高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》单元汇编附答案解析

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习知识点
一、选择题
1．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，2cos2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()())2cos sin cos sin cos sin 2
αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
2．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π
≠
∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调且存在020,
3
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ）
A ．20,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．30,
2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
C ．24,
33⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203
x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
上单调且存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫
∈+-= ⎪⎝⎭
，
，，即可得出结论． 【详解】
∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π
≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
3
2a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，
∴d 8
π
=
．
∴f （x ）8
π
=
cosωx ，
∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，上单调 ∴
23
ππω≥， ∴ω32
≤
； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭
，，， 所以f （x ）在（0，23
π
）上存在零点， 即
223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
故选D 【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
3．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关
于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()sin 2π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()sin 4π6f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 4π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由
12f πω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．
【详解】
解：将函数()()sin (0,)2
f x x π
ωφωφ=+><
的图象向右平移
6
π
个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
的图象；
∵所得图象关于y 轴对称，∴6
2
k ωπ
π
φπ-+=+
，k Z ∈．
∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭
，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63
k ωπ
π
π-
=+
，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
4．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足
120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】
解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==， ∴()2
222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()2
2
2426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111
862422
S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且
1,a b ==c =（ ）
A B
C D 【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C ==，所以tan 2C =，
所以cos 5
C =
，
由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.
6．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =
∆的面积为
1，
则BD 的长为（ ）
A ．32
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】 1
sin 1sin
2BCD BCD ∠=∴∠=
2242
BD BD ∴=-=∴=,选C
7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A B ．
C
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据
sin0
C≠，得
1
cos
3
A=-，再由余弦定理得3
bc=，又2222
a b c
--=
，代入公式
=
S.
【详解】
由()
cos3cos0
a B
b
c A
++=得sin cos cos sin3sin cos0
A B A B C A
++=，
即()
sin3sin cos0
A B C A
++=，即()
sin13cos0
C A
+=，
因为sin0
C≠，所以
1
cos
3
A=-，
由余弦定理222
2
2cos2
3
a b c bc A bc
--=-==，所以3
bc=，
由ABC
∆
的面积公式得
S===
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．若函数tan2
3
y x k
π
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
，0,
6
x
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
的图象都在x轴上方，则实数k的取值范围
为（）
A．)+∞
B．)+∞
C．()+∞
D．()
【答案】A
【解析】
【分析】
计算tan20
3
x
π
⎛⎫
<-<
⎪
⎝⎭
，tan2
3
x k
π
⎛⎫
->-
⎪
⎝⎭
恒成立，得到答案.
【详解】
∵0,
6
x
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，∴20
33
x
ππ
-<
-<，∴tan20
3
x
π
⎛⎫
-<
⎪
⎝⎭
，
函数tan2
3
y x k
π
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
，0,
6
x
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
的图象都在x轴上方，
即对任意的0,
6
x
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，都有tan20
3
x k
π
⎛⎫
-+>
⎪
⎝⎭
，即tan2
3
x k
π
⎛⎫
->-
⎪
⎝⎭
，
∵tan2
3
x
π
⎛⎫
->
⎪
⎝
⎭
k
-≤
，k≥
【点睛】
本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.
9．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，2222
22a b a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
10．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin
B ．cos
C ．tan
D ．cos2θ
【解析】 【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．
11．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，3c =
，且
2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC V 的面积是（ ）
A 3
B ．
12
C 33
D ．
14或1
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知关系求出1
sin 2
B =，根据余弦定理求出边a ，根据面积公式即可得解. 【详解】
因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，所以2sin cos 12cos sin A C A C =-， 所以2sin cos 2cos sin 1A C A C +=，所以2sin()1A C +=， 所以2sin 1B =，即1sin 2
B =
， 因为b c <，所以B C <，所以角B 为锐角，所以23cos 1sin 2
B B =-=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2313232
a a =+-⨯， 整理可得2320a a -+=，解得1a =或2a =. 当1a =时，ABC V 的面积是1113
sin 132224S ac B =
=⨯=
； 当2a =时，ABC V 的面积是1113
sin 232222
S ac B ==⨯=
. 故选：C. 【点睛】
此题考查根据余弦定理解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，结合边角关系解方程，根据面积公式求解.
12．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6
π
=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】
由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫
=++=++ ⎪⎝
⎭
， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π
=
ω， ∴()26
3f x sin x π
πϕ⎛⎫=++
⎪⎝⎭．
又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
++=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()26
3f x sin x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
由22,2632
k x k k Z π
πππ
ππ-
+≤
+
≤
+∈，
得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，
∴()f x 的单调增区间为[]
()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】
解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，
属于基础题．
13．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ-
<ϕ<，1
(3A ，0)为()f x 图象的对称中
心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是(
)
A ．2(23k -，4
2)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，4
2)3k ππ+，k Z ∈
C ．2(43k -
，4
4)3
k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，4
4)3
k ππ+，k Z ∈
【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数图像的性质可求得：2
π
ω=
，6
π
ϕ=-
，即()sin(
)26
f x x π
π
=-，再令
222262
k x k ππππ
ππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.
【详解】
解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ
-
<ϕ<， 因为1
(3
A ，0)为()f x 图象的对称中心，
B ，
C 是该图象上相邻的最高点和最低点，
又4BC =，∴2
22
()42T +=，即221216πω
+=，求得2πω=．
再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6
πϕ=-，()3sin()26f x x ππ
∴=-，
令222262k x k ππππππ--
+剟，求得24
4433
k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，4
4)3
k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.
14．
4
cos2d cos sin x
x x x
π
=+⎰
（ ）
A ．1)
B 1
C 1
D ．2【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.
【详解】 因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x
-==-++，
∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x π
ππ
=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】
本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.
15．化简21sin 352sin 20︒︒-
=（ ）
A ．12
B ．12-
C ．1-
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
16．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：
①()f x 是奇函数；
②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增； ③π是()f x 的周期；
④()f x 的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】
计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】
()()()sin tan cos tan f x x x =-，
()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，
所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；
假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k π
π=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于
2，所以④错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43
BAC AP ∠==，
AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在ABC V 中，23AB AC ==，
23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6
AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
18．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A
【解析】
逐一考查所给的函数： cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122
ππ⨯= ；
函数cos 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ
== ； 综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.
本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
19．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=
对称 B ．直线6πθ=对称 C ．点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．极点对称 【答案】A
【解析】
【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又
因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案. 【详解】 由曲线4sin 6πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3πθ=
,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3π
θ=对称
故选：A.
【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π
个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A ．4x π
= B ．3x π
= C ．56x π= D ．1912
x π= 【答案】D
【解析】
【分析】 由三角函数的周期可得23
πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 3
9y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
的最小正周期是3π，则函数2()4sin 3
3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912
x π=. 故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。