关于推导球体体积方法的对比及其给予当今师生的启示

关于推导球体体积方法的对比及其给予当今
师生的启示
【摘要】同一个问题，不同的人可能有不同的解法。

古希腊最伟大的数学家阿基米德结合了他在各个方面的研究，他在《方法论》中应用力学探究方法确定了球的体积；而我国祖暅提出了"祖暅原理"，即"等积原理"，利用祖暅原理推导球体体积公式的方法则与阿基米德推导球体体积公式的方法极不相同。

这正告诉我们当今学者：一定要关注数学的历史，要注重基础理论知识的学习，注重学习兴趣、思想、方法和观察力的培养；最终达到解决问题能够举一反三，能够有勇于创新的精神迎接挑战。

【关键词】阿基米德祖暅原理球的体积
作为中学生，已经接触到了球体的体积公式，而且也时常应用球体体积公式的计算、处理一些实际问题。

但是在中学时，并没有要求同学们对推导球体体积公式作理解。

因此，许多中学生都只能用死记硬背的方式记住了其体积公式，并不知道它的来源。

其实，当我们看了或者了解了古人对球体体积公式推导之后，我们可能会受益匪浅，而且也会用惊讶语气说一句：你们太厉害了！
1.阿基米德及他应用力学探究方法确定的球体积
众所周知，古希腊最伟大的数学家非阿基米德莫属。

阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。

他的父亲是天文学家。

母亲出生于名门望族，且知书达理。

也许正是因为阿基米德生活在这样一个文化风味极强的生活之中，使得他在学术方面取得许多成就。

青年时代的阿基米德曾到号称"智慧之都"的压力山大城求学，那里的科学研究包括四方面：文学、数学、天文学和医学，由于希腊天文学实际是一种数理天文学，以天体运动的数学设计为其主要内容，而医学等也含有数学，因此，数学在压力山大占有主导地位。

在那求学时，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，及研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提
丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法。

正是因为安提丰和欧多克索斯的群竭法对阿基米德的影响，使得后来发展成为他处理无限问题的基本工具。

[10]
此外，阿基米德在力学方面和天文学方面的贡献也是相当杰出的。

正是由于阿基米德结合了他在各个方面的研究，他在《方法论》中应用力学探究方法确定了球的体积。

具体思路如下：
设半径为R的球，圆锥和圆柱的高都是2R，底面半径分别是2R与R。

如下图所示，即为它的轴截面图。

由图中数据有：切片与N的距离为x，薄片的厚度为△x，r2=R2-（x-R）2即r2=x
（2R-x）；近而有三个薄片的体积分别是：
球片：πx2R-xΔx
柱片：πR2Δx
锥片：πx2Δx
当△x趋于2R时，即可得球体、圆柱和圆锥的体积。

设球体、圆柱和圆锥的体积分别为V1、V2和V3，有：
V2=πR2·2R；
V3=23π（2R）2·R；
在此，阿基米德利用力矩合成平衡原理，将球体和椎体的薄片挂在T点（TN=NS=2R）上，则有下列等式：
（G1+G3）L
=2（pv1·g+pv3·g）R
=2pg[xπ（2R-x）·Δx+πx2△x]R
=4pgπR2ΔXr
=4xG2
即等价于：2R（V1+V3）=4R·V2
即：2R（V1+8πR33）=8πR4，
故有：V1=43πR3[10]
以上乃是阿基米德在《方法论》中运用力学探究方法的基本思想对球体体积的推导。

他的这种求法通常也被人们称为劈积法推导体积法，在其中，也应用到了极限思想，以及他巧妙地将球的体积和圆柱及圆锥的体积结合在一起，也正是以上所有因素，致使他推导出球的体积。

其实，在当时，阿基米德间接地应用了取极限的方法，因此，就是我们在大学中所学习
到的积分求球体体积的方法：
V=∫∫∫dv
=∫∫∫（ρ^2）sinθdρdθdφ
=（13R3）*[（-cos（π））-（-cos（0））]*（2π-0）
=43πR3）
2.祖暅原理及应用祖原理求球的体积
祖暅原理也就是"等积原理"。

它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

[2]等积原理的发现起源于《九章算术》中的答案是错误的。

他提出的方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。

这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为"牟合方盖"。

（古时人称伞为"盖"，"牟"同侔，意即相合。

）根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。

刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。

可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。

祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽"牟合方盖"的理论去进行体积计算，得出"幂势相同，则体不容异"的结论。

"势"即是高，"幂"是面积。

这一原理主要应用于计算一些比较复杂几何体的体积上面。

[2]而在西方，直到十七世纪，才由意大利的一名数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1589-1647）发现。

于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为"卡瓦列里原理"。

其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

因此，我们可以利用祖暅原理来求得球的体积。

为求得球的体积，我们先研究半球（半径为R）的体积计算。

为了应用祖暅原理，我们需要找到或是借助一个能够求体积的，使得它和半球的高度一样，并且用任何一个水平面去截他们时，得到的截面面积都相等的几何体。

如右图，设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得面积的半径为r，r2=R2-l2，于是截面面积：S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl2。

S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积。

为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如下图。

用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面。

由上述可知：
圆环大圆半径为R，小圆半径为l，面积S2=πR2-πl2。

所以，S1=S2。

根据祖暅原理，这两个几何体体积相等。

即：
12V球=πR2·R-13πR2·R
=23πR3，
所以球的体积V球=43πR3。

[12]
不论是刘徽的"割圆术"还是体积理论都体现了辩证的极限思想，使有关"量的可分性"假定得到了解释，从某种意义上来说刘徽的极限思想与现代的微积分思想一致。

虽然他没有推证出球体积公式，但他创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。

[6]从解决球体积公式的过程来看，祖冲之父子比较高明的地方在于吸取了刘徽的教训，不再直去钻牟合方盖体积的那个牛角尖，而改为研究方盖差的体积，从而获得了成功，也正是这条途径才引导他们获得"祖暅原理"。

刘徽以其对数学的杰出贡献，当之无愧地成为公元3世纪世界上最杰出的数学家。

他为中国古代数学奠定了坚实的理论基础，堪与欧几里德对古希腊数学的总结和整理相媲美。

3.推导球体体积的方法给予当今师生的启示
从以上两种方法推导球体体积的过程，我们可以看出，第一种方法是阿基米德利用力学平衡的原理，巧妙地将他敏锐的洞察力、理论知识和实践，以及他的渊博知识联系在一起，最终求得球体体积。

而第二种方法是祖暅利用祖氏定理"幂势既同，则积不容异"和"出入相补原理"方法，在牟合方盖的基础上，巧妙地求得出了球体体积。

尽管两种求解方法极不相同，但我们可以肯定是：阿基米德给予我们的方法、思想和祖暅原理给予我们的方法、思想均有相同的启示：
3.1要注重基础理论知识的学习。

阿基米德能够用物理数学方法获得球体积公式，不仅说明他有深厚的数学功底，物理学上也有很深的造诣。

[8]同样，祖暅能够沿用了刘徽的思想，利用刘徽"牟合方盖"的理论去进行体积计算，得出"幂势相同，则体不容异"的结论。

最后得到了祖暅原理，即：在夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在此基础上，我们才将求球体体积和一个能够求得体积的容器联系起来，才使得球体体积得以解决。

因此，由上可见，在解决实际问题的过程中，我们所涉及到的问题往往也是具有极强的综合性、复杂性，甚至还会涉及到多个学科领域的问题.如果我们理论基础狭窄，没有广博的知
识领域，在解决问题时就会由于知识贫乏被约束、止步。

现今许多大学都是在向应用型大学发展，因此我们一定要全面发展，争取在发展自己专业知识的基础之上，增强自己的知识面。

要时刻谨记自己的使命，以认真刻苦、虚心求教、实事求是的态度和不怕艰难、勇于探索的精神，增强自己各方面的理论知识的基础。

3.2学会等价联系和转化。

联系是解决问题的一种基本手段。

在生活中具有极其重要的地位。

如以上两种方法，都巧妙地将球的体积和圆锥、圆柱等能够求得体积的容器联系在一起。

但是，要强调的一点是，这个联想不是凭空联想，而是有根据的联系；将有相同点的事物联系在一起。

转化即将一种不好解决或不好求解的问题转化为一个已解决或是好解决的问题。

[1]在以上两种方法中，都是将未知、不易求得的球的体积转化为易求得体积的容器--圆柱和圆锥。

这些也告诉我们，联系和转换不是轻而易举的就可以办到的，而是只有在有广博的知识的基础之上，多多应用这种方法，这也正好验证我们的一句古语：熟能生巧。

在平时学习中，我们一定要学会总结，在解决某些问题时，不要急于下笔，尤其是几何问题，一定要多看少算，而且还要培养自己的空间想象能力等等。

例如：在中学的数学教学中，有一章节内容为：二次函数，在此章节的学习中，作为老师，一定要引导学生寻找其中的等价条件，如：
①函数取最值，等价于其对应的横坐标乃为对称轴的值：x=-b2a，也等价于y=4ac-
b24a；②当函数的图像与x轴只有一个交点时，等价于函数的最值为：y=0，也等价于4ac-b2=0；
③函数的图像与x轴有两个交点，等价于b2-4ac>0；
④顶点在x轴上，等价于y=4ac-b24a；而顶点在y轴上，又等价于对称轴的方程为
x=0；等等。

3.3勇于发明、创新。

创新是以新思维、新发明和新描述为特征的一种概念化过程。

[3]随着经济和文化的快速发展，发现、发明及创新等词时刻萦绕在我们的耳边。

尤其是在现今的大学校园内，在老师的带领下，学生们逐渐都培养起了勇于发明、创新的精神。

阿基米德认为数学关系的客观存在与人类能否解释他们无关。

而不论是阿基米德还是用祖恒原理给予球体的体积公式的推导和证明，都说明球体的体积公式是客观存在的，不会是任何一位数学家精巧的有意设计。

因此，可以说他们发现了球体的体积公式。

而他们在求证公式的过程中的方法、思想却是截然不同的，这明显又带有发明、创新的意味。

由此可见，发现的过程是发明，发明的结果是发现。

同样例如，牛顿和莱布尼茨共同创立的微积分。

尽管得到的内容一样，但是他们分别从运动学的瞬时速度和曲线的斜率提出、引入微积分的。

3.4注重学习兴趣、思想、方法的培养。

众所周知，兴趣是促进人们成功的动力。

正如
爱因斯坦所言："兴趣是最好的老师。

"激发学生的学习兴趣对数学教学尤为重要。

[4]而无论是在职教师的继续学习还是大学生的在校学习，对高等数学知识学习的积极性总不够，认为这些东西对今后的教学工作都是没有用的，对我国古代数学更是缺乏一定程度的了解。

通过对祖暅原理的由来及阐述，激励广大教师和学生学习数学史，了解我国古代数学的辉煌成就，激发民族自豪感和热爱数学的精神。

通过对祖暅原理的证明的论述，使我们认识到高等数学对中学数学教学的指导作用，高等数学知识有助于加深对中学数学的理解，从而激发他们学习高等数学的自觉性和热情。

例如：在漫长的人类历史文明中，有一种简单地解决分歧的办法，俗话称："石头、剪刀、布"。

如果两个人玩"石头、剪刀、布"的游戏，在公平条件下，他二人赢的概率分别是多少？
据调查，当老师给出此题时，一部分同学采取如下的平面直角坐标法的坐标法，一部分同学用的是常见的树状图，[5]还有一些同学采用的是其他方法。

从此题可以清楚地看出，这位数学老师借用"石头、剪刀、布"将复杂、难懂的概率问题引出，不仅仅激起了同学们的兴趣，而且致使同学们想出了多种方法。

因此，我们说：不论是教师，还是学生，都一定要培养学习兴趣。

同样，不论是阿基米德，还是用祖暅原理，在求球体体积时，都涵盖着一定的思想和方法，如分割、等量代换等。

[1]当我们回顾数学史时，我们会发现，每一位伟大的数学家，或者是某一结论的诞生，都是蕴含着值得我们学习、深思的思想、方法。

3.5培养敏锐的观察力。

俗话说："眼睛是心灵的窗户"。

没错，在数学上也是如此。

正是因为阿基米德敏锐的观察力，使得他利用力学平衡的原理巧妙地推导出了球体的体积公式。

同样如：被誉为"数学王子"的德国著名数学家高斯（CarlFriedrichGauss，1777-1855），在200多年前，他的算数老师提出了下面的问题：
1+2+3+…+100=？
据说，当其他同学忙于将100个数逐次相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速地算出了正确答案：
（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=5050。

[11]
也正是高斯的这种算法，使得人们受到启发，近而解决了等差数列的前n项和。

我们不难看出高斯的成绩完全源于他那敏锐的观察力。

其实，纵观数学史，每一位伟大的数学家在作出成就时，都凭借着自己那敏锐的观察力。

由此可见，敏锐的观察力在解决实际问题中占有相当重要的地位。

参考文献
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[2]张伟.祖暅原理的由来及证明[J].重庆教育学院学报，2010年5月第23卷第3期.
[3]张小平.漫谈数学的两重性[J].高中数学教与学.2012年11月.
[4]魏杰艾万君.关于球体体积与表面积的一些注记[J].黔东南民族职业技术学院学报（综合版），2011年9月第7卷第3期.
[5]王晓青付莉.谈概念教学中具体事例的设计[J].高中数学教与学.2012年11月.
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[8]陆新生.球的体积与表面积计算法的发展史考及指导构想[J].四川教育学院学报，2003年7月第19卷第7期.
[9]沈乔.关于球体积公式教学的思考[J].中学数学教学参考2002年第7期.
[10]朱家生.数学史[M].高等教育出版社，2011年5月第2版.
[11]普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M].人民教育出版社，2007年1月第3版.
[12]普通高中课程标准实验教科书数学必修2[M].人民教育出版社，2007年2月第3版.
-全文完-。