连续时间信号与系统的频域分析报告

例1
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频 率分量是___C___。 f (t)
1
0
T 2
T
t
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流偶函数：只含余弦项；
半周重叠：
(B) 正弦项的奇次谐波，无直流 只含偶次谐波和直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流
(D) 正弦项的偶次谐波，直流。
例2
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的 频率分量是__B____。
表明信过号程延都时是了在t0 频秒谱并搬不移会的改基变础其上频完谱成的的幅。度，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性：f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以e j0 t ，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为：cos0 t
1 2
(e
j0 t
e j0 t
)
sin 0 t
2
Y ( j) H ( j)F ( j)
输出频谱；y(t)
1
2
Y ( j )e jt d
输出原函数。以上就是傅里叶分析的基本思想。
几个基本函数的傅里叶变换
【例 1】冲激函数
F ( j ) (t) e jtdt 1
(t) 1 (t t0 ) e jt0
(t)
(1)
0
幅值减小一倍
2
0
第一个过零点增加一倍
周期T不变，脉冲宽度变化 ③
情况
3：
T, 16
Fn
T
Sa( n
T
)
1 16
Sa( n
16
)，
第一个过零点为
n
=16
。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 16
0
幅值再减小一倍
2
第一个过零点再增加一倍
结论
由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大，
f (t) 1
0
T 2
T
t
-1
奇函数：只含正弦项；
半周镜象对称：
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 只含奇次谐波
(B) 正弦项的奇次谐波，无直流
(C) 余弦项的偶次谐波，直流
例3
已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图 所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。
f (t)是t的偶函数，
f (t)
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱 信号的功率谱和能量谱 周期信号激励下的稳态响应 非周期信号激励下的零状态响应 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 信号的调制与解调 频分复用和时分复用 信号无失真传输的条件
§1 傅里叶级数
傅里叶级数的三角函数形式：
周期信号可分解为
即
2
，
f 1
称为信号的带宽， 确定了带宽。
由大变小，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2 不变
T
。
脉冲宽度不变, 周期T变化 ①
情况 1： T 4 时，谱线间隔 2 ， 第一个过零点 2 。
T 2
f (t)
1
谱线间隔 2
T 2
T
2
0
2
T
1 Fn
f (t)
1 2
Ane
n
jnt
Fne jnt
n
Fn
1 2
A n
称为复傅里叶系数。
表明任意周期信号可以表示成 e jnt 的线性组合，加权因 子为 Fn 。
傅里叶系数间的关系
傅里叶系数：
an
2 T
T
2 f (t) cos ntdt
T 2
n 0, 1, 2,
2
bn T
T
2 f (t) sin ntdt
jne jn t
即有 f (t) ( jn)Fn 以此类推 f (k) (t) ( jn)k Fn
对称特性： 若 f (t) Fn ，则 f (t) Fn
§3 非周期信号的频谱
对非周期信号，其频谱就是信号的傅里叶变换
F (
j )
lim
T
FnT
f (t) e j t dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
T 2
n 1, 2,
An an2 bn2 复傅里叶系数。
n
arctg
bn an
An
bn
n
an
Fn

1 2
An
1 2
Ane jn
1 2
(
An
cos n
jAn
sinn )
1 2
(an
jbn )
1
T 2
f (t) cos ntdt
j
1
T
2 f (t) sin ntdt
T
T 2
T
T 2
1
T 2
1 T
Fn
f (x)e
jn
( x
)dx
1 T
e
jn
f (x)e jn xdx Fne jn
微分特性：若 f (t) Fn ，则 f (k) (t) ( jn)k Fn
证：f (t) Fne jnt ，则
n
f
(t)
d dt
Fne jn t
n
n
d dt
Fne jn t
Fn
n
当周期Ｔ增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相 应的渐趋减小。当 T 时，频谱线无限密集，频谱幅 度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。
周期信号频谱的性质
时移特性：
若
f
(t)
Fn
，则
f (t )
Fn e jn
Fn
1 T
证：设
f (t )e
f (t )
jn tdt
f (t)
1
2
0
2
1 Fn
4
T
t
第一个过零点：
Sa
(
2
)
0
2
2 4
2
0
Fn 在 n 有值，称为谱线；
周期T不变，脉冲宽度变化 ②
情况
2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
，
第一个过零点为
n
=8
。
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 8
4
t
幅值:
F0
T
Sa(0)
1 4
0
2
第一个过零点
脉冲宽度不变, 周期T变化 ②
情况 2： T 8 时，谱线间隔 2 ， 第一个过零点 2 。
T 4
周期T扩展一倍
T
谱线间隔减小一倍
ff ((tt))
11
T
22
00
22
T
1 4
FFnn
1
8
T
t
t
幅值减小一倍
0
22
第一个过零点不变
脉冲宽度不变, 周期T变化 ③
义，即不连续，故称为离散频谱。
周期矩形脉冲的频谱
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
Fn
1 T
2
e jn t dt
1 e jn t
2
2
sin
n 2
sin
n 2
2
T jn T n 2
T
n 2
n 0, 1, 2,
令 Sa(x) sin x 称为抽样函数，为偶函数。当 x 0 时Sa(0) 1 ，
n)
A0 a0
An
an2 bn2
是 n 的偶函数； n
arctg bn an
是 n 的奇函数
因此，周期信号可以分解为各次谐波之和。
傅里叶级数的指数形式
cos x e jx e jx 2
f
(t)
A0 2
n1
An
cos(n t
n)
f (t)
A0 2
n1
An [e j(n tn ) 2
2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四2021年11月25日星期四脉冲调制pulsemodulation由调制信号去控制一个脉冲序列的脉冲幅度脉冲宽度或脉冲位置等参数中的一个或者去控制脉冲编码的组合形成已调制的脉冲序列
二十一个常用信号 的傅里叶变换
四个基本信号 的傅里叶变换
利用傅里叶 变换的性质
利用已知 信号推广
求信号的傅里叶变换是一个难点, 也是进入变换域分析的第一个积分变换!
§4 傅里叶变换的性质
线时性移得特特到性广性泛：：频应af谱1(用ft1搬(t，)t移0如)a技2调f术2e幅(t在)j、t通0 F同a信(1步jF系1(解)j统调)中、a变2 F2频( j等)
tdtIm[1 j1
e t0e j
j t
0
【Im例[4】1符j号] 函数2 sgn2(t)
1 1
t0 t0
F(
sin
j) R()
tdt lim
jeX(t s)in
tdt
0
sgn(t) 1
t
0 R() f 0(t)0cos tdt
limX0
(2)2
1
f (t
)
sin
tdt
0
t
1 2j
(e j0 t
e j0 t
)
f
(t) cos0 t
1 {F[ 2
j(
0 )]
F[
j(
0 )]}
f
(t) sin 0 t
j {F[ 2
j(
0 )]
F[
j(
0 )]}
§4 傅里叶变换的性质
x
频谱为：
Fn
T
Sa( n 2
)
n 0, 1, 2,
其中： 2
T
为基波频率，Fn 在 n
有值，称为谱线；
Sa(
2
)
为包络线，
2
m
即 2m
处为零。
周期T不变，脉冲宽度变化 ①
情况
1：
T 4
,
Fn
T
Sa( n )
T
1 Sa( n
44
)，
第一个过零点为 n
=4 。
T
谱线间隔 2
T
T
2 f (t) cos n t dt
0
只含常数和余弦项。
原点对称（奇函数）f (t) f (t)
f (t) cos nt 为奇函数； f (t)sin nt 为偶函数；
an 0,
bn
4 T
T
2 f (t) sin n t dt
0
只含正弦项。
半周镜象对称（奇谐函数） f (t T ) f (t) 2 f (t) 无偶次谐波，只有奇次谐波。
e j(n tn ) ]
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jn t
1 2
n1
Ane jn e jn t
An An 偶函数； n n 奇函数
f (t)
A0 2
1 2
An e jn e jnt
n1
1 2
An e jn e
n1
jnt
1 2
An e
n
j n
e
jnt
令：An Ane jn
t
【例 2】门函数
F ( j)
2
e
j
t dt
Sa(
)
2
2
G (t)
1
F ( j)
2
0
2
t
2
0
F( j)
1
0
几个基本函数的傅里叶变换
【 e例t 3si】n 单td边t 指数Im函[e数te jt ]dt
0
0
et (t)
1
F( j)
1
F(Imj[)
0
e
( e
0
j
t)et dtj]
f (t)[cos nt
j sin nt]dt
1
T
2 f (t) e jn t dt
n 0, 1, 2,
T
T 2
T
T 2
周期信号的对称性与傅里叶系数的关系
纵轴对称（偶函数）f (t) f (t)
f (t) cos n t 为偶函数； f (t)sin nt 为奇函数；
bn 0,
4 an T
T 时，谱线间隔 0 ，这时：
周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱
周期信号频谱的特点
离散性：
频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故 称为离散频谱。
谐波性：
频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。
收敛性：
各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐 减小。
离散频谱与连续频谱
T 2
T
t
周期信号的对称性与傅里叶系数的关系
半周重迭（偶谐函数）
f (t)
T 2
T
t
f (t T ) f (t) 2
无奇次谐波，只有直
流(常数)和偶次谐波。
根据周期信号的对称性与傅里叶系数的 关系，可使求解傅里叶系数的计算量大 大减少；也可以确定信号所含的频率分 量的类别；对绘波形图也有作用。
号 e j t ，它包括了一切频率，且各分量的幅值 F( j)d 无穷
小。这样系统的输入和输出的关系为：
2
F ( j)d e j t
2
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
线性非时 变系统 (零状态)
F( j)d H ( j )e j t
2
y(t) 1 F ( j )H ( j )e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j)=F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F 1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
傅里叶变换的解释
f (t) 1 F ( j )e jtd lim 1 F ( jn) e jnt
2
2 0 n
任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信