高三数学 第二次模拟突破冲刺数学试题七 文 试题

10所重点中学2021届高三数学 第二次模拟打破冲刺数学试题〔七〕
文
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．第一卷1至2页，第二卷3至4页．满分是150分，考试时间是是120分钟．
第一卷
一.选择题(本大题10个小题,每一小题5分,一共50分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项符合要求)
1．复数1z i =+，那么3
z 的虚部为( )
i
B. 2i -
C.2
D. 2-
2．设,A B 为非空集合,定义集合A*B 为如图阴影．．局部表示的集合， 假设2
{|2},A x y x x ==-{|3,0},x
B y y x ==>那么A*B=( )
A ．〔0，2〕
B ．[][)0,12,⋃+∞
C ．〔1,2]
D ．[]()0,12,⋃+∞
3．cos ,0()(1)1,0
x x f x f x x π≤⎧=⎨
-+>⎩，那么11
()()33f f +-的值是( )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
4．假设(0,)2
πα∈，且21
sin cos 24
αα+=，那么tan α=( )
A 2
B 3235．观察以下各式：
22255-
=，33331010-=，44
441717
-=，…．假设9m m
n n
-
=n m -=( ) A.43 B ．57 C ．73 D ．91
6．一次考试某简答题满分是5分，以5.0分为给分区间．这次考试有100人 参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按]5,4(,],2,1(],1,0( 分 组所得的频率分布直方图如下图．设其众数、中位数、平均分最大的可 能值分别为x m m c ,,0，那么( ) A. x
m m c >>0 B. x m m c <<0
C. x m m c <<0
D. c m x m <<0 7. 给定以下命题
①过点(3,3)且与圆22(1)4x y -+=相切的直线方程为512210x y -+=.
②在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为
12
③1x <是不等式2320x x -+>成立的一个充分不必要条件. ④“存在实数x 使1sin 22x >
〞的否认是“存在实数x 使1
sin 22
x ≤〞. 其中真命题的个数为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9.椭圆()22
2210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点，假设AF BF ⊥，
设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，那么该椭圆离心率的取值范围为( )
A ．2⎫⎪⎪⎣⎭
B ．26⎣⎦
C ．6⎫⎪⎪⎣⎭
D ．23⎣⎦
第二卷
二.填空题(本大题5个小题,每一小题5分,一共25分,把答案填在题中横线上) 11. 不等式x x <-≤|2|1的解集为 ． 12. 两个单位向量12,e e 的夹角为3
π，假设向量1122b e e =-，2121232,b e e b b =+⋅则= . 13. 曲线x e
x
y =
在0=x 处的切线方程为 ． 14. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,3a 、7a 是方程22120x x c -+=的两根,且13S c =,那么
数列{}n a 的公差为__________.
15. 执行如以下图所示的程序框图，假设输出的结果是8，那么判断框内m 的取值范围是
三.解答题(本大题6个小题,一共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 16. (本小题满分是12分) 函数()sin()4
f x A x π
ω=+〔其中x ∈R ，0A >，0ω>〕的
最大值为2，最小正周期为8.
〔1〕求函数()f x 的解析式；
〔2〕假设函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos POQ ∠的值.
17. (本小题满分是12分)
}{n a 是单调递增的等差数列，首项
31=a ，前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，首项.20,12,123221=+==b S b a b 且
〔1〕求{}n a 和{}n b 的通项公式.
〔2〕设1(1)(1)
n n n n b c b b +=++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：1
2n T <．
18. (本小题满分是12分) 集合{1,1,2}M =-,{1,1,2}N =-,{1,1,2}P =-.从集合
,,M N P 中各取一个元素分别记为,,a b c ，设方程C 为22
x y c a b
+
=． 〔1〕求方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线的概率. 〔2〕求方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率．
19. (本小题满分是12分) 如图,正三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是边长为2的正方
形,E 是1A B 的中点,F 在棱1CC 上.
(1)当112
C F CF =时,求三棱锥1F A BC -的体积.
(2)当点F 使得1A F BF +最小时,判断直线AE 与1A F 是否垂直,并证明结论.
20. (本小题满分是13分) 椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，
2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线2
2:4C x y =交于B C ,两点，
抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；
(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 假设存在，指出这样的点P 有几个〔不必求出点P 的坐标〕; 假设不存在，说明理由.
21. (本小题满分是14分) 函数1
()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ．〔1〕求函数()f x 的单调区
间；
〔2〕设函数()a
g x x =-.假设至少存在一个0[1,4]x ∈，使得00()()f x g x >成立，务实数a 的
取值范围．
y x
Q 1
P 1
P
O
2021届高三模拟试卷〔07〕数学(文)参考答案
(4)2sin 2sin 244f πππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭ ∴2),(4,2)P Q .
∴6,23,32OP PQ OQ ===∴2
2
2
222
632233
cos 23
2632
OP OQ PQ
POQ OP OQ
+-+-∠=
=
=
⨯. 解法
2
：
∵
(2)2sin 2cos 2
244f πππ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
，
(4)2sin 2sin 244f πππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭
∴2),(4,2)P Q .∴(2,2),(4,2)OP OQ ==.
∴3
cos cos ,632
OP OQ POQ OP OQ OP OQ
⋅∠=<>=
=
=⨯.
解法3:
∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭
∴(4,P Q . 作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥轴,垂足分别为1
1P Q ,,
∴112,OP OP PP ====
114OQ QQ ,==设
1
1POP QOQ ,αβ∠=∠=,
那
么
13333
sin ,cos ,sin ,cos ααββ=
===. ∴cos cos POQ ∠=(
)
cos cos sin sin αβαβαβ+=-=
17. (本小题满分是12分)
解：(1)设公差为d ，公比为q ，那么22(3)12a b d q =+=
322233(3)9320S b a b d q d q +=+=++=++= 311,113d q q d +==-
2(3)(11)332312d d d d +-=+-=,232210,(37)(3)0d d d d --=+-=，
{}n a 是单调递增的等差数列，0d >.
那么3,2d q ==,3(1)33n a n n =+-⨯=,1
2
n n b -=
〔2〕∵1(1)(1)n n n n b c b b +=++1
12(21)(21)n n n --=++1112121
n n
-=-++， ∴n T 1122311
111111
11121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111121n =
-++11221n =-+12
<. 18. (本小题满分是12分)
解：a b 、、c 所有可能的取法有：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2)-------，(1,1,1)--，
，
(2,2,1),(2,2,1),(2,2,2)-，一共27种，
〔1〕其中表示焦点在x 轴上的双曲线的有：(1,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(1,2,1),------
(1,1,2),(2,1,2)--一共6种，故方程C 表示焦点在x 轴的上双曲线的概率为：
162
279
P =
=； 〔2〕其中不表示椭圆也不表示双曲线的有：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),------- (1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),-(1,2,1),(2,1,1),(2,2,1),---(2,2,1),(2,2,2)一共11种，故
方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率为：211
27
P = 19. (本小题满分是12分)
解：(1)因为侧面11AAC C 是边长为2的正方形，12AC CC ∴==2BC ∴= 又11423
C F CF CF =∴=
11114343
22323F A BC A FBC V V --∴==⨯⨯⨯(2)解法1：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.连接EF AF 、 在1Rt A AB 中，12AA AB ==得2AE =在Rt AFC 中，2,1AC FC ==得5AF 在等腰1A FB 中，15A F BF ==得3EF 所以由2AE 5AF =3EF =得222AE EF AF +=有勾股定理知AE EF ⊥
1111
AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪
∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面 解法2：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.过点C 作CG AB ⊥交AB 于G ,连接
EF ，由FC EG 且FC EG =知四边形EGCF 为所以EF CG .在正三棱柱111ABC A B C -中知CG ⊥面1A AB ,而EF CG ，所以EF ⊥面1A AB .AE EF ∴⊥
1111
AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪
∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面 20. (本小题满分是13分)
(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为2
2
221x y a b +=()0a b >>,依题意: 22
2222231,
4.
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
解得: 22
16,
12.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为
2211612x y +=. 解法2：设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，根据椭圆的定义得
1228a AF AF =+=，即4a =， ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ∴ 椭圆1C 的方
程为
22
11612
x y +=. (2) 解法1：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()
23y k x =-+，
由()2234y k x x y ,,
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=.
设()()
1122B x y C x y ,,,,那么12124812x x k x x k ,+==-. 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=
-，即21112
1
2x y x x y -+=. ∵2
114
1x y =
， ∴211124x y x x =-.
同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2
22124
x y x x =
-. 由2
1
1222124
124
x y x x x y x x ,,
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
∴()
223P k k ,-. ∵1212PF PF AF AF +=+,
∴点P 在椭圆22
111612x y
C :
+=上. ∴()
()
2
2
223116
12
k k -+
=.
化简得2
71230k k --=.(*) 由()
2124732280Δ=-⨯⨯-=>, 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个.
解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由2
4x y =,即2
14
y x ,=
得y '=1
2
x .
∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2
11
1x x x y y -=
-， 即2111212x y x x y -+=
.∵2114
1
x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101
02
y x x y -=
. ① 同理， 202
02
y x x y -=
. ② 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x
y -=
002.∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x x
y -=002，
∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . 假设1212PF PF AF AF +=+ ，那么点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. 解法3：设点)41,
(211x x B ,)41,(222x x C ，那么))(4
1,(212
212x x x x BC --=，)4
13,2(2
11x x BA -
-=，
∵C B A ,,三点一共线, BC BA //. ()
()()22
2211211
113244
x x x x x x ⎛⎫--
=-- ⎪⎝⎭
化简得：12122
12x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即2
14y x ,=得y '=12
x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-
，即2114
1
2x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 2
224
12x x x y -=
. ③ 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，那么 )(2
1
21x x x +=. 代入②得 214
1
x x y =
， 那么212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ， 即点P 的轨迹方程为3-=x y .假设1212PF PF AF AF +=+ ，那么点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),
∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个.
21. (本小题满分是14分) 解：〔1〕函数的定义域为
()
0,+∞，
222
122()(1)ax x a
f x a x x x -+'=+-=．设2()2h x ax x a =-+ ， ①当0a =时，()20h x x =-<，2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立，那么()0f x '<在
),0(+∞上恒成立，此时()f x 在),0(+∞上单调递减．
②当0a ≠时，〔I 〕由,0442
=-=∆a 得1±=a .
当1=a 时，2()2h x ax x a =-+0)1(122
2
≥-=+-=x x x 恒成立，
)
(x f ∴在
)
,0(+∞上单调
递增． 当
1
-=a 时，
2()2h x ax x a =-+0)1(122
2
≤--=-+-=x x x 恒成立，)(x f ∴在),0(+∞上单调递减．
〔II 〕由,0442
<-=∆a 得1-<a 或者1>a ；.当1-<a 时，开口向下，
2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立，那么()0f x '<在),0(+∞上恒成立，此时()f x 在
),0(+∞上单调递减．
当1>a ，开口向上，()0h x ≥在),0(+∞上恒成立，那么()0f x '≥在),0(+∞上恒成立， 此时()f x 在),0(+∞上单调递增． 〔III 〕由2
440,a ∆=->得11a -<<
假设01a <<，
开口向上，1211x x a a +==，且122
0x x a +=>，121x x =，12,x x 都在),0(+∞上. 由()0f x '>，即()0h x >
，得1x a <
或者1x a +>；
由()0f x '<，即()0h x <
，得11x a a
-+<<． 所以函数()f x
的单调递增区间为1(0,
a
和1()a
+∞，
单调递减区间为11(
a a
-． 当10a -<<时，抛物线开口向下，2
120,0,()20x x h x ax x a <<=-+<在(0,)+∞
恒成立，即'
()0f x <在〔0，+)∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减 综上所述：
其中1x 〔2〕因为存在一个0[1,4]x ∈使得00()()f x g x >， 那么002ln ax x >，等价于0
02ln x a x >
.令2ln ()x F x x
=，等价于“当[]1,4x ∈ 时，()min a F x >〞.
对()F x 求导，得2
2(1ln )
()x F x x
-'=
. 因为[]1,4x ∈，由()0,1F x x e '>∴<<，()0,4F x e x '<∴<<所以()F x 在[1,e]上单调递增，在[,4]e 上单调递减.
由于(4)(1)F F >，所以min ()(1)0F x F ==，因此0a >.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。