北京市石景山区实验中学数学九年级上册期末试卷解析版

北京市石景山区实验中学数学九年级上册期末试卷解析版
一、选择题
1．如图，四边形ABCD 内接于
O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）
A ．110︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．140︒ 2．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π
3．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A ．
13
B ．
512
C ．
12
D ．1
4．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ） A ．1
B ．2
C ．0,1
D ．1,2
5．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．
的是( )
A ．1
2
DE BC = B ．
AD AE
AB AC
= C ．△ADE ∽△ABC
D ．:1:2ADE
ABC
S S
=
6．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
7．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)
14 15 16 17 18 人数
1
5
3
2
1
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15，16 B ．15，15 C ．15，15.5 D ．16，15 8．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定 9．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()2
49x +=- B ．()2
47x +=-
C ．()2
425x +=
D ．()2
47x +=
10．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是
（ ）
A ．∠
B ＝∠D
B ．∠
C ＝∠E
C ．
AD AB
AE AC
= D ．
AC BC
AE DE
= 11．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）
A ．
12
B ．
22
C ．
35
D ．
45
12．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
13．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1
3
，那么sin A 的值是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
1010
D 310
14．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）
A ．3:2
B ．3:1
C ．1:1
D ．1:2
15．已知抛物线与二次函数2
3y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．2
3(1)
3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-
D ．23(1)3y x =-++
二、填空题
16．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．
17．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A ＝50°，∠C ＝110°，则∠B′的度数为_____． 18．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．
19．正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1，E 为圆C 上一点，连接DE ，将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.
20．已知一组数据：4，4，m ，6，6的平均数是5，则这组数据的方差是______. 21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
22．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为
____．
23．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____. 24．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．
25．一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
26．某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n 个数据的平均数等于______.
27．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
28．已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：
x
… -1 0 1 2 3 4 … y
…
6
1
-2
-3
-2
m
…
下面有四个论断：
①抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，
； ②240b ac -=；
③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．
其中，正确的有___________________．
29．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
30．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．
三、解答题
31．如图，二次函数2
y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ∆的面积；
（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ∆周长最短时，求点P 的坐标. 32．如图，分别以△ABC 的边AC 和BC 为腰向外作等腰直角△DAC 和等腰直角△EBC ，连接DE .
（1）求证：△DAC ∽△EBC ； （2）求△ABC 与△DEC 的面积比．
33．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如
果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
（1）设提价了x 元，则这种衬衫的售价为___________元，销售量为____________件. （2）列方程完成本题的解答.
34．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，连接AE ，F 为
AE 上一点，且BFE C ∠=∠. （1）求证：ABF EAD .
（2）若4AB =，3BE =，7
2
AD =
，求BF 的长.
35．如图，E 是正方形ABCD 的CD 边上的一点，BF ⊥AE 于F ， (1)求证：△ADE ∽△BFA ；
(2)若正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，求△BFA 的面积，
四、压轴题
36．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外的一点，且∠ADC ＝45°，线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，且∠ADC ＝45°． ①若AD ＝6，BD ＝8，求弦CD 的长为 ；
②若AD+BD ＝14，求2AD BD 2⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
的最大值，并求出此时⊙O 的半径．
37．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形．
（1）求证△AEF∽△BCE；
（2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；
（3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离．
38．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．
（1）若DQ＝3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；
（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．
39．如图1,已知菱形ABCD的边长为3A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D 的坐标为33),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0<t<3．．．．．) ①是否存在这样的t ，使DF=7FB?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②连接FC,以点F 为旋转中心,将△FEC 按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x ．轴与．．抛物线在．．．．x ．轴上方的部分围成的图形中．．．．．．．．．．．．(．包括边界．．．．)．
时,求t 的取值范围.(直接写出答案即可) 40．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.
（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；
（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，
2AB =，6BD =CD 的长；
（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选D.
【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.
【详解】
解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴红灯的概率是：
301 302552
=
++
.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，当m=0和m≠0，函数分别为一次函数和二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，列式求解即可．
【详解】
解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x 轴只有一个交点； ②若m ≠0，则函数y=mx 2+2x+1，是二次函数． 根据题意得：b 2-4ac=4-4m=0， 解得：m=1． ∴m=0或m=1 故选：C. 【点睛】
本题考查了一次函数的性质与抛物线与x 轴的交点，抛物线与x 轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．
5．D
解析：D 【解析】
∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=
1
2
BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，AD AE
AB AC =， ∴
21()4
ADE ABC
S DE S
BC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误. 故选D.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
如图，作直径BD ，连接CD ，根据圆周角定理得到∠D ＝∠BAC ＝30°，∠BCD ＝90°，根据直角三角形的性质解答． 【详解】
如图，作直径BD ，连接CD ，
∵∠BDC 和∠BAC 是BC 所对的圆周角，∠BAC ＝30°， ∴∠BDC ＝∠BAC ＝30°，
∵BD 是直径，∠BCD 是BD 所对的圆周角， ∴∠BCD ＝90°， ∴BD ＝2BC ＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
+÷=15.5岁，
∴中位数为(1516)2
故选：C．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】
2890
x x
++=，
289
x x
+=-，
222
8494
x x
++=-+，
所以()247
x+=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．
【详解】
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得
△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得
△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加AD AB
AE AC
=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形
相似，故此选项不合题意；
D、添加AC BC
AE DE
=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，
连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，
∵22
4225
AC BC=+=
=，BC＝22，AD＝2232
AC CD
+=，
∵S△ABC＝1
2
AB•CE＝
1
2
BC•AD，
∴CE＝
223265
5
25
BC AD
AB
⨯
==，
∴
65
3
5
5
25
CE
A
sin CAB
C
∠==
＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．A
解析：A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=1
2
∠AOB=30°
故选A．
13．C
解析：C
【分析】
根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】
tan A ＝BC AC ＝13
，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得
AB x ，
sin A ＝BC AB 故选：C ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．
14．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出
=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．
【详解】
解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，
∴△DEF ∽△BCF ， ∴=DE EF BC FC
， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=
12AD ， ∴12
EF FC =． 故选D ．
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据抛物线与二次函数2
3y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．
∵抛物线与二次函数2
3y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-
∵顶点坐标为(1,3)-
∴抛物线的表达式为2
3(1)3y x =-++
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 二、填空题
16．3
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可求出∠AOB 的度数，设扇形半径为x ，从而列出关于x 的方程，求出答案.
【详解】
由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为x ，
故阴
解析：3
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可求出∠AOB 的度数，设扇形半径为x ，从而列出关于x 的方程，求出答案.
【详解】
由题意可知：∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°，
设扇形半径为x ，
故阴影部分的面积为πx 2×80360
＝29×πx 2＝2π， 故解得：x 1＝3，x 2＝－3（不合题意，舍去），
故答案为3.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x 的方程，从而得到答案.
17．20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B 的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A ＝50°，∠C ＝110°，
∴∠B ＝180°﹣50°﹣110°＝20°
解析：20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B 的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A ＝50°，∠C ＝110°，
∴∠B ＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B ＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，它们对应面积的比等于相似比的平方.
18．【解析】
【分析】
直接利用弧长公式进行计算．
【详解】
解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53
π 【解析】
【分析】 直接利用弧长公式180n R l π=
进行计算． 【详解】 解：由题意得：605180l π==53
π, 故答案是：
53π 【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．
19．【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=
解析：171
+
【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴DP=22
+=17,
41
∴FE’=171+,
+
故答案是：171
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
20．8
【解析】
【分析】
根据平均数是5，求m值，再根据方差公式计算，方差公式为：（表示样本的平均数，n表示样本数据的个数，S2表示方差.）
【详解】
解：∵4，4，，6，6的平均数是5，
∴4+4
解析：8
【解析】
【分析】
根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为：
2222121n S x x x x x x n （x 表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S 2表示方差.）
【详解】
解：∵4，4，m ，6，6的平均数是5，
∴4+4+m+6+6=5×5,
∴m=5,
∴这组数据为4，4，m ，6，6，
∴22222214545556565=0.85S ，
即这组数据的方差是0.8.
故答案为：0.8.
【点睛】
本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.
21．－1＜x ＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，
故答案为：－1＜x ＜3.
【点睛
解析：－1＜x ＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，
故答案为：－1＜x ＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
22．、 、
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝
解析：8
3
、
10
3
、
5
4
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB=22
34
+=5
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴BE BD
BC AB
=，即：
51
53
x x
-+
=，
解得x=5
4
，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴BD BE
BC AB
=，即：
51
35
x x
-+
=，
解得：x=11 4
，
BE=15
4
>BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴AD AE
AB AC
=，即
6
54
x x
-
=，
解得：x=10
3
，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴AD AE
AC AB
=，即：
6
45
x x
-
=，
解得：x=8
3
，
综上：AD的长为8
3
、
10
3
、
5
4
.
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.
23．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠
解析：2
m
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.
24．【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】
解：如图，连接D
解析：4 5
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】
解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF
∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴AD AE DE BF BD DF
,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,
∵AD AE DE BF BD DF
,
∴AD AE DE DE BF BD DF DF
∴
3
23
x x DE x x DF
∴
4
5 DE
DF
,
∴
4
5 CE
CF
.
故答案为：4 5 .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
25．3
【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中
解析：3
【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
26．.
【解析】
【分析】
根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案. 【详解】
平均数等于总和除以个数，所以平均数.
【点睛】
本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的
解析：mx ny m n
+
+
.
【解析】
【分析】
根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】
平均数等于总和除以个数，所以平均数
mx ny
m n
+
=
+
.
【点睛】
本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法.
27．y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．28．①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛
解析：①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；
④m＝﹣3，结论错误，
∴其中，正确的有. ①③
故答案为：①③
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
29．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
30．2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则
解析：2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm
以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，
①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，
352
x x =-， 解得x ＝2或3．
②当AD ：BC ＝PA +PB 时，3=25x x
-，解得x ＝3， ∴当A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，AP 的值为2或3． 故答案为2或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
三、解答题
31．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P
【解析】
【分析】
（1）将M,N 两点代入2
y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；
（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.
（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标.
【详解】
解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2y x bx c =-++中得，
3425c b c =⎧⎨--+=-⎩ ， 解得，23b c =⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的函数关系式为2y x 2x 3=-++；
（2）如图，当y=0时，2230x x -++=，
∴x 1=3,x 2= -1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S △ABM =
14362
⨯⨯= . 即ABM ∆的面积是6.
（3）如图，抛物线的对称轴为直线2122
b
x a ， 点()0,3M 关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),
∴PM=PG,
连MG 交抛物线对称轴于点P ，此时NP+PM=NP+PG 最小，即MNP ∆周长最短.
设直线NG 的表达式为y=mx+n,
将N(-2,-5),G(2,3)代入得，
2523m n m n -+=-⎧⎨+=⎩
， 解得，21m n =⎧⎨=-⎩
， ∴y=2m-1,
∴P 点坐标为(1,1).
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.
32．（1）见解析；（2）1 2
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC∽△EBC；
（2）依据△DAC∽△EBC所得条件，证明△ABC与△DEC相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.
【详解】
（1）证明：∵△EBC是等腰直角三角形
∴BC＝BE，∠EBC＝90°
∴∠BEC＝∠BCE＝45°．
同理∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°
∴∠EBC＝∠DAC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝45°．
∴△DAC∽△EBC．
（2）解：∵在Rt△ACD中， AC2＋AD2＝CD2，
∴2AC2＝CD2
∴
2
2 AC
CD
,
∵△DAC∽△EBC
∴AC
BC
＝
DC
EC
，
∴EC
BC
＝
DC
AC
，
∵∠BCE＝∠ACD
∴∠BCE －∠ACE ＝∠ACD －∠ACE ，即∠BCA ＝∠ECD ，
∵在△DEC 和△ABC 中，
EC BC ＝DC AC
，∠BCA ＝∠ECD ， ∴△DEC ∽△ABC ， ∴S △ABC :S △DEC ＝2
DC AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.
33．（1）(60x)+，(80020)x -；（2）（60＋x−50）（800−20x ）＝12000，70，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；
（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．
【详解】
（1）设这种衬衫应提价x 元，则这种衬衫的销售价为（60＋x ）元，
销售量为（800−
1005
x ）＝（800−20x ）件． 故答案为（60＋x ）;（800−20x ）．
（2）根据（1）得：
（60＋x−50）（800−20x ）＝12000
整理，得x 2−30x ＋200＝0
解得：x 1＝10，x 2＝20．
为使顾客获得更多的优惠，
所以x ＝10，60＋x ＝70． 答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．
34．（1）见解析；（2）
145
【解析】
【分析】
（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE ＝∠C ，根据等角的补角相等可得出∠ADE ＝∠AFB ，根据AB ∥CD 可得出∠BAF ＝∠AED ，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系，有了AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，这样就能求出BF 的长了．
【详解】
（1）证明：在平行四边形ABCD 中，
∵∠D ＋∠C ＝180°，AB ∥CD ，
∴∠BAF ＝∠AED ．
∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，
∴∠AFB ＝∠D ，
∴△ABF ∽△EAD ．
（2）解：∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，
∴BE ⊥AB ．
∴∠ABE ＝90°．
∴5AE ===．
∵△ABF ∽△EAD ，
BF AB AD EA
∴=， 4752
BF ∴=．
145
BF ∴=． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
35．（1）见详解；（2）
45 【解析】
【分析】
（1）根据两角相等的两个三角形相似，即可证明△ADE ∽△BFA ；
（2）利用三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答．
【详解】
（1）证明：∵BF ⊥AE 于点F ，四边形ABCD 为正方形，
∴△ADE 和△BFA 均为直角三角形，
∵DC ∥AB ，
∴∠DEA=∠FAB ，
∴△ADE ∽△BFA ；
（2）解：∵AD=2，E 为CD 的中点，
∴DE=1，
∴
，
∴AE AB =， ∵△ADE ∽△BFA ，。