江苏省泰州中学第二学期高三数学模拟二(文科)答案版

江苏省泰州中学第二学期高三数学模拟二
一、选择题
1．已知集合2{|230}A x x x =--…．{|21}x B y y ==+，则A B =I . 【解答】解：{|13}A x x =-剟，{|1}B y y =>， (1A B ∴=I ，3]．
2．设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)m m i -+是纯虚数”是“1m =”的 条件 . （填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分也不必要”） 【解答】解：复数(1)m m i -+是纯虚数，则0m =或1m =， 显然1m =，复数是纯虚数，
所以，“复数(1)m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要不充分条件．
3. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时， 则输出的y 的值为________． 【答案】2
4．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 【答案】
29
5． 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 2 ． 【考点】BC ：极差、方差与标准差
【分析】先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：一组数据6，7，8，9，10的平均数为： 1
(678910)85
x =++++=，
∴该组数据的方差为：
2222221
[(68)(78)(88)(98)(108)]25
S =-+-+-+-+-=．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．在等差数列{}n a 中，12017a =-，其前n 项和为n S ，若10
1221210
S S -=，则2020S 的值等于 . 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
由101221210
S S -=， 得110112()10
()122221210a a a a +⨯+⨯-=，
即
110
112222
a a a a ++-=， 12104a a ∴-=，则24d =，2d =． 201820202019
2020(2017)240402
S ⨯∴=⨯-+
⨯=． 7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与函数(0)y x x =…
的图象交于点P ，若函数y x =的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是 . 【解答】解：设P 的坐标为(,)m m ，左焦点(4,0)F -，
函数的导数()2f x x
'=，则在P 处的切线斜率()2m
k f m m
='=
=
， 即42m m +=，得4m =， 则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A ，
则2||||644042(171)a PF PA =-=+-+=-， 即171a =-， 4c =Q ，
∴双曲线的离心率171
c e a +=
=
， 8． 在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面， ①．若a c ⊥，b c ⊥，则//a b
②．若a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ ③．若//a α，//b β，//αβ，则//a b ④．若//αβ，a α⊂，则//a β
则上面四个说法正确的是 。

【分析】直接利用线面平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．
【解答】解：对于选项A ：若a c ⊥，b c ⊥，则a 和b 可能是异面直线，故错误． 对于选项B ：若a α⊂，b β⊂，则a 和b 不能判定有垂直和平行的关系，故错误． 对于选项C ：若//a α，//b β，//αβ，则a 和b 可能异面，故错误． 对于选项D ：若//αβ，a α⊂，则//a β，正确． 故选：④．
【点评】本题考查的知识要点：线面平行和垂直的判定和性质的应用，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题型．
9．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 在2[0,]3
π
上恰有两个零点，则ω的取值范围是 .
【解答】解：Q 函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，在2[0,]3
π上，[33x ππω+∈，2]33ωππ
+，
若()f x 在2[0,
]3π上恰有两个零点，22333ωππππ∴+<„，求得5
42
ω<„， 10．已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+g ，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)f f += .
【解答】解：根据题意，(1)()(2)f x f x f x +=+，则有(2)(1)(3)f x f x f x +=++， 变形可得(2)()(2)(3)f x f x f x f x +=++，
又由()0f x >，则有()(3)1f x f x +=，变形可得1
(3)()
f x f x +=， 则有1
(6)()(3)
f x f x f x +=
=+，即函数()f x 是周期为6的周期函数；
()(6)f x f x =+，即函数()f x 的周期为6，
则有(2019)(33366)f f f =+⨯=（3），(2020)(43366)f f f =+⨯=（4）， 则(2019)(2020)f f f +=（3）f +（4）， 对于1(3)()f x f x +=
，令1x =可得f （4）11
(1)4
f ==； 对于(1)()(2)f x f x f x +=+和(2)()f x f x +=-，
令0x =可得f （1）(0)f f =（2）4=且(0)f f =（2），()0f x >， 则有(0)f f =（2）2=，则f （3）11
(0)2
f ==； 故f （3）f +（4）113
424
=
+=； 11．已知()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （2）0=，当0x ≠时，2
()()f x f x x
'>，
则不等式(1)()0x f x -<的解集为 .
【解答】解：2()()f x f x x '>可得，()2()0xf x f x x
'->，即22
()2()0x f x xf x x '->， 2
()2()0x f x xf x '->，令2()()f x g x x
=，24()2()()0x f x xf x g x x '-'=>，
所以()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞单调递增，f （2）0=，所以g （2）0=， ()f x 为在R 上为奇函数，所以()g x 也是奇函数，()g x 的图象大致如图所示：
2()()f x x g x =，
不等式(1)()0x f x -<，当1x >，()0f x <，所以不等式的解集为：(1,2)x ∈； 1x <，()0f x >，解集为：(2,0)x ∈-，
综上所述不等式(1)()0x f x -<的解集为：(2-，0)(1⋃，2)，
12．将函数()4cos()2f x x π
=的直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A 、2A 、⋯、5A ，若P 点坐
标为(0,3)，则125||PA PA PA ++⋯+=u u u r u u u u r u u u u r
10
【解答】解：因为函数()4cos()2f x x π
=关于点(1,0)对称，
又直线()1g x x =-的对称点也为(1,0)，
则函数()4cos()2f x x π
=的直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A 、2A 、⋯、5A ，
即3A 为(1,0)，1A 与5A ，2A 与4A 都关于点3A 对称， 又P 点坐标为(0,3)，
所以1234535(5,53)PA PA PA PA PA PA ++++==-u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，
所以22125||5(53)10PA PA PA ++⋯+=+-=u u u r u u u u r u u u u r
， 故答案为：10．
13．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，则BCD ∆面积的最大值为 2
1+
．
【解答】解：在ABC ∆中，设ABC α∠=，ACB β∠=，1AB =，2BC =， 余弦定理得22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-，
ACD ∆Q 为等腰直角三角形，设CD AD t ==，2AC t =，2254cos t α∴=-，
由正弦定理得：
12sin sin AC t
βα== ∴2sin sin t βα=， 则2222222sin 22cos sin 1cos t t t ββαα=-==-，
可得2222222cos 21cos 54cos 1cos (2cos )t t βαααα=-+=--+=-，
可得2cos 2cos t βα=-，
12sin()24
BCD S t π
β∆∴=+g gg 22sin()cos sin 4t t t πβββ=+=
+ 112(2cos )sin sin()1224
π
ααα=-+=-+， 当34πα=
时，sin()14
π
α-=， 2()12BCD max S ∆=+．
14．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是02，接下来的两项是
02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①N 80>；②N 是2的
整数次幂，则满足条件的最小的n 为 .
【解答】解：依题意，因为N 满足条件①80N >；②N 是2的整数次幂， 所以2k n S N ==，*(k N ∈，且7)k … 如图：第m 行各项的和为21m -，
前m 行之和12231(1)2
(21)(21)(21)(2222)22m m m m m S m m ++=-+-+⋯⋯+-=+++⋯⋯+-=--，
设满足条件的n 在第1m +行，则前m 行之和为11222m m m ++--„，故12m N +=， 则21242s m +=+++⋯⋯+，
则满足条件的m 的最小值为13，且N 为第14行的第4项． 所以(113)13
4952
n +=
+=．
二、解答题
15．（14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-． （1）求角A 的大小；（2）求
b c
a
+的取值范围． 【分析】（1）由()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-．利用正弦定理可得：()()()a b a b c b c +-=-．化为222b c a bc +-=，再利用余弦定理即可得出cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求
2b c a +„，
又利用三角形两边之和大于第三边即可求得b c
a
+的取值范围． 【解答】解：（1）()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-Q ． 由正弦定理可得：()()()a b a b c b c +-=-．
A
B
O
D
化为222b c a bc +-=，
由余弦定理可得：2221
cos 22
b c a A bc +-==，
(0,)A π∈Q ， 3
A π
∴=．
（2）3A π
=Q ， 22222
2()()(224b c b c b c a b c bc +++∴=+--=…， 2
(4b c a
+∴„，
∴2b c a +„，可得
b c a +的最大值为2，又b c a +>， ∴b c a
+的取值范围为(1，2]． 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. (本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .
求证：(1) EF ＝1
2
BC ； (2) 平面EFD ⊥平面ABC .
16.证明：(1) 因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，
所以EG ∥BD. …… 4分
又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得F 为AC 的中点， …… 6分 所以EF ＝1
2
BC. …… 7分
(2) 因为AD ＝BD ，由(1)知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE. 又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC.
由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF. …… 11分 又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD.
又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC. …… 14分 17．（本小题满分14分）
有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O 2百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．
（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的
最大面积．(结果保留根号和π)
17.【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
D．
（1）小路的长度为OA OB AB
+
+，因为,
OA
OB长为定值，
故只需要AB最小即可．
作OM AB
⊥于M，记OM d
=
，则AB=
又d OD=
≤，故AB=
≥
此时点D为AB中点．
故小路的最短长度为4+(百米)．……………4分
（2）显然，当广场所在的圆与△ABO内切时，
面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r，
则△ABO的面积为
11
()
22
ABO
S AB AO BO r AB d
∆
=++⋅=⋅
由弦长公式AB=
2
24
4
AB
d=-，所以
22
2
2
(16)
4(4)
AB AB
r
AB
⋅-
=
+
，………8分设AB x
=，则
222
2
2
(16)(4)
()
444(4)
x x x x
r f x
x x
⋅-⋅-
===
++
（）
，
所以
322
22
2832
2(416)
'()
4(4)4(4)
x x x x x x
f x
x x
--+-⋅+-
==
++
，…………………………………10分又因为0d OD
<≤，即0
d
<
)
x AB⎡
==⎣
，……………12分所以
2
2
2(416)
'()0
4(4)
x x x
f x
x
-⋅+-
=<
+
，所以
max
()6
f x f
==-，
即△ABC的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分
18．（本小题满分16分）
已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的右顶点为A，点(11)
B，
在椭圆上，点D与点B关于原点对称.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求经过点A，B且和y轴相切的圆的方程；
（3）若,P Q是椭圆上异于,A D的两个点，且PQ AD
P，点B
在直线PQ的上方，试判断PBQ
∠的平分线是否经过x轴上的一个
定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
(第18题图)
【解析】（1
）由22222
111c a a b c b a ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
解得 22
4
43a b ⎧=⎪
⎨=
⎪⎩，所以椭圆的标准方程为223:144x y C +=. ……3分 （2）设经过点A ，B 且和y 轴相切的圆的圆心为E(m,n),半径为r ，
圆的方程为222
()()x m y n r -+-=，由题意可知r=m ，因为A(2，0),B(1，1) 在圆上，
所以222
222
(2)(1)(1)m n m m n m ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得101m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩
或545
m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
故所求的圆的方程为22(1)1x y -+=或22
(5)(4)25x y -+-=. ……8分
（3）设点P 、Q 分别为(,)(,)P P Q Q P x y x y 、Q ，直线PB 、QB 的斜率分别为12k k 、，
联立直线PB 与椭圆方程1221(1)3144y k x x y -=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，化简得2221111(13)6(1)3(1)40k x k k x k ++-+--=
∵1x =是方程的一个解，∴21122
113(1)46211313P k k x k k --+==-++，则1
2122113P k y k -=-++, 同理可得22222
223(1)46211313Q k k x k k --+==-++，则2
2222113Q
k y k -=-++, ……12分 ∴直线P Q 的斜率12121212
6()2666()18P Q P P Q
y y k k k k k x x k k k k -++-=
=
--+-Q
又∵13
AD P k =
Q//AD 且，∴121212126()261=66()183P k k k k k k k k k ++-=-+-Q ，化简得12+=0k k ，
∴直线PB 、QB 关于直线1x =对称，即1x =为PB ∠Q 的角平分线所在的直线， ∴PB ∠Q 的角平分线经过x 轴上的定点(1,0). ……16分 （本题也可先由特殊值法猜出PB ∠Q 角平分线经过定点(1,0)，然后再证明，请酌情给分.）
19．已知a R ∈，函数2()(22)2f x x a x aln =-++5x +． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设函数21
()22
g x lnx x x m =-++，若()f x 恰有两个零点1x ，212()x x x <，且当12x x x <<时，
()0()f x g x <<，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，22(1)()
()2(22)a x x a f x x a x x
--'=-++=
， 当0a „时，()f x 在(0,1)上单减，在(1,)+∞上单增；
当01a <<时，()f x 在(0,)a 和(1,)+∞上单增，在(,1)a 上单减； 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单增；
当1a >时，()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单增，在(1,)a 上单减； （2）结合（1）可知，1a ≠；
当0a „时，f （1）420a =->，故()0f x >，不存在零点；
当01a <<时，f （1）420a =->，又当3
=e a
x -
时，3(e )0a
f -
<； ；故此时()f x 只有一个零点； 故1a >．
此时()f x 存在两个零点，且当12x x x <<时，()0f x <，故f （1）0=，即2a =， 此时11x =，22x >， 2(2)(1)
()1x x g x x x x
-+'=
-+=
，易知函数()g x 在(1,2)上单增，在2(2,)x 上单减， 而()()2222211
1222
g x g lnx x x -=-+-①，
又22226450x x lnx -++=代入①得，222222()(1)43(1)(3)g x g x x x x -=-+-=--， 又f （3）4340ln =->，故2(2,3)x ∈， 2()g x g ∴-（1）0>，即2()g x g >（1），
g ∴（1）0…
即可， ∴1
2
m -…．
20．（本题满分16分）
设三个各项均为正整数的无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c .记数列{}n b ，{}n c 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的*N n ∈，都有n n n a b c =+，且n n S T >，则称数列{}n a 为可拆分数列.
（1）若4n n a =，且数列{}n b ，{}n c 均是公比不为1的等比数列，求证：数列{}n a 为可拆分数列； （2）若5,n a n =且数列{}n b ，{}n c 均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列{}n b ，{}n c 的通项公式；
（3）若数列{}n a ，{}n b ，{}n c 均是公比不为1的等比数列，且13a ≥，求证：数列{}n a 为可拆分数列. 【解析】（1）由111444344,n n n n n a ---==⋅=⋅+令1134,4n n n n b c --=⋅=.
则41
41,3
n n
n n S T -=-=.
所以, 对任意的*N n ∈，都有n n n a b c =+，且n n S T > ……2分
（2）设数列{}n b ，{}n c 的公差分别为12,.d d 由5,n a n =得
1112121112(1)(1)()5b n d c n d d d n b c d d n +-++-=+++--=对任意的*N n ∈都成立.
所以12111250d d b c d d +=⎧⎨+--=⎩，即1211
5
5d d b c +=⎧⎨+=⎩① ……4分 由n
n S T >，得1112(1)(1)
22n n n n nb d nc d --+>+，则2121211()()02222
d d d d n b c n -+--+>. 由0n >，得121211()()02222d d d d
n b c -+--+>对任意的*N n ∈成立.
则12022
d d
-≥且121211()()02222d d d d b c -+--+>即12d d ≥且11b c >② ……6分
由数列{}n b ，{}n c 各项均为正整数，则1112,,,b c d d 均为正整数
当12d d =时，由125d d +=，得125
2
d d N +==∉不符；所以12d d >③ ……8分
由①②③，得12114,14,1d d b c ==⎧⎨==⎩或1211
4,13,2d d b c ==⎧⎨==⎩或12113,24,1d d b c ==⎧⎨==⎩或12113,2
3,2d d b c ==⎧⎨==⎩
所以4n n b n c n =⎧⎨=⎩或411n n b n c n =-⎧⎨=+⎩或3121n n b n c n =+⎧⎨=-⎩或32n n
b n
c n =⎧⎨=⎩ . ……10分
（3）设11,n n a a q -=1,0, 1.a N q q +
∈>≠下面证明：, 2.q N q +∈≥
当q 为无理数时，21a a q =为无理数，与n a N +
∈矛盾. ……12分
故q 为有理数，设(,b
q a b a
=
为正整数，且,a b 互素）. 此时1
11n n n b a a a --=⋅.
则对任意的*N n ∈，1n a -均为1a 的约数，则11n a -=，即1a =，
故*N b
q b a
=
=∈，所以, 2.q N q +∈≥ ……14分 所以11111(1),n n n n a a q a q q ---==-+令11
1(1),n n n n b a q c q --=-⋅=
则{}n b ，{}n c 各项均为正整数. 因为13a …,所以1121,a -≥>则n n S T >
所以,数列{}n a 为可拆分数列. ……16分。