2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟试题及答案解析一

最新高考模拟考试卷
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的.
1．复数i i -+1)1(2
等于( )
A ．i +-1
B ．i +1
C ．i -1
D ．i --1
2．若集合1
2
{|,01}A y y x x ==<≤，1
{|2,01}B y y x x
==-<≤，则A B I 等于( ) A. (],1-∞ B. (]0,1C.
φD. {1}
3. 阅读右面的程序框图，若输出的1
2
y =
，则输入的x 的值可能为 ( ) A ．1- B ．0C ．1 D ．5
4. 给出两个命题:命题:p 不等式0απ<<成立是不等式sin 0α>成立 的必要不充分条件；命题q ：函数(
)
22log 1y x x =+-是奇函数.
则下列命题是真命题的是( ) A.p q ∧
B.p q ∨⌝
C.p q ∨
D.p q ∧⌝
5.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线， 垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ） A.33B. 43C. 6D.8
6．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（ ） A ．8∏
B ．9∏
C ．10∏
D ．11∏
7．在同一个坐标系中画出函数x
a y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下 列所给图象中可能正确的是 ( )
A B C D
8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1
3(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，且2z x y =+的最小值为1，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．
14
D ．
12
否
输出y x 输入整数2x y =
2x ≤
sin()
6
y x π=
9. 已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,3AB AC AO AB OA +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则 CA CB ⋅u u u r u u u r
的值是 ( )
A ．3
B ．3
C ．3
D ．1 10. 已知1
(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角
形面积为 ( ) A ．
1
4
B ．
12
C ． 1
D ． 2
11. 已知()sin(2015)cos(2015)63
f x x x π
π
=+
+-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得 对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 ( ) A ．
2015π B ．22015π C ．42015π D ．4030
π
12．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )
A ．()ln f x x =
B ．12)(2
－
x x f = C ．()21x
f x =+ D ．()sin()2
f x x π
= 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上. 13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则
n
m 1
1+的最大值 为．
14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的 四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．
15．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
3331373152,39,4, (5171119)
⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪
⎩⎪⎩仿此，若3m 的“分裂”数中有一个是73， 则m 的值为 ________ .
16. 巳知函数'(),'()f x g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数， 它们在同一坐标系内的图象如右图所示. ①若(1)1f =，则(1)f -=.
O 1
D
1
A D 1
B 1
②设函数()()()h x f x g x =-，则(1),(0),(1)h h h -的大小关系为．(用“<”连接）
三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。

某调查公司在一服务区从七座以下小型汽 车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽 取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速
（km/t ）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),
[85,90)后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
（Ⅱ）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70) 的车辆恰有一辆的概率.
18.（本小题满分12分）
已知长方体1111ABCD A B C D -，点1O 为11B D 的中点. （Ⅰ）求证：1//AB 平面11AO D ； （Ⅱ）若12
3
AB AA =
，试问在线段1BB 上是否存在点E , 使得1
AC ⊥AE ，若存在求出1
BE
BB ，若不存在，说明理由. 19. （本小题满分12分） 已
知
数
列
{}*(,146),
n a n N n ∈≤≤满足
1,a a =1,(115),1,(1630),1
,(3145),n n d n a a n n d +⎧
⎪≤≤⎪
-=≤≤⎨⎪⎪≤≤⎩
其中*
0,.d n N ≠∈
（Ⅰ）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围；
（Ⅱ）设集合{M b =|,,,*,116i j k b a a a i j k N i j k =++∈≤<<≤}
若11,,34a d =
= 求证：2.M ∈
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的方程为22
22
1(0)4x y m m m +
=>，如图所示，在平面直角 坐标系xoy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,2),(1,2)A B C （Ⅰ）当椭圆C 与直线AB 相切时，求m 的值；
（Ⅱ）若椭圆C 与ABC ∆三边无公共点，求m 的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆C 与ABC ∆三边相交于不同的两点M,N ，求OMN ∆的面积S 的最大值．
21.（本小题满分12分）
如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长 度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且60AM m =．点P 从最低 点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记,(0,).AOP θθπ∠=∈ （Ⅰ）当23
π
θ=
时，求点P 距地面的高度PQ ； （Ⅱ）设tan ,y MPN =∠写出用θ表示y 的函数 关系式，并求y 的最大值．
22.（本小题满分14分）
已知函数2
()(0),f x x ax a =-≠()ln ,g x x =()f x 的图象在其与x 轴的交点(,0)M a 处 的切线为1,l ()g x 的图象在其与x 轴的交点处的切线为2,l 且1l ,2l 斜率相等. （Ⅰ）求(3)f 的值；
（Ⅱ）已知实数,t R ∈求函数[][]
(),1,y f xg x t x e =+∈的最小值；
（Ⅲ）令'
()()(),F x g x g x =+给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<对于两个大于1的正数,,αβ 存在实数m 满足：1212(1),(1),mx m x m x mx α=+-β=-+并且使得不等式
12()()()()F F F x F x α-β<-恒成立，求实数m 的取值范围.
数 学（文科）
1~12 ABCC ABDD DABB13.4- 14．82π-15．916.①1；②(0)(1)(1)h h h <<- 17.解：（Ⅰ）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5
设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：
0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =
即中位数的估计值为77.5
（Ⅱ）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆），
车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆）
设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本
事件有：
(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)
a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种
其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a c a d a e a f b c b d b e b f 共8种
所以，车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为8
15
P =
. 18.解：（Ⅰ）证明：连结1AD 交1A D 于点G ，所以G 为1AD 的中点，连结1O G
Q 在11AB D ∆中，1O 为11B D 的中点 11//O G AB ∴ Q 1O G ⊂面11AO D 且1AB ⊄面11AO D ∴1//AB 面11AO D
（Ⅱ）若在线段1BB 上存在点E 得1
AC ⊥AE ，连结1A B 交AE 于点M BC ⊥Q 面11ABB A 且AE ⊂面11ABB A BC AE ∴⊥
又1AC BC C =Q I 且1,AC BC ⊂面1A
BC AE ∴⊥面1A BC 1A B ⊂Q 面1A BC 1AE A B ∴⊥
在AMB ∆和ABE ∆中有：90,90BAM ABM BAM BEA ∠+∠=︒∠+∠=︒
ABM BEA ∴∠=∠同理：1BAE AA B ∠=∠
1Rt Rt ABE A AB ∴∆∆:1
BE AB
AB AA ∴
= 123AB AA =
Q 124
39
BE AB BB ∴==即在线段1BB 上存在点E 有
149BE BB = 19.解：（Ⅰ）当1a =时，
16115a d =+，311615a d =+，461
1615()a d d
=++．
因为0d ≠，21d d +
≥，或21
d d
-+≤，所以46a (,14][46,)∈-∞-+∞U ． （Ⅱ）由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，3
14i j k b ++-=+．
令3
124
i j k ++-+
=，得7i j k ++=．因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤， 所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈．
20.解：（Ⅰ）直线AB 的方程：22y x =-+
联立22
22
22
14y x x y m m
=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得 22
2210x x m -+-= 由2
48(1)0m ∆=--= 得2
1
2
m =
又0m
>2m ∴=
（Ⅱ）由图可知当椭圆C 在直线AB 的左下方或ABC ∆在椭圆内时，两者便无公共点
①当椭圆C 在直线AB 的左下方时
248(1)0m ∆=--<
解得02
m <<
②当且当点(1,2)C 在椭圆内时，ABC ∆在椭圆内
221414m m
∴
+< 又0m
>m ∴>
综上所述，当02
m
<
或m >时，椭圆与C 无公共点 （3）由（2
）可知当
2
m <<C 与ABC ∆相交于不同的两个点,M N 又因为当1m =时，椭圆C 方程为2
2
14
y x +=，此时椭圆恰好过点,A B ∴
①当
12
m <≤时，,M N 在线段,A B 上，此时1ABC S S ∆≤= 当且仅当,M N 分别与,A B 重合时等号成立
②当1m <≤
,M N 分别在线段,BC AC
上易得M ，
N OBM OAN MNC OACB S S S S S ∆∆∆∴=---矩形
1
2(12
=-
22(1=-
令t = 则01t <<211S t ∴=-+<
综上可得OMN ∆面积S 的最大值为1 21. 解：（Ⅰ）由题意，得PQ ＝50－50cos θ．
从而，当θ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π
3＝75．即点P 距地面的高度为75m ．
（Ⅱ）由题意，得AQ ＝50sin θ，从而MQ ＝60－50sin θ，NQ ＝300－50sin θ．
又PQ ＝50－50cos θ ， 所以tan ∠NPQ ＝
NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ
5－5cos θ
． 从而y=tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ
1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ
＝6－sin θ1－cos θ －
6－5sin θ
5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ ×
6－5sin θ5－5cos θ
＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ ．
令g (θ)＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ ，θ∈(0，π)，则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)
(23－18sin θ－5cos θ)2
由g '(θ)＝0，得sin θ＋cos θ －1＝0，解得θ＝ π
2
．
当θ∈(0，π2)时，g '(θ)＞0，g (θ)为增函数；当θ∈(π
2
，π)时，g '(θ)＜0，g (θ)为减函数，
所以，当θ＝ π2时，g (θ)有极大值，也为最大值．即当θ＝ π
2时，y 取得最大值．
22. 解：（Ⅰ）''
1
()2,(),(1,0)f x x a g x N x
=-= ∴2
1,(),(3)6a f x x x f ==-∴=，
（Ⅱ）[]
2
()(ln )(ln )y f xg x t x x t x x t =+=+-+
令ln ,u x x =，在[]1,x e ∈ 时，'
ln 10,u x =+>∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0u e ∴<<
又22
(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t
u -=，抛物线开口向上 ①当1202
t
u -=
≤即12t ≥时，2min y t t =-
②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22
min (21)y e t e t t =+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，min 1
4
y =- （Ⅲ）'
22111()0x F x x x x
-=-=>, 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增.
∴当1x >时，()(1)0F x F >>
①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，
得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，
∴ 由()F x 的单调性知120()(),()()F x F F F x <<αβ< 从而有12()()()()F F F x F x α-β<-，符合题设.
②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，
由()F x 的单调性知 120()()()()F F x F x F <β≤<≤α， ∴12()()()()F F F x F x α-β≥-，与题设不符 ③当1m ≥时，同理可得12,x x α≤β≥，
得12()()()()F F F x F x α-β≥-，与题设不符. ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈。