这两种改进的算法同时进行计算仿真，再横向比较分析。

此次运用到四种基准函数：
表1 四种基准函数
表2 基准函数相关参数
函数取值范围维度最优值f 1[-600,600]500f 2[-5.12,5.12]100f 3[-2048,2048]200f 4
[-32,32]
50
本文将分别用以上四个算法分别对每一个函数进行仿真计算50次，分别求出平均值、最好值、最差值和方差，结果如下：
表3 四个算法对f1的仿真结果
算法平均值最好值最差值方差改进PSO 0.021960.010710.03273 5.09671e-04P_PSO_SA 0.031790.011750.047280.00109SAPSO 0.031490.022010.051780.00105SASAPSO
0.02487
0.01123
0.05886
6.91872e-04
表4 四个算法对f2的仿真结果
算法平均值最好值最差值方差改进PSO 23.48329.7632835.073 6.085e+02P_PSO_SA 24.1384 6.6142144.532 6.672e+02SAPSO 26.4483 5.6537741.5717.944e+02SASAPSO 22.8045
7.50699
51.026
6.099e+02
表5 四个算法对f3的仿真结果
算法平均值最好值最差值方差改进PSO 7.24354 1.795979.6059556.18313P_PSO_SA 7.47321 4.377529.5922758.33975SAPSO 7.501990.048399.5902960.14913SASAPSO
6.15895
2.24977
9.55964
40.94706
表6 四个算法对f4的仿真结果
算法平均值最好值最差值方差改进PSO 1.193980.76189 1.79101 1.48301P_PSO_SA 1.31785 1.05511 1.80938 1.76593SAPSO 4.35193 3.79114 4.6232118.97468SASAPSO
0.93278
0.48821
1.41748
0.91005
由上述结果的表格可以知道，对于函数f 1，SASAPSO 算法求出的平均值为0.02487明显比SAPSO 算法的0.03149和P_PSO_SA 算法的0.03179更精确，其求出的方差也比改进的PSO 算法的稍差。

对于f 2，f 3，f 4三个函数的仿真，SASAPSO 算法求出的平均值分别为22.80457、6.15895、0.93278，其他三个算法中平均值最小的是由改进PSO 算法求出的值，分别为23.48322、7.24354、1.19398，由此可以看出SASAPSO 算法求出的平均值是最接近理论值的。

SASAPSO 算法求出的方差是四个算法当中最小的。

综上所述，可以知道，SASAPSO 算法的精确度是比较高的，能够达到甚至超过改进PSO 算法的精确度。

而且求出的值比较接近理论值，稳定性也较好。

为了进一步研究SASAPSO 算法的收敛速度和计算效率，分别测出四个函数下四个算法的进化曲线，并与其他三种算法进行对比，如下。

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由图示可以看出，在四个函数的迭代曲线中，SASAPSO 算法收敛到最优值时分别迭代次数为90、40、40、150。

在其他三种算法里面，对于函数f 1，最快收敛到最优值的算法是SAPSO 算法，迭代次数为100；对于函数f 2，最快收敛到最优值的算法是SAPSO 算法，迭代次数为150；对于函数f 3，最快收敛到最优值的算法是SAPSO
算法，
图1 函数f 1
的迭代曲线
图2 函数f 2
的迭代曲线
图3 函数f 3
的迭代曲线图4 函数f 4的迭代曲线
迭代次数为60；对于函数f 4，最快收敛到最优值的算法是P_PSO_SA 算法，迭代次数为500。

可以知道，在三个算法对各个函数的进化曲线里面最好的收敛值下的迭代次数仍然比SASAPSO 算法的大。

因此，SASAPSO 算法的收敛速度是四个算法里面最快的，其优化值的精确度也较高。

5 总结
SAPSO 算法是混合的算法，它沿用了PSO 算法的框架，虽然能够解决PSO 算法中容易陷入局部最优的问题，但是在计算
高维复杂函数时，其收敛速度较差，精确度较差。

而本文提出的SASAPSO 算法是针对惯性权重的正弦改变进而加快粒子的搜索速度，增强收敛性能，提高精确度。

在仿真实验中，分别仿真计算四个基准函数，并且与其他人所提出的改进PSO 算法和P_PSO_SA 算法进行横向对比。

根据上述的仿真实验的结果及分析，可以知道，SASAPSO 算法的收敛速度是四个算法中最快的。

与SAPSO 算法相比，SASAPSO 算法精确度更高、稳定性更好；与改进PSO 算法和P_PSO_SA 算法相比，SASAPSO 算法的精确度能够达到甚至超越它们求出的值。

项目信息：基于盲信号分离的树脂复合材料内部体应变场分
布透视测量仪器及应用；国家自然科学基金项目（61727810）。

作者简介：
莫伟杏【通信作者】（1996—），男，汉族，广东人，工学学士，主要学习方向为计算机算法理论的仿真优化。

胡春筠（1977—），女，汉族，江西人，工学博士，讲师，主要研究领域为分布式视频编码及路由算法。

（上接第25页）
切换控制，但是这种控制必须满足电压的幅值、相角和频率完全一致才可以实现。

3）群级控制是近些年新兴的一种控制方法。

因为这个概念较新，所以暂时还没有现成的示范工程，但是国内正在大力研究与此有关的问题方向。

例如某大学就以微电网群功率波动为研究对象，建立了微电网群功率波动熵值的动态调整模型，采用了量子粒子群优化计算法进行求解实现了优化控制（熊雄，王江波，井天军，杨仁刚，叶林，微电网群功率优化控制：电力自动化设备，2017）。

3.微电网的缺憾
由于分布式电源安装地域的随意性、微网工作状态的随机性等因素，当微网接入大电网时改变了传统电网大部分的简单的“单电源-辐射式”结构，因为微网配网极易受天气影响，所以其会使潮流双向流动，使传统电网中的保护器和自动重合闸策略等不能在微网中继续直接使用。

当微电网并入大电网之后，对电网的冲击较大，对继电保护装置的灵敏度产生影响，降低了继电保护装置的可靠性，不利于电网的稳定运行。

当发生故障时，分布式电源输出电流有可能与故障电流叠加，如果故障电流过大，会导致使系统的灵敏系数升高，扩大保护区域，最终导致继电保护装置误动，扩大停电范围。

在离网状态时，微电网的短路电流是很小的，往往要远远小于并网时的短路电流，又因为微电网中的分布式电源分布的随机性很大，所以短路电流发生的地点随机性也很大，不
止只与分布式电源所处的环境有关。

由于微网中的电子设备额定电压较低，保护定值也较低，对故障反应灵敏，继电保护装置的选择性不够好，故障发生后容易造成系统死机。

4.结语
随着国际对环境保护日渐重视，全球都在节能减排，其中在电力行业减少环境污染也是必不可少的，由此，新能源发电成为后起之秀，所对应的微电网也快速发展起来。

随着国际和国内相继发展微电网，颁发对微电网的相关政策，使微电网能井然有序、安全的工作是首要任务。

本文在微电网大力发展的基础上，首先对电网的特性、利弊和国内外对微电网的相关IEEE标准和IEC 标准进行了介绍，其次对微电网以后的发展方向及发展重点和微电网今后可能形成的模式进行了假设。

随着人们生活质量的不断提高，负荷数量和对电能容量要求必将不断提高，人们的活动范围也将不断增大，从而继续实行传统大电网的运营形式显然是不明智的，必须大力实行分布式电源，是电网多元化。

由此，本文认为WOC体系是符合社会发展的一种体制。

基金项目：辽宁省教育厅科学研究经费项目（项目编号：JL-1905）。