广东省汕头市潮阳区2020_2021学年高一数学上学期期末考试试题(含答案)

广东省汕头市潮阳区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题
本试题满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：
1.答题前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1.集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5,6},则A ∩B 等于 ( ) A.{1,2,3,4,5,6} B.{3,4} C. {3} D.{4}
2.7sin 6
π
= ( )
B. C. 1
2
D. 12- 3.函数()()
ln 15x f x =-的定义域是 ( ) A. (),0-∞ B. ()0,1 C. (),1-∞ D. ()0,+∞
4.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-，
，，
，2)1(log 22)(2
31
x x x e x f x 则f (f (2))的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.已知f (x )，g (x )均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f (x )＝g (x ) 有实数解的区间是 ( )
A ．(－1，0)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(2，3)
6. 1.1log 0.9a =, 1.3
1.1b =, sin1c =, 则a 、b 、c 的大小关系为 ( )
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．a b c <<
D ． a c b <<
7.关于π
()3cos(2),R 6
f x x x =-∈，下列叙述正确的是 ( ) A.若12()()3==f x f x ，则12-x x 是2π的整数倍；
B.函数()f x 的图象关于点π
(,0)6-对称； C.函数()f x 的图象关于直线π
6
x =对称 ；
D.函数()f x 在区间π
(0,)4
上为增函数。

8.已知函数2
2
0,,96log )(2
2>≤<⎩⎨
⎧+-=x x x x x x f ，若正实数d c b a ,,,互不相等，且)()()()(d f c f b f a f ===，则abcd 的取值范围为 ( )
A. (8,9)
B. [8,9)
C. (6,9)
D. [6,9)
二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.已知集合A=}20{<<x x ，集合B=}0{≤x x ,则下列关系正确的是 ( ) A. A ∈1 B. B A ⊆ C.⊆A (∁U B) D. =B A }2{<x x 10.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ，2上单调递减的是 ( ) A. |sin |x y = B. x y cos = C.x y tan -= D. 2
sin
x
y = 11.下列说法中正确的是 ( )
A. 命题2
000",0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-<”
B. “1>x ”是“0322>-+x x ”的充分不必要条件
C. “2
2bc ac >”的必要不充分条件是“b a >”
D. 函数4sin 0,)sin 2y x x x π⎛⎤
=+
∈ ⎥⎝⎦
（的最小值为4 12.[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是 ( )
A. []15.0-=-
B.[]12 ]0,(=-∞∈∀x
x ，
C. 231log 2-=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡ D. [][][][]857243log 3log 2log 1log 3333=++++
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

13.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为__ _____cm 。

14.若不等式2510ax x ++≤的解集为11|23x x ⎧
⎫
-≤≤-⎨⎬⎩
⎭，则不等式
13
x a x -≤-的 解集为 。

15.函数()f x 在R 上单调递增，且为奇函数，若(2)1f =，则满足1(2)1f x -≤+≤的x 取值范围为 。

16.函数a
x x x a ax x f 4
1)1ln()(222++++++=，若)(x f 最大值为M ，最小值为N ，]3,1[∈a ， 则M+N 的取值范围是 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
(1) 已知0<α<，sin a ＝4
5
，求tan a 的值；
(2) 若4tan =α，求sin()2cos()
2sin()cos()
π
απααπα+-+--++的值。

18.(本小题满分12分) 函数f (x )＝
ax ＋b
1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且1()2f ＝25。

(1) 确定函数f (x )的解析式；
(2) 用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数。

19.(本小题满分12分)
已知函数()()()log 32,()log 32,(0,a a f x x g x x a =+=->且)1≠a 。

(1) 判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明；
(2) 求使0)()(>-x g x f 的x 的取值范围。

20.(本小题满分12分)
若二次函数2
()(0),f x ax bx c a =++≠满足(1)()2,f x f x x +-=且(0)1f =。

(1) 求()f x 的解析式；
(2) 若在区间[]1,2-上，不等式()2f x x m <+恒成立，求实数m 的取值范围。

21.(本小题满分12分)
某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x 万件，需另投入成本为()C x 。

当
年产量不足90万件时，()2
1103
C x x x =+(万元)；当年产量不小于90万件时，()10000
511300C x x x
=+
-(万元)。

通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内 生产的商品能全部售完。

（利润=销售收入-总成本） (1) 写出年利润L (万元)关于年产量
x (万件)的函数解析式；
(2) 年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
22.(本小题满分12分)
设a 为实数，函数)1()()(2++-+-=a a a x a x x f 。

(1)若6)(≤a f ，求a 的取值范围； (2)讨论)(x f 的单调性；
(3)是否存在a 满足：[]d c x f ,)(在上的值域为[]d c ,。

若存在，求a 的取值范围； 若不存在说明理由。

13.640π+ 14.{}|3x x > 15.[-4,0] 16.[8,10]
16. 解析：)(4
1)1ln(441)1ln()(2
2222x g a a x x x a a a x x x a ax x f ++=+++++=++++++= ]10,8[)4
(2)()(0)()()(min max min max ∈+=+∴=+∴a
a x f x f x g x g x g 为奇函数，又
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
分）
（分）（解：3535412cos 1cos ,5
4
sin ,2
0)1(17.2
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-=∴=
<
<αααπα
分）（分）（53
4
4cos sin tan ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∴α
α
α
分）（分）
化简正确一个给分）（其中—（—原式103
41tan tan cos sin sin 1)cos(),2cos(),sin(8cos sin sin 2sin )2(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-=-=+++-+-=
ααααααπαπ
πααααα
18．（本题满分12分）
解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
f (0)＝0，f (12)＝2
5
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
b
1＋02
＝0，a 2＋b
1＋14
＝2
5，……………………………………（2
分）
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0，∴f (x )＝
x
1＋x
2
……………………………………………………………（4分）
(2)证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 2
2)
（8分） ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,1＋x 2
1＞0,1＋x 2
2＞0，…………………………………（9分） 由－1＜x 1＜x 2＜1知，－1＜x 1x 2＜1，∴1－x 1x 2＞0. …………………………………（10分） ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴f (x )在(－1,1)上单调递增。

……………………………………（12分） 19．（本题满分12分）
解：320
(1)()(),:320
x f x g x x +>⎧-⎨
->⎩使函数有意义必须有 解得:3322x -<<
所以函数)()(x g x f -的定义域是3
32
2x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩
⎭
．……………………………………（2分）
所以函数)()(x g x f -的定义域关于原点对称．………………………………………（3分）
[][]
()()log (32)log (32)
log (32)log (32)()()a a a a f x g x x x x x f x g x ---=--+=-+--=--………………………（5
分）
∴函数)()(x g x f -是奇函数………………………………………………………………（6分）
(2)使)()(x g x f ->0,即log (32)log (32)a a x x +>-………………………………………（7分）
当1>a 时, 有3232320320
x x
x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩ 解得x 的取值范围是30,2⎛⎫
⎪⎝⎭………………………（9分）
当10<<a 时, 有3232320320
x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩
解得x 的取值范围是3,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭…………………（11分）
综上所述：当1>a 时x 的取值范围是30,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
当10<<a 时x 的取值范围是3,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
……………………………………（12分） 20.（本题满分12分）
解： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1……………………………………………（1分） 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ………………………（2分） 即2ax ＋a ＋b ＝2x ………………………………………………………………………………（4分）
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，a ＋b ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1.
∴f (x )＝x 2－x ＋1………………………………………………（6分）
(2) 不等式f (x )<2x ＋m 等价于x 2
－3x ＋1<m ……………………………………………………（7分）
即m>( x 2－3x ＋1)max …………………………………………………………………………（9分） 函数g(x)=x 2－3x ＋1在[－1,2]上的最大值为g(-1)=5……………………………………（11分）
∴m>5……………………………………………………………………………………………(12分)
21.（本题满分12分） 解：(1)当0≤x ＜90，x ∈N *时，
L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2
－10x －300＝－1
3x 2＋40x －300………………………………………（2分） 当x ≥90，x ∈N *
时，
L (x )＝
500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1300－300＝1000－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋10 000x ………………………（4分）
∴L (x )＝2140300,090,3
100001000(),90,,
x x x x N x x x N x ++⎧-+-≤<∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩
……………………………………………（6分）
(2)当0≤ x ＜90，x ∈N *
时，L (x )＝－1
3(x －60)2＋900，
∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝900(万元)…………………………………………（8分） 当x ≥90，x ∈N *
时，
80010000
*21000)10000(1000)(=-≤+
-=x
x x x x L 时等号成立
，即当且仅当10010000
==x x x 即x ＝100时，L (x )取得最大值800万元…………………………………………………（11分） ∴即生产量为60万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万元…………（12分） 22.解：（1）)1()(+=a a a f …………………………………………………………………（1分） 23066)1(2
≤≤-≤-+≤+∴a a a a a ，解得，即………………………………（3分）
（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<+++-≥+--=a
x a a x a x a
x a x a x x f ,22)12(,212)(222
2……………………………………………………（5分）
对于()x a x u 122
1--=，其对称轴为a a a x <-=-=
2
1
212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；……………………………………………………………（6分） 对于()a x a x u 2122
2++-=，其对称轴为a a a x >+=+=
2
1
212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.………………………………………………………………（7分） 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减…………………………………（8分） （3）由（2）得2
min )()(a a a f x f +==………………………………………………………（9分） 又[]d c x f ,)(在上的值域为[]d c ,，则a a a c ≥+≥2…………………………………………（10分）
）上单调递增在（又+∞,)(a x f [)上有两个不等实数根在即+∞=⎩⎨
⎧==∴,)()()(a x x f d
d f c
c f
[)上有两个不等实数根在即+∞=+--,2)12(22a x a x a x
[)上有两个不等实数根在即+∞=+-,02222a a ax x …………………………………………（11
分）
[)的实根
上不可能存在两个不等在，所以对称轴为令+∞∈=+-=,)(22)(22a x x g a x a ax x x g
∴不存在a 满足[]d c x f ,)(在上的值域为[]d c ,………………………………………………（12分）。