2022-2023高三上期中 通州 答案

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （11）(1,0)
(0,)-+∞ （12）2
,1x x x ∃∈+<R （13）6-
（
14）0 （15）(1,)e ；e （16）②③④ 说明：（15）题两空前3后2；（16）题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。

三、解答题（共6小题，共80分） （17）（本小题12分） 解：（Ⅰ）()sin 22f x x x =
π
2sin(2)
3
x =- . …………………………………………4分
所以函数()f x 的最小正周期为π. …………………………………………6分 （Ⅱ）因为π
[0,]2
x ∈，
所以ππ2π
2[,]333x -∈-，于是
当ππ
233
x -=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值 当ππ232x -
=，即5π
12
x =
时，函数()f x 取得最大值2. ………………………………12分
（18）（本小题12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a c
A C
=
得， 75
π
sin sin 4
A =， 所以sin 10
A =
…………………………………………4分 （Ⅱ）由余弦定理2
2
2
2cos c a b ab C =+-得
2225727b b =+-⨯
解得b =b =
因为5b c =<=与已知b c >矛盾，
所以b =所以1
sin 142
S ab C ==. …………………………………………12分
（法2）也可以由sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ 当A 为锐角时，4sin 5
B =
当A 为钝角时，3sin sin 52
B C =<=，与已知b c >矛盾 所以4sin 5
B =
所以1
sin 142
S ac B ==.
（19）（本小题13分） 解：选择条件①，条件②
（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 因为126a a +=，12a =，所以24a =，2
1
2a q a =
=. 所以2n
n a =. …………………………………………4分
因为1342b a b +=，所以有2813d +=+，解得3d =
所以32n b n =-. …………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n
n a = ，32n b =n - .
所以322n n n a c b ==⨯-. …………………………………………10分
从而数列
{}n c 的前n 项和1233(2222)2n n
S
n =⨯++++-
2(12)
3212
n n ⨯-=⨯
-- 622 6.n n =⨯-- …………………………………………13分
选择条件①，条件③
（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，
因为126a a +=，12a =，所以24a =，2
1
2a q a =
=. 所以2n
n a =. …………………………………………4分
因为12323b b b a ++=，所以有14b d +=，解得3d =.
所以32n b n =-. …………………………………………8分
（Ⅱ）解法同上
选择条件②，条件③
（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 于是有
22213,336q d d q ⎧+=+⎨+=⎩，
解得2,
3q d =⎧⎨=⎩.
所以2n
n a =，32n b n =- . …………………………………………8分
（Ⅱ）解法同上
（20）（本小题14分）
解：（Ⅰ）当1a =时，1
()ln 1f x x x
=+
-，(1)0f =. 211
()f x x x
'=
-，(1)0f '=. 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =.……………………………………4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………………………………………5分 221()a x a
f x x x x
-'=
-=. 令()0f x '=，解得x a =
当a ≤0时，有()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a >时，函数()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减.
所以a ≤0时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；0a >时函数()f x 单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a . …………………………………………10分 （Ⅲ）ln ln s t ->
s t
s
-. …………………………………………14分
（21）（本小题14分） 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .
()(sin cos )x f x x x '=+e . …………………………………………1分
令()(sin cos )0x f x x x '=+>e 解得π3π2π2π44
k x k -
<<+ 所以函数()f x 的单调递增区间为π3π
(2π,2π)Z 44k k k -+∈.………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）()e (sin cos )x g x x x =+，
曲线()y g x =与直线2y x =在区间(0,π)上交点的个数等价于()2g x x =的根个数.
…………………………………………5分 于是有e (sin cos )2x x x x +=. 即e (sin cos )20x x x x +-=
设()e (sin cos )2x F x x x x =+-. ()2e cos 22(e cos 1)x x F x x x '=-=-.
设()e cos 1x H x x =-.
π
()e (cos sin )cos()4x x H x x x x '=-=+.
此时，x ，()H x '，()H x 变化情况如下：
于是有(0)0H =，π
()(0)04
H H >=，π(π)e 10H =--<.
由零点存在定理可知()e cos 1x H x x =-在(0,π)存在唯一零点. ………………………11分 设()e cos 1x H x x =-零点为0x ，则有()F x 在0(,π)x x ∈上单调递减，在0(0,)x 单调递增. 因为(0)1F =，0()(0)1F x F >=，π(π)e 2π<0F =--.
所以()F x 在(0,π)上存在唯一零点，
即曲线()y g x =与直线2y x =在区间(0,π)上交点的个数为1. ………………………14分
（22）（本小题15分） 解：（Ⅰ）{}n b 与{}n a “接近”
因为102()3n <⨯2≤3，1
10()2n -<≤1，
又因为112()23()1
13()2
n
n n -⨯=<
所以有1
1112()()032
n n --<⨯-<
所以1
112()()132
n n -⨯-+≤1
所以{}n b 与{}n a “接近”. …………………………………………4分 （Ⅱ）假设12d d ≠,不妨设12d d <， 则2111(1)()n n b a n d d b a -=--+- 令2111(1)()1n d d b a --+-=， 则11
21
11a b n d d +-=+-.
当
11
21
10a b d d +--+1≤时，令0N =，当n N >时有2111(1)()1n n b a n d d b a -=--+->.
此时{}n b 与{}n a 不“接近”.
当
1121110a b d d +-+>-时，令112111a b N d d ⎡⎤
+-=+⎢⎥-⎣⎦
，当n N >时有2111(1)()1n n b a n d d b a -=--+->
此时{}n b 与{}n a 不“接近”.
同理得12d d >时，{}n b 与{}n a 不“接近”. 综上12d d ≠，{}n b 与{}n a 不“接近” 与{}n b 与{}n a “接近”矛盾， 所以有12d d =
所以“1d =2d ”是“{}n b 与{}n a “接近””的必要条件.…………………………………9分
（Ⅲ）因为{}n a 是公差为d 的等差数列， 所以1(1)n a a n d =+-.
若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a “接近”， 则N n *∀∈，都有n n b a -≤1. 即n n b a --1≤≤1. 即1n n n a b a +-1≤≤. 则112n n n n b b a a ---+-≤ 即12n n b b d --+≤
当2d -≤时，N n *∀∈，都有120n n b b d --+≤≤ 与21b b -，32b b -，43b b -，
，201200b b -中至少有100个正数矛盾.
当0d =时，可取1()2
n n n b a =-
则n
n n b a -1=()2
1<，且21b b -，32b b -，43b b -，
，201200b b -均为正数,符合题意.
当0d >时，可取12
n n b a =+ 则1
12
n n b a -=
<，且21b b -，32b b -，43b b -，，201200b b -均为正数,符合题意.
当20d -<<时，可取(1)n n n b a =+-
则1n n b a -=，221221220n n n n b b a a d ---=-+=+> 即21b b -，32b b -，43b b -，
，201200b b -中有100个正数.
综上所述d 的取值范围是(2,)-+∞. …………………………………………15分。