标准化随机变量

E( X E( X ))2 (C E( X ))2 D( X ) (C E( X ))2
当C = E(X )时，显然等号成立；
当C E(X )时， (C E( X ))2 0
EX C2 D(X )
方差的计算
例1 设X ~ P ()，求D ( X )．

E(
X
2
)
f
(x)dx
常用的计算方差的公式：
D(X ) E(X 2) E2(X )
方差的性质
D (C) = 0
D (aX + b ) = a2D(X)
D (aX ) = a2D(X)
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2E(X E(X ))(Y E(Y ))

1
0 x(
Ax2

Bx)dx

1 2
A B 1 32
A 6,
A B 1 432
B6
(2) E(Y ) E( X 2 )


x
2
f
(
x)dx


1x2 0
(6x2

6x)dx

3 10
E(Y 2 ) E( X 4 )


x
4
f
(x)dx


1x4 0
E( X i )

n p
D(X )

n i1
D(Xi )

n(1 p2
p)．
标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在，
且D(X ) 0，则称
X X E(X ) D(X )
为 X 的标准化随机变量．显然，
E( X ) 0, D( X ) 1
乙比甲技术稳定．
进一步比较平均偏离平均值的程度
甲：1 {4 (10 8.4)2 2 (9 8.4)2 (8 8.4)2 10 (7 8.4)2 (6 8.4)2 (5 8.4)2}
6
3.04 xk E(X )2 pk k 1
乙： 1 {(10 8.4)2 4 (9 8.4)2 10 3 (8 8.4)2 2 (7 8.4)2}
特别地，若X ，Y 相互独立，则
D(X Y ) D(X ) D(Y )
若 X1, X 2 ,, X n 相互独立，a1, a2 ,, an ,b
为常数，则
D
n i1
ai
Xi

b

n
ai2D( X i )
i1
若X ，Y 独立
D(X Y ) D(X ) D(Y )
n i1
X
2 i

n
2 Xi
1i jn
X
j

n
n


E
(
X
2 i
)

2
E(XiX j)
i1
1i jn
X
2 i
1
P1
0
1 1
E(
X
2 i
)

1 n
i 1,2,,n
n
n
XiX j P
1
1 n(n 1)
0 1 1
E(
X
i
X
j
)

1 n(n
1)
n(n 1)
i, j 1,2,,n
同
数
据
再比较稳定程度
甲 4 (10 8.4)2 2 (9 8.4)2 (8 8.4)2 (7 8.4)2 (6 8.4)2 (5 8.4)2 30.4
乙 (10 8.4)2 4 (9 8.4)2 3 (8 8.4)2 2 (7 8.4)2 6.44
4
0.644 xk E(X )2 pk k 1
方差的概念
定义 若E((X - E(X))2)存在，则称其为随机变量X 的方差，记为D(X )．D (X ) = E((X - E(X))2)称 D(X ) 为X 的均方差.
(X - E(X))2——随机变量X 的取值偏离平均值的情 况，是X的函数，也是随机变量．
Ax2 Bx, 0 x 1,
f (x) 0,
其他
其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5．
(1) 求 A ,B；
(2) 设 Y = X 2，求 E (Y )，D (Y )．
解
(1)

f (x)dx
1
(
Ax
2

Bx)dx

1

0

xf
(x)dx
i 号球放入 i 号盒 其他
i 1,2,, n
n
则 X X i，但 X1, X 2 ,, X n 不相互独立． i1
Xi 1 P1
n
0 i 1,2,, n
1 1 n
E(X
)

n

i1
E(Xi
)

n

1 n

1
E(X
2)

E
n i1
Xi

2


E
n
n
E
(
X
2
)


E
(
X
2 i
)

2
E(XiX j)
i1
1i jn
n 1 2 n
1
i1 n 1i jn n(n 1)

n

1 n

2

Cn2

1 n(n
1)
2
D(X ) E(X 2) E2(X ) 1
矩
1. K阶原点矩 Ak=E(Xk)，k=1，2，… 而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；
kpq k 1
k 1
k 1


pq k(k
k 2
1)q k 2

1 p
pq
d2 dx2
xk k0
xq

1 p

pq
(1
2 x)3
xq

1 p

2 p p2
D(Xi )

2 p p2

1 p2

1
p
p
2
故
E(X )

n i1
P( X k) ke
k! k 0,1,2,
np(1-p)

分布
概率密度
方差
区间(a，b)
上的均匀分 布
E()
f
(x)

b
1
a
,
a x b,
0,
其他
(b a)2 12
ex , x 0,
f (x) 0,
其他
1
2
N(， 2)
解 E( X ) k ke e k1
k 0
k!
k1 (k 1)!
E( X 2 ) E( X ( X 1)) E( X )
E(X ( X 1)) k(k 1) ke
k 0
k!

2e
k 2
D( X ) D(Y )
2E( X E( X ))(Y E(Y ))
注意到 E( X E( X ))(Y E(Y ))
E( XY ) E( X )E(Y ) 当X，Y相互独立时， D(X Y ) D(X ) D(Y )
性质 4 的证明：
EX C2 E(X E(X )) (C E(X ))2
§3.2 方差
引例 甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹 击中的环数分别为：
甲 10, 6, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 5, 10 有
乙 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 9, 8, 9 六
问哪一个射手的技术较好？ 解 首先比较平均环数
甲 = 8.4，
乙 = 8.4
个 仅不 有同 四数 个据 不
ห้องสมุดไป่ตู้(6x2

6x)dx

1 7
D(Y ) E(Y 2 ) E2 (Y ) 37 700
例9 将编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机地放入
编号分别为 1 ~ n 的 n 只盒子中，每盒一球．若球的
号码与盒子的号码一致，则称为一个配对．求配对个
数 X 的期望与方差．
解
1, X i 0,
仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布． 例6
X -1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
解 E(X ) 0, D( X ) 0.2 与 Y -2 0 2
它们有相 同的期望、 方差； 但是分布 却不同．
P 0.025 0.95 0.025
E(Y ) 0, D(Y ) 0.2
但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定 分布.
例7 已知 X 服从正态分布，E(X ) = 1.7， D(X ) = 3，Y = 1 – 2 X ，求 Y 的密度函数．
解 E(Y ) 1 2 1.7 2.4,
D(Y ) 4 3 12
fY ( y)
2
1
6
( y2.4)2
e 24 ,
y
例8 已知 X 的密度函数为：
Ea(X E(X )) (b E(b))2
Ea2(X E(X ))2
a2D(X )
性质3的证明
D(X Y ) E(X Y ) E(X Y )2
E( X E( X ))2 E(Y E(Y ))2
2E( X E( X ))(Y E(Y ))
2. K阶中心矩 Bk=E[X-E(X)]k，k=1，2，… 而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；
3. K+l阶混合原点矩 E(Xk Yl)，k，l=0，1，2，…；
4. K+l阶混合中心矩 E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}，k，l=0，1，2，…
几个重要不等式
在概率论中，有些不等式对概率论的理论与应
用起着很重要的作用．
马尔科夫不等式
设非负随机变量X的数学期望存在，则对任意正
数，有 证明
P{X } E(X ) ；
设X为连续型随机变量，密度函数为f(x)，
则对任意正数，有
D(Xi ) p(1 p) i 1,2,, n
n
X1, X 2,, X n 相互独立，X
X
．
i
i1
n
故 D( X ) D( Xi ) np(1 p)．
i1
例3 设X ~ N ( ， 2)，求D( X )．
解
D(X )

(
x


)
2
1 e dx

|z|
1
z2
e 2 dz

2
2
z2
ze 2 dz
2
2 0

例5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为 p ，求 E(X )，D(X )．
解 令X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击
中目标所需射击的次数，i = 1，2，…， n．
f (x)
1
e(
x )2 2 2
2
2
例4 已知X ，Y 相互独立，且都服从N (0，0.5)，
求E( | X – Y | )．
解 X ~ N (0,0.5),Y ~ N (0,0.5)
E(X Y ) 0, D(X Y ) 1
故 X Y ~ N (0,1)
E(| X Y |)
2
k2 (k 2)!
D(X ) E(X 2) E2(X )
E( X 2 ) 2
例2 设X ~ B( n，p)，求D(X )．
解一 仿照上例求D (X )．
解二 引入随机变量 X1, X 2,, X n 1, 第 i 次试验事件 A 发生
Xi 0, 第 i 次试验事件 A 发生
E(XY) E(X )E(Y )
对任意常数C，D (X ) E(X – C)2 ，当且仅当C =
E(X )时等号成立．
D (X ) = 0
常数E(X)．
P (X = E(X))=1称为X 依概率 1等于
性质 1 的证明
D(C) EC E(C)2 0
性质 2 的证明
D(aX b) E(aX b) E(aX b)2
(
x )2 2 2

2
令 x t


2t 2

2
1
t2
e 2 dt
2
常见随机变量的方差
分布
概率分布
方差
参数为p 的 P( X 1) p 0-1分布 P( X 0) 1 p
p(1-p)
B(n，p) P()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
n
X1, X 2 ,, X n 相互独立，且 X X i
i1
P( X i k) pqk1, k 1,2,
pq 1
E(Xi )


kpq k 1
k 1


p kqk1
k 1
p
(1
1 q)
2

1 p


E
(
X
2 i
)

k(k 1) pqk1
E(X - E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的 平均偏离程度——数．
若 X 为离散型 r.v.，概率分布为：
P( X xk ) pk , k 1,2,

D( X ) xk E( X )2 pk
k 1
若 X 为连续型，概率密度为f (x)．
D(
X
)

x