23.1.1 第1课时 正切 ---同步课时作业 2021-2022学年沪科版数学九年级上册

23.1.1第1课时正切
知识点1正切
1.[2020·阜阳太和县模拟]在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=4,BC=3,那么∠A的正切值为()
A.3
4B.4
3
C.3
5
D.4
5
2.如图1,在△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则tan C等于()
图1
A.2
B.1
2C.√5
5
D.√5
2
3.如图2,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则tan B的值为()
图2
A.3
5B.3
4
C.4
5
D.4
3
4.在Rt△ABC中,若各边长都扩大为原来的4倍,则锐角A的正切值()
A.扩大为原来的4倍
B.不变
C.缩小为原来的1
4
D.以上都不对
5.[教材练习第2题变式]如图3,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,tan A=1
2
,则AB的长是
()
图3
A.3√5
B.6√5
C.12
D.6
6.如图4,若点A的坐标为(1,√3),则tan∠1=.
图4
7.如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AD=2,CD=3,则tan∠ABC的值是.
图5
8.已知α,β是如图6所示的两个角,则tanα与tanβ的大小关系是.
图6
,求AC,BC和tan B 9.[教材练习第2题变式]如图7,在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AB=15,tan A=3
4
的值.
图7
知识点2坡角与坡度(坡比)
10.已知一个斜坡长30米,其铅直高度为15米,则这个斜坡的坡度为()
A.√3∶1
B.1∶√3
C.1∶2
D.30°
11.[2019·广州]如图8所示,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是
,则此斜坡的水平距离AC为()
∠BAC,若tan∠BAC=2
5
图8
A.75 m
B.50 m
C.30 m
D.12 m
12.如图9,将两根木棒AB(长10 m),CD(长6 m)分别斜靠在墙上,其中BE=6 m,DE=2 m,你能判断哪根木棒更陡吗?请说明理由.
图9
13.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则tan C等于()
A.4
3B.3
4
C.6
5
D.5
6
14.如图10,在平地MN上用一块木板AB搭了一个斜坡,两根支柱AC=7.5 m,AD=6 m,其中AC ⊥AB,AD⊥MN于点D,则斜坡AB的坡度是()
图10
A.3∶5
B.4∶5
C.3∶4
D.4∶3
15.如图11,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tan C等于
()
图11
A.3
4B.4
3
C.3
5
D.4
5
16.如图12,当小明沿坡度i=1∶√3的坡面由A到B行走了8米时,他实际上升的高度BC=米.
图12
17.如图13,点P (12,a )在反比例函数y=60
x 的图象上,PH ⊥x 轴于点H ,则tan ∠OPH 的值为 .
图13
18.如图14,在Rt △ABD 中,∠A=90°,点C 在AD 上,∠ACB=45°,tan D=2
3
,则CD
CA = .
图14
19.如图15,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠ABC=30°,D 是CB 延长线上的一点,且BD=AB ,求tan ∠DAC 的值.
图15
20.在如图16所示的正方形方格纸中,每个小四边形都是相同的正方形,A ,B ,C ,D 都在格点处,AB 与CD 相交于点O ,求tan ∠BOD 的值.
图16
教师详解详析
1.A [解析] tan A=BC AC =3
4.故选A . 2.B
3.D [解析] 根据勾股定理可知,BC=√AB 2-AC 2=√102-82=6,∴tan B=AC BC =86=4
3
.
4.B [解析] 设在原Rt △ABC 中,锐角A 的对边与邻边分别为a ,b ,则tan A=a b .各边长都扩大为原来的4倍后,∠A 的对边与邻边分别为4a ,4b ,此时tan A=4a 4b =a
b . 5.A [解析] 在Rt △ABC 中,∵tan A=BC
AC ,
∴BC=AC ·tan A=6×1
2=3,则AB=√AC 2+BC 2=√62+32=3√5.故选A . 6.√3 [解析] 如图,过点A 作AB ⊥x 轴,垂足为B ,则AB=√3,OB=1,∴tan ∠1=
AB OB
=√3.
7.2
3 [解析] 由题易知∠ABC=∠ACD ,
∴tan ∠ABC=tan ∠ACD=AD CD =2
3.
8.tan α<tan β [解析] 如图,tan α=CD
AC ,tan β=CD
BC .因为AC>BC ,所以tan α<tan β.
9.解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A=BC AC =3
4.∴可设BC=3k ,则AC=4k. 由勾股定理,得(3k )2+(4k )2=152, 解得k=3(负值已舍去). ∴AC=12,BC=9,tan B=AC BC =129=4
3. 10.B
11.A [解析] ∵∠BCA=90°,tan ∠BAC=2
5,∴BC AC =2
5.∵BC=30 m,∴30AC =2
5,解得AC=75 m .故选A . 12.[解析] 描述木棒的陡缓,即木棒的倾斜程度,通常用倾斜角的正切比较,正切值越大,木棒越陡.本题先借助勾股定理求出AE ,CE 的长,从而求出tan B ,tan D 的值,然后比较.
解:木棒CD 更陡.
理由:由题意及勾股定理可知AE=√102-62=8(m), CE=√62-22=4√2(m), ∴tan B=AE BE =86=4
3,tan D=CE DE =4√2
2
=2√2.
∵2√2>43,
∴tan D>tan B ,即木棒CD 更陡.
13.A [解析] 过点A 作BC 边上的高AD ,则CD=3.根据勾股定理,得AD=4,∴tan C=4
3.
14.C [解析] 由勾股定理求得CD=4.5 m,故tan ∠ABC=tan ∠CAD=CD AD
=
4.56
=3
4
.
15.B [解析] 如图,连接BD.
∵E ,F 分别是AB ,AD 的中点, ∴BD=2EF=4. ∵BC=5,CD=3, ∴△BCD 是直角三角形, ∴tan C=BD CD =4
3.故选B .
16.4 [解析] ∵i=1∶√3,∴可设BC=x 米,AC=√3x 米.由题意,得x 2+(√3x )2=82, ∴x=4(负值已舍去).
17.12
5 [解析] 当x=12时,y=5,则PH=5,OH=12, ∴tan ∠OPH=OH PH =12
5. 18.1
2 [解析] 在Rt △ABD 中, ∵tan D=AB AD =2
3,∴可设AB=2x ,AD=3x.
∵∠ACB=45°,∴CA=AB=2x ,则CD=AD -CA=3x -2x=x ,∴CD
CA =x
2x =1
2.
19.解:在Rt △ABC 中,∵∠ABC=30°, ∴BD=AB=2AC. 设AB=2x ,则AC=x ,
∴BC=√AB 2-AC 2=√4x 2-x 2=√3x , ∴CD=BD+BC=2x+√3x=(2+√3)x. 在Rt △ADC 中, tan ∠DAC=CD AC =
(2+√3)x
x
=2+√3.
20.解:如图,设点E ,F 分别在格点上, 连接EF ,BE ,则∠AEF=45°. 易知EF ∥CD ,∴∠BFE=∠BOD. 由图易知∠BEF=90°. 设每个小正方形的边长均为a , 则EF=√2a ,BE=3√2a. 由正切的定义可知 tan ∠BOD=tan ∠BFE=BE EF =
√2a
√2a
=3.。