2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(带答案解析)

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）
A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，6
2．（3分）在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）4．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5
5．（3分）将二次函数y=1
3x
2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的
解析式为（）
A．y=1
3（x﹣1）
2+3B．y=1
3（x+1）
2+3
C．y=1
3（x﹣1）
2﹣3D．y=1
3（x+1）
2﹣3
6．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）
A ．13寸
B ．26寸
C ．18寸
D ．24寸
7．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起
的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）
A ．1682（1+x ）＝2684
B ．1682（1+2x ）＝2684
C ．1682（1+x ）2＝2684
D ．1682（1+x ）+1682（1+x ）2＝2684
8．（3分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得
到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，则∠CAA ′的度数是（ ）
A ．50°
B ．70°
C ．110°
D ．120°
9．（3分）若无论x 取何值，代数式（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）的值恒为非负数，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．12
C ．13
D ．1
10．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ≠0）的图象的对称轴是直线
x ＝2，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，且y 1＜y 2，（ ）
A ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＜0
B ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＞0
C ．若x 1﹣x 2＞0，则a （x 1+x 2﹣4）＞0
D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜0
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．13．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于．
14．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为m．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．
16．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：x2+x﹣6＝0．
18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺
得冠军．本赛季共有x 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x 的值．
19．（8分）已知，如图，AD ＝BC ．求证：AB ＝CD ．
20．（8分）如图，已知A ，B ，C 均在⊙O 上，请用无刻度的直尺作图．
（1）如图1，若点D 是AC 的中点，试画出∠B 的平分线；
（2）若∠A ＝42°，点D 在弦BC 上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．
21．（8分）已知二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣3．
（1）若﹣3≤x ≤3，则y 的取值范围为 （直接写出结果）；
（2）若﹣8≤y ≤﹣3，则x 的取值范围为 （直接写出结果）；
（3）若A （m ，y 1），B （m +1，y 2）两点都在该函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．
22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x 天的售价与销量的相关
信息如下表：
第x 天 售价（元/件）
日销售量
（件） 1≤x ≤30 x +60 300﹣10x
已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．
23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则P A2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△P AB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；
【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△P AC＝4.5，求PC；
【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE ＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．
24．（12分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于
点N，交直线：y=1
2x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；
（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）
A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，6
【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，
二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，
故选：A．
2．（3分）在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
故选：D．
4．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5
【解答】解：设方程的另一个根为a，根据题意得：﹣1+a＝4，
解得：a＝5．
故选：C．
5．（3分）将二次函数y=1
3x
2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的
解析式为（）
A．y=1
3（x﹣1）
2+3B．y=1
3（x+1）
2+3
C．y=1
3（x﹣1）
2﹣3D．y=1
3（x+1）
2﹣3
【解答】解：将二次函数y=1
3x
2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所
得图象的函数表达式是y=1
3（x﹣1）
2+3，
故选：A．
6．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）
A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸
【解答】解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=1
2AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
7．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A．1682（1+x）＝2684
B．1682（1+2x）＝2684
C．1682（1+x）2＝2684
D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝2684
【解答】解：如果设从2017年到2019年年平均增长率为x，
那么根据题意得今年为1682（1+x）2，
列出方程为：1682（1+x）2＝2684．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）
A．50°B．70°C．110°D．120°
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A ′BA ＝∠ABC ＝40°，A ′B ＝AB ，
∴∠BAA ′＝∠BA ′A =12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA '＝∠CAB +∠BAA ′＝50°+70°＝120°．
故选：D ．
9．（3分）若无论x 取何值，代数式（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）的值恒为非负数，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．12
C ．13
D ．1
【解答】解：（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）＝x 2+（1﹣4m ）x +3m 2﹣m ，
∵无论x 取何值，代数式（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）的值恒为非负数，
∴Δ＝（1﹣4m ）2﹣4（3m 2﹣m ）＝（1﹣2m ）2≤0，
又∵（1﹣2m ）2≥0，
∴1﹣2m ＝0，
∴m =12．
故选：B ．
10．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ≠0）的图象的对称轴是直线
x ＝2，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，且y 1＜y 2，（ ）
A ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＜0
B ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＞0
C ．若x 1﹣x 2＞0，则a （x 1+x 2﹣4）＞0
D ．若x 1﹣x 2＞0，则a （x 1+x 2﹣4）＜0
【解答】解：∵直线x ＝2是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ≠0）的图象的对称轴，
∴x =−b 2a =2，
∴b ＝﹣4a ，
∴y ＝ax 2﹣4ax +c ，
∵点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，
∴y 1＝ax 12﹣4x 1+c ，y 2＝ax 22﹣4ax 2+c ，
当 x 1＜x 2，y 1＜y 2即y 1﹣y 2＜0，
∴ax 12﹣4ax 1+c ﹣（ax 22﹣4ax 2+c ）＜0，
整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，
∵x1﹣x2＜0，
∴a（x1+x2﹣4）＞0，故A，B不符合题意；
当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，
∴ax12﹣4ax1+c﹣（ax22﹣4ax2+c）＜0，
整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，
∵x1﹣x2＞0，
∴a（x1+x2﹣4）＜0，故C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴22﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
13．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于80°．
【解答】解：∵∠CBE＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣40°＝140°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×40°＝80°．
故答案为：80°．
14．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为6+6√2m．
【解答】解：设小圆形场地的半径为rcm，则大圆形场地的半径为（r+6）cm，
由题意得，
π×（r+6）2＝π×r2×2，
解得r1＝6+6√2，r2＝6﹣6√2＜0（舍去），
故答案为：6+6√2．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论①②④（填序号即可）．
【解答】解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，
∴对称轴为：x=0+2
2
=1，
∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，
∴p＝0，
∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，
∴t＝c＞0，
∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；
∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，
∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵x=−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a＞0，故①正确；
∴9a +3b +c ＝0， ∴3a +c ＝0， ∴c ＝﹣3a ，
∴﹣4a ﹣c ＝﹣4a +3a ＝﹣a ， ∵顶点坐标为（1，n ），a ＜0， ∴am 2+bm +c ≤a +b +c ， ∴am 2+bm ≤a +b ， ∴am 2+bm ≤﹣a ，
∴am 2+bm ≤﹣4a ﹣c ，故④正确， 故答案为①②④．
16．（3分）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 所成的锐角为60°，AC +BD ＝10，则四边形ABCD 的面积最大值为
25√3
4
．
【解答】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积S =1
2AC ×BD ×sin60°， 设AC ＝x ，则BD ＝10﹣x ，
所以S =1
2x （10﹣x ）×√3
2=−√3
4（x ﹣5）2+25√3
4， 所以当x ＝5，S 有最大值25√34
．
故答案为：
25√34
．
三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）解方程：x 2+x ﹣6＝0． 【解答】解：∵x 2+x ﹣6＝0， ∴（x +3）（x ﹣2）＝0，
∴x 1＝﹣3或x 2＝2．
18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x 的值．
【解答】解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为1
2x （x ﹣1），
∴共比赛了45场， ∴1
2x （x ﹣1）＝45，
解得：x 1＝10，x 2＝﹣9， ∵x ＞0， ∴x ＝10， 答：x 的值为10．
19．（8分）已知，如图，AD ＝BC ．求证：AB ＝CD ．
【解答】证明：∵AD ＝BC ， ∴AD
̂=BC ̂， ∴AD ̂+AC ̂=BC ̂+AC ̂， 即CD ̂=AB ̂， ∴AB ＝CD ．
20．（8分）如图，已知A ，B ，C 均在⊙O 上，请用无刻度的直尺作图． （1）如图1，若点D 是AC 的中点，试画出∠B 的平分线；
（2）若∠A ＝42°，点D 在弦BC 上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，BE为所作；
（2）如图2，△BMN为所作．
21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1（直接写出结果）；
（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5（直接写出结果）；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴对称轴为直线x＝2，有最大值1，
当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3﹣2）2+1＝﹣24，
∴若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1，
故答案为﹣24≤y≤1；
（2）把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣8＝﹣x2+4x﹣3，解得x1＝5，x2＝﹣1，把y＝﹣3代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x3＝0，x4＝4，
∴若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，
故答案为﹣1≤x≤0或4≤x≤5；
（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，
∴y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3＝﹣m2+2m，
∴y2﹣y1＝3﹣2m，
令y2﹣y1＞0，即y2＞y1，此时m＜3 2，
令y2﹣y1＝0，即y2＝y1，此时m=3 2，
令y2﹣y1＜0，即y2＜y1，此时m＞3 2，
综上，m＜3
2，y2＞y1；m=
3
2，y2＝y1；m＞
3
2，y2＜y1．
22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天售价（元/
件）日销售量（件）
1≤x≤30x+60300﹣10x
已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000；
（2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，
当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）．
∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元；
（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14，
故当月有14天的日销售利润不低于5440元．
23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则P A2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△P AB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；
【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△P AC＝4.5，求PC；
【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE
＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．
【解答】解：【问题背景】
如图1．
【迁移应用】
如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，
∵∠BPM＝45°，∠PBM＝90°，
∴△BPD为等腰直角三角形，
∴BP＝BM，
∵∠ABM+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°，
∴∠PBC＝∠ABM，
在△PBC和△MBA中，
{PB =PM
∠PBC =∠ABM BA =BC
， ∴△PBC ≌△MBA （SAS ）， ∴∠AMP ＝90°，
∴S △PAC =1
2
PC ⋅AD =12
PC 2=4.5， ∴PC ＝3． 【拓展创新】
如图3，将△AED 绕点E 顺时针旋转90°至△FEC ，连接BF ，
则AD ＝CF ＝3，AE ＝EF ，∠ADE ＝∠FCE ， ∵AD ∥BC ，
∴∠ADE +∠EDC +∠ECD +∠ECB ＝180°， ∵ED ＝EC ，∠CED ＝90°， ∴∠EDC ＝∠ECD ＝45°， ∴∠ADE +∠ECB ＝90°， ∴∠FCE +∠ECB ＝90°， 即∠FCB ＝90°，
∴FB =√BC 2+CF 2=√42+32=5， ∵∠AEB ＝135°，∠AEF ＝90°， ∴∠FEB ＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠AEB ＝∠FEB ， 在△ABE 和△FBE 中， {AE =EF
∠AEB =∠FEB BE =BE
，
∴△ABE ≌△FBE （SAS ）， ∴AB ＝FB ＝5．
24．（12分）已知抛物线C ：y ＝ax 2+bx +c （a ＞0），顶点为（0，0）． （1）求b ，c 的值；
（2）如图1，若a ＝1，P 为y 轴右侧抛物线C 上一动点，过P 作直线PN ⊥x 轴交x 轴于点N ，交直线：y =1
2
x +2于M 点，设P 点的横坐标为m ，当2PM ＝PN 时，求m 的值； （3）如图2，点P （0，y 0）为y 轴正半轴上一定点，点A ，B 均为y 轴右侧抛物线C 上两动点，若∠APO ＝∠BPy ，求证：直线AB 经过一个定点．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝ax 2①， 故b ＝0，c ＝0；
（2）a ＝1时，抛物线的表达式为y ＝x 2，
设点P 的坐标为P （m ，m 2），则点M （m ，1
2m +2），
∵2PM ＝PN ，则|1
2
m +2﹣m 2|=1
2m 2，
解得m =
−√17+1
2（舍去）或√17+12或 43
或﹣1（舍去），
故m =√17+1
2
或 4
3
；
（3）作点A 关于y 轴的对称轴M ，
∵抛物线关于y 轴对称，故点M 在抛物线上，连接MP ， ∵∠MPO ＝∠OP A ＝∠BPy ，故M 、P 、B 三点共线， 设点A （p ，ap 2），则点M （﹣p ，ap 2），
设直线PM 的表达式为y ＝kx +b ，则{ap 2=−pk +b y 0=b
，解得{k =y 0−ap 2
p
b =y 0
，
故直线PM 的表达式为y =y 0−ap 2
p +y 0②，
联立①②并整理得：ax 2
−ap 2−y 0
p
x ﹣y 0＝0，
则x B +x M =−ap 2−y 0
ap
，
即x B ﹣p =−ap 2−y 0ap ，则x B =y 0
ap ，
将xB 的值代入y ＝ax 2
得，y =y 02
ap 2，故点B 的坐标为（y 0ap ，y 02ap
2），
由点B 、A 的坐标得，直线AB 的表达式为y =y 0+ap 2
p
x ﹣y 0， 当x ＝0时，y ＝﹣y 0， 故直线AB 恒过点（0，﹣y 0）．。