七年级下册数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

七年级下册数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．14的算术平方根为（） A ．116 B ．12± C ．12 D ．12
- 2．下列车标图案，可以看成由图形的平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．平面直角坐标系中，点（a 2+1，2020）所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．下列命题是假命题的是（ ）
A ．同位角相等，两直线平行
B ．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C ．平行于同一条直线的两条直线平行
D ．平面内，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上
5．如图，//AB CD ，将一个含30角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若1∠的度数为25︒，则2∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．65︒
C ．145︒
D ．155︒ 6．下列说法正确的是（ ） A ．9的立方根是3 B ．算术平方根等于它本身的数一定是1
C ．﹣2是4的一个平方根
D ．4的算术平方根是2 7．如图，直线//AB CD ，
E 为CD 上一点，G 为AB 上一点，B
F E
G ⊥，垂足为F ，若35B ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．45︒
C ．55︒
D ．65︒
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成
一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2021秒时，点P 的坐标是（ ）
A ．(2020，0)
B ．(2021，-1)
C ．(2021，1)
D ．(2022，0)
二、填空题
9．若()2
320a b -++=，则a b +=______. 10．将点()14P -,
先关于x 轴对称，再关于y 轴对称的点的坐标为_______． 11．已知点A （3a+5，a ﹣3）在二、四象限的角平分线上，则a=__________．
12．如图，直线AB ，CD 相交于点E ，//DF AB ．若100AEC ∠=︒，则D ∠等于_____．
13．如图，将矩形ABCD 沿MN 折叠，使点B 与点D 重合，若∠DNM ＝75°，则∠AMD ＝_____．
14．规定，()221x f x x =+，例如：()223931310f ==+，2
21113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫÷ ⎪⎝⎭，通过观察，那么
()()()()11111239910099982f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()100f +=______． 15．在平面直角坐标系中，第二象限内的点M 到横轴的距离为2，到纵轴的距离为3，则点M 的坐标是________．
16．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4…表示，则顶点A 2021的坐标是
________．
三、解答题
17．计算：
（1）3981++- （2）23427(3)+---
（3）2(23)+
（4）353325-++
18．求下列各式中x 的值：
（1）24241x -=；
（2）()3
8127x -=．
19．已知如图，//BC EF ，80AOB ∠=︒，1160C ∠+∠=︒，60B ∠=︒，求证：A D ∠=∠. 完成下面的证明过程：
证明：∵80AOB ∠=︒，
∴80COD AOB ∠=∠=︒（______________________________）
∵____________________（已知）
∴1180COD ∠+∠=︒.（______________________________）
∴1100∠=︒.
∵1160C ∠+∠=︒，（已知）
∴1601______C ∠=︒-∠=
又∵60B ∠=︒，
∴B C ∠=∠，
∴//AB CD ，（______________________________）
∴A D ∠=∠.（______________________________）
20．ABC ∆与A B C '''∆在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ' ； B ' ；C ' ；
（2）说明A B C '''∆由ABC ∆经过怎样的平移得到？答：_______________．
（3）若点(),P a b 是ABC ∆内部一点，则平移后A B C '''∆内的对应点P '的坐标为_________； （4）求ABC ∆的面积．
21．已知a 是172-的整数部分，b 是173-的小数部分．
（1）求a ，b 的值；
（2）求()()32
4a b -++的平方根． 二十二、解答题
22．如图，在99⨯网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形ABCD 的顶点都在网格的格点上．
（1）求正方形ABCD 的面积和边长；
（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标．
二十三、解答题
23．已知，如图：射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点，PFD ∠的角平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设PFM α∠=︒，EMF β∠=︒且()2350αβα-+-=．
（1）α=________，β=________；直线AB 与CD 的位置关系是______；
（2）如图，若点G 是射线MA 上任意一点，且MGH PNF ∠=∠，试找出FMN ∠与GHF ∠之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图）分别与AB 、CD 相交于点1M 和点1N 时，作1PM B ∠的角平分线1M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中
1FPN Q
∠∠的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
24．综合与探究（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF ∥MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出∠PAF 、∠PBN 和∠APB 之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线m ∥n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动．
①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设∠ADP ＝∠α，∠BCP ＝∠β．则∠CPD ，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD ，∠α，∠β之间的数量关系．
25．如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F 在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠
（1）求EOB ∠的度数；
（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.
26．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=
()1请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；
()2如图2，当90E ∠=且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠否存在确定的数量关系？并说明理由．
()3如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持不变，①当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD 的反向延长线上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根的定义求解.
【详解】 解：因为21124⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以14的算术平方根为12. 故选C.
【点睛】
本题主要考查算术平方根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握算术平方根的定义. 2．A
【分析】
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、可以由一个“基本图案”平移得到，故本选项符合题意；
B、不是由一个“基本图案”平移得到，故本选项
解析：A
【分析】
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、可以由一个“基本图案”平移得到，故本选项符合题意；
B、不是由一个“基本图案”平移得到，故本选项不符合题意；
C、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
D、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移和旋转，准确分析判断是解题的关键．
3．A
【分析】
根据点的横纵坐标的正负判断即可．
【详解】
解：因为a2+1≥1，
所以点（a2+1，2020）所在象限是第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查点所在的象限，掌握每个象限内点的横纵坐标的正负是关键．
4．D
【分析】
利用平行线的判定、三角形的外角的性质、角平分线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故原命题错误，是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、三角形的外角的性质、角平分线的判定等知识，难度不大．
5．A
【分析】
过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，则EF∥CD，利用平行线的性质，得到
∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入计算即可．
【详解】
如图，过三角板60°角的顶点作直线EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=25°，
∴∠2=35°，
故选A ．
【点睛】
本题考查了平行线的辅助线构造，平行线的判定与性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
利用立方根、平方根和算术平方根的定义进行判断即可.
【详解】
解：939A 项错误；
算术平方根等于它本身的数是1和0，故B 项错误；
﹣2是4的一个平方根，故C 项正确；
42D 项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键. 7．C
【分析】
根据FGB 内角和定理可知FGB ∠的度数，再根据平行线的性质即可求得DEF ∠的度数．
【详解】
∵BF EG ⊥
∴90F ∠=︒
∵35B ∠=︒
∴180180903555FGB F B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
∵//AB CD
∴55FGB DEF ∠=∠=︒．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握相关角度计算方法是解决本题的关键．
8．C
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标．
【详解】
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长
解析：C
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标．
【详解】
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为12×2π×1=π，
∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
2
π个单位长度， ∴点P 每秒走12个半圆，
∴当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)，
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，-1)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)， …，
∵2021÷4=505余1，
∴P 的坐标是（2021，1），
故选：C ．
【点睛】
此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题． 二、填空题
9．1
【分析】
根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：根据题意得，a-3=0，b+2=0，
解得a=3，b= -2，
所以3+（-2）=1．
故答案为1．
解析：1
【分析】
根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：根据题意得，a-3=0，b+2=0，
解得a=3，b= -2，
所以a b +=3+（-2）=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
10．(1,-4)
【分析】
直角坐标系中，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此即可求解．
【详解】
设关于x 轴对称的点为
则点的坐标为
解析：(1,-4)
【分析】
直角坐标系中，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此即可求解．
【详解】
设()14P -,
关于x 轴对称的点为P' 则P'点的坐标为(-1,-4)
设点P'和点''P 关于y 轴对称
则''P 的坐标为(1,-4)
故答案为：(1,-4)
【点睛】
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
11．﹣
【详解】
∵点A（3a+5，a-3）在二、四象限的角平分线上，且二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标之和为0,
∴3a+5+a-3=0,
∴a=﹣.
故答案是：﹣.
解析：﹣1
2
【详解】
∵点A（3a+5，a-3）在二、四象限的角平分线上，且二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标之和为0,
∴3a+5+a-3=0,
∴a=﹣1
2
.
故答案是：﹣1 2 .
12．80°.
【分析】
先根据补角的定义求出∠BEC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】
解：∵∠AEC=100°，
∴∠BEC=180°-100°=80°．
∵DF∥AB，
∴∠D=∠BE
解析：80°.
【分析】
先根据补角的定义求出∠BEC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠AEC=100°，
∴∠BEC=180°-100°=80°．
∵DF∥AB，
∴∠D=∠BEC=80°．
故答案为：80°.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．13．30°
【分析】
由题意，根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠BMD的度数，从而可以求得∠AMD的度数，本题得以解决．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DN∥AM，
∵∠DNM＝75º
解析：30°
【分析】
由题意，根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠BMD的度数，从而可以求得∠AMD 的度数，本题得以解决．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DN∥AM，
∵∠DNM＝75º，
∴∠DNM＝∠BMN＝75º，
∵将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，
∴∠BMN＝∠NMD=75º，
∴∠BMD＝150º，
∴∠AMD＝30º，
故答案为：30º．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，属于基础常考题型，难度适中，熟练掌握这些知识的综合运用是解答的关键．
14．【分析】
由题干得到,将原式进行整理化简即可求解.
【详解】
∵，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查了归纳概括,找到互为倒数的两个数之和为1是解题关键.
解析：
1 99
2
【分析】
由题干得到()
1
1
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
f n f
n
,将原式进行整理化简即可求解.
【详解】
∵()1913131010
f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴()()()()111,111,12f n f f f f n ⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭
， ∴()()()1199100110099f f f f f ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 119999112
=+=+． 【点睛】
本题考查了归纳概括,找到互为倒数的两个数之和为1是解题关键.
15．（－3，2）
【分析】
根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【详解】
∵点到横轴的距离为，到纵轴的距离为，
解析：（－3，2）
【分析】
根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【详解】
∵点M 到横轴的距离为2，到纵轴的距离为3，
∴|y|=2，|x|=3，
由M 是第二象限的点，得：
x=−3，y=2．
即点M 的坐标是（−3，2)，
故答案为：（−3，2）．
【点睛】
此题考查象限及点的坐标的有关性质，解题关键在于第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零．
16．（-506，-506）
【分析】
根据正方形的性质找出部分An 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A
解析：（-506，-506）
【分析】
根据正方形的性质找出部分A n 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A 4n +1（-n -1，-n -
1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数）”，依此即可得出结论．
【详解】
解：观察发现：A1（-1，-1），A2（-1，1），A3（1，1），A4（1，-1），A5（-2，-2），A6（-2，2），A7（2，2），A8（2，-2），A9（-3，-3），…，
∴A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数），
∵2021=505×4+1，
∴A2021（-506，-506），
故答案为：（-506，-506）．
【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数），”解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．
三、解答题
17．（1）6；（2）-4；（3）；（4）.
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根、绝对值化简，再进一步计算即可；
（2）利用算术平方根和立方根化简，再进一步计算即可；
（3）类比单项式乘多项式展开计算
解析：（1）6；（2）-4；（3）2+；（4）
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根、绝对值化简，再进一步计算即可；
（2）利用算术平方根和立方根化简，再进一步计算即可；
（3）类比单项式乘多项式展开计算；
（4）利用绝对值的性质化简，再进一步合并同类二次根式．
【详解】
解：（11-
=3+2+1
=6；
（2
=2-3-3
=-4；
（33)
=2+；
（4+
=
故答案为（1）6；（2）-4；（3）2+4）
【点睛】
本题考查立方根和算术平方根，实数的混合运算，先化简，再进一步计算，注意选择合适的方法简算．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，然后运用直接开平方法，即可求出的值；
（2）方程两边同时除以8，然后计算立方根，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
∴，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
解析：（1）52
x =±；（2）52x = 【分析】
（1）先移项，然后运用直接开平方法，即可求出x 的值；
（2）方程两边同时除以8，然后计算立方根，即可得到答案．
【详解】
解：（1）24241x -=
∴2425x =， ∴2254
x =， ∴52
x =±； （2）()38127x -=，
∴()32718
x -=， ∴312x -=
， ∴52
x =； 【点睛】
本题考查了直接开平方法、开立方根法求方程的解，解题的关键是熟练掌握直接开平方
法、开立方根法进行解题．
19．见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵∠AOB=80°，
∴∠COD=∠AOB=80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+
解析：见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵∠AOB=80°，
∴∠COD=∠AOB=80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1=100°．
∵∠1+∠C=160°（已知），
∴∠C=160°-∠1=60°．
又∵∠B=60°，
∴∠B=∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了对顶角的定义．
20．（1）（-3，1），（-2，-2），（-1，-1）；（2）向左平移4个单位，向下平移2个单位；（3）（a-4，b-2）；（4）2
【分析】
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对
解析：（1）（-3，1），（-2，-2），（-1，-1）；（2）向左平移4个单位，向下平移2个单位；（3）（a-4，b-2）；（4）2
【分析】
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律逆向写出点P ′的坐标；
（4）利用△ABC 所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）A ′（-3，1）； B ′（-2，-2）；C ′（-1，-1）；
（2）向左平移4个单位，向下平移2个单位；
（3）若点P （a ，b ）是△ABC 内部一点，
则平移后△A 'B 'C '内的对应点P '的坐标为：（a -4，b -2）；
（4）△ABC 的面积=11123131122222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=2．
【点睛】
本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键． 21．（1）a=2，b=；（2）±3
【分析】
（1）首先估算出的范围，从而得到和的范围，可得a ，b 值；
（2）将a ，b 的值代入计算，再求平方根即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，，
∴a=2，b
解析：（1）a =2，b 4；（2）±3
【分析】
（123的范围，可得a ，b 值； （2）将a ，b 的值代入计算，再求平方根即可．
【详解】
解：（1）∵< ∴45<，
∴
223<，132<<，
∴a =2，b 314-；
（2）()()32
4a b -++
=())23424++- =9
∴()()32
4a b -++的平方根为±3． 【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，平方根的定义，正确得出a ，b 的值是解题关键．
二十二、解答题
22．（1）面积为29，边长为；（2），，，，图见解析．
【分析】
（1）面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标
解析：（1）面积为29，边长为29；（2）(0,5)A ，(2,0)B ，(7,2)C ，(5,7)D ，图见解析．
【分析】
（1）面积等于一个77⨯大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可．
【详解】
解：（1）正方形的面积217425292
ABCD S =-⨯⨯⨯=正方形，
正方形边长为29S =；
（2）建立如图平面直角坐标系，
则(0,5)A ，(2,0)B ，(7,2)C ，(5,7)D ．
【点睛】
本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形是进一步解题的关键．
二十三、解答题
23．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB ∥CD ；
（2
解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN +∠GHF =180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB ∥CD ； （2）先根据内错角相等证GH ∥PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出
∠FMN +∠GHF =180°；
（3）作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证ER ∥FQ ，得∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，得出∠EPM 1=2∠R ，即可得1FPN Q ∠∠=2． 【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM =∠MFN =35°，∠EMF =35°，
∴∠EMF =∠MFN ，
∴AB ∥CD ；
（2）∠FMN +∠GHF =180°；
理由：由（1）得AB ∥CD ，
∴∠MNF =∠PME ，
∵∠MGH =∠MNF ，
∴∠PME =∠MGH ，
∴GH ∥PN ，
∴∠GHM =∠FMN ，
∵∠GHF +∠GHM =180°，
∴∠FMN +∠GHF =180°；
（3）1FPN Q
∠∠的值不变，为2， 理由：如图3中，作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，
∵AB ∥CD ，
∴∠PEM 1=∠PFN ，
∵∠PER =12∠PEM 1，∠PFQ =1
2∠PFN ，
∴∠PER =∠PFQ ，
∴ER ∥FQ ，
∴∠FQM 1=∠R ，
设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，
则有：1
22y x R y x EPM ⎧⎨⎩=+∠=+∠， 可得∠EPM 1=2∠R ，
∴∠EPM 1=2∠FQM 1， ∴11EPM FQM ∠∠=1FPN Q
∠∠=2． 【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
24．（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC ∥EF ，如图1，由PC ∥EF ，EF ∥MN 得到PC ∥MN ，根据平行线的性质得∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠
解析：（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，见解析；②CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠
【分析】
（1）作PC ∥EF ，如图1，由PC ∥EF ，EF ∥MN 得到PC ∥MN ，根据平行线的性质得∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠PBN ＋∠CPB ＝180°，即有∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；
（2）①过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，根据平行线的性质，可得到EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，于是CPD αβ∠=∠+∠；
②分两种情况：当P 在OB 之间时；当P 在OA 的延长线上时，仿照①的方法即可解答．
【详解】
解：（1）∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°，理由如下：
作PC ∥EF ，如图1，
∵PC ∥EF ，EF ∥MN ，
∴PC ∥MN ，
∴∠PAF ＋∠APC ＝180°，∠PBN ＋∠CPB ＝180°，
∴∠PAF ＋∠APC +∠PBN ＋∠CPB ＝360°,
∴∠PAF ＋∠PBN ＋∠APB ＝360°；
（2）①CPD αβ∠=∠+∠，
理由如下：如答图，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴PE ∥BC ，
∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD αβ∠=∠+∠
②当P 在OB 之间时，CPD αβ∠=∠-∠，理由如下：
如备用图1，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴PE ∥BC ，
∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD αβ∠=∠-∠；
当P 在OA 的延长线上时，CPD βα∠=∠-∠，理由如下：
如备用图2，过P 作PE ∥AD 交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴PE ∥BC ，
∴EPD α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD βα∠=∠-∠；
综上所述，∠CPD ，∠α，∠β之间的数量关系是CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠.
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．
25．（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出
∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA ，从而得出答案；
（2
解析：（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为12;（3）∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=1
2∠COA ，从而
得出答案；
（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA ，∠OFC=∠FOA ，再根据
∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出∠OBC ：∠OFC 的值为1：2．
（3）设∠AOB=x ，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC ，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA ，然后列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵CB ∥OA
∴∠C+∠COA=180°
∵∠C=100°
∴∠COA=180°-∠C=80°
∵∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF=12（∠AOF+∠COF ）=12∠COA=40°;
∴∠EOB=40°;
（2）∠OBC ：∠OFC 的值不发生变化
∵CB ∥OA
∴∠OBC=∠BOA ，∠OFC=∠FOA
∵∠FOB=∠AOB
∴∠FOA=2∠BOA
∴∠OFC=2∠OBC
∴∠OBC ：∠OFC=1：2
（3）当平行移动AB 至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA ．
设∠AOB=x ，
∵CB ∥AO ，
∴∠CBO=∠AOB=x ，
∵CB ∥OA ，AB ∥OC ，
∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°
∴∠OAB=∠C=100°．
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，
∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x ，
∴x+40°=80°-x ，
∴x=20°，
∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．
【点睛】
本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
26．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析. 【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再
解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故
∠BAC=∠PQC+∠QPC．
试题解析：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°．证明如下：
过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+1
2
∠MCD=90°；
（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：
如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：
如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．
点睛：本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．。