化二次型为标准型

1
1 1 得基础解系 1 , 单位化即得 p1 1 1
1 1 1 . 2 1 1
当l l l 1时 , 解方程( I A ) x 0 ,
2 3 4
可得正交的基础解系 1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 2 , 0 1 1 0 1 1 1 2 0 12 1 2 0 1 2 , p3 , p4 单位化即得 p2 1 2 12 0 1 2 1 2 0
T
T
3．将特征向量正交化 a 2 , 3 a2, 取 a 1 1 ,a 2 2 , a 3 3 a 2 ,a 2 得正交向量组
a 1 (1 2,1,1) , a 2 ( 2,1,0) , a 3 ( 2 5, 4 5,1) .
T T
T
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
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定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PT AP L
l1 l2 T P AP L
ln
P (e1 e2
en )
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
一、用正交变换化二次型为标准型
在前面讲过, 对于任一个n阶实对称矩阵A, 一定 存在正交矩阵Q, 使得QTAQ=L. 由于Q1=QT, 所以有 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln). 因此有下面的定理.
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定理(主轴定理) 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,...,xn)=XTAX, 存在正交变换X=QY(Q为n阶正交矩阵), 使得 XTAX=Y(QTAQ)Y=l1y12+l2y22+...+lnyn2 其中l1,l2,...,ln是实对称矩阵A的n个特征值, Q的 n个列向量a1,a2,...,an是A对应于特征值l1,l2,...,ln的 标准正交特征向量.
于是正交变换为
0 1 2 y1 x1 1 2 1 2 0 1 2 y 2 x2 1 2 1 2 x3 1 2 0 1 2 1 2 y 3 12 y 0 1 2 1 2 x 4 4
6.2 化二次型为标准型
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本节讨论的问题是: 如何通过非退化线性变换 X=CY, 把二次型f(x1,x2,...,xn)=XTAX化为y1,y2,...,yn的 平方和, 即为 d1y12+d2y22+...+dnyn2 我们把含平方项而不含混合项的二次型称为标 准的二次型. 或称化成的这种标准的二次型称作二次 型XTAX的标准型. 例如
2. 求出A的所有特征值 l1 , l2 ,, ln ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f l 1 y1 ln yn .
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形.
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化二次型为标准型, 就是对实对称矩阵A, 寻找可逆阵C, 使CTAC成对角形.
定理1 任给可逆矩阵C , 令B C T AC , 如果A为对称 矩阵, 则B也为对称矩阵, 且R B R A. 证明 A为对称矩阵,即有A AT , 于是
ai 令 i , i 1,2,3, ai
得
1 1 2 2
2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3
2 45 4 45 . 5 45
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
对称矩阵 A
正交矩阵P
P AP L
T
f X AX
T
X PY
正交变 换
l1
l2
ln
f Y T ( PT AP)Y Y T LY
2 2 l1 y1 l2 y2 2 ln yn
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用正交变换化二次型为标准型的具体步骤： 1.求矩阵A的特征方程
lI A 0
2.求特征方程的根，即特征值 l1 ,
, ln
3.对每个特征 li 解方程组 (li I A) X 0 值 得到n个特征向量 4. 对这个特征向量正交化和单位化，得到
e1, e2 ,
en 其中ei是对应于li的单位特征向量
代入f ，得到标准型
2 2 f 4 y12 5 y2 5 y3
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二、用配方法化二次型为标准型
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保
持几何形状不变． 问题 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 有没有其它方法，也可以把二次型化
效的方法——配方法．
配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 ( i j ), 则先作可逆线性变换
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
2 2 l 17 2 l 9 l 18 lI A 2 l 14 4 2 4 l 14
5. P e1 e2
en 作正交变换 X PY 代入f ， 2 2 2 f l y l y l y 便得到标准型 1 1 2 2 n n
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例
将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
从而得特征值 2．求特征向量
l1 9, l2 l3 18.
T . ( 1 2 , 1 , 1 ) 将 λ 9代入 λI Ax 0 , 得基础解系 1
1
将l l 18代入lI A x 0 , 得基础解系
2 3
2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
说明
1. 二次型经可逆变换 x Cy后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B C T AC ;
2 . 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形, 就是要使
2 2 2 k 2 y2 k n yn y C T ACy k 1 y1 k1 y1 k2 y 2 ( y1 , y 2 ,, y n ) , y k n n 也就是要使C T AC成为对角矩阵 . T
且有 f 3 y1 y2 y3 y4 .
2 2 2 2
2 2 例3 用正交变换化 f 6x1 24x1x2 x2 为标准形
6 A 12
12 1
l 6 12 lI A l 2 5l 150 (l 10)(l 15) 0 12 l 1
例 试用正交变换化二次型
f X T AX 为标准型
解
2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4
l 1l 42来自2 ( l 4)( l 5) 2
所以
1 3 2 5 P 2 3 1 5 2 3 0
于是所求正交变换为
x1 1 3 2 5 2 45 y1 x2 2 3 1 5 4 45 y2 , x 2 3 y 0 5 45 3 3
3 2 2 2 2 T e3 ( , , ) 3 6 3 6
2 3 1 e3 3 2 3 1 2 0 1 2 2 6 2 2 3 2 6
P e1 e2

作正交变换 ( x1, x2 , x3 )T P( y1, y2 , y3 )T
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y 2 18 y 3 .
例 求一个正交变换x Py , 把二次型 f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x1 x 4 2 x 2 x 3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
1 1 1 0 0 1 1 1 , 二次型的矩阵为 A 1 1 0 1 1 1 1 0
l 1
特 征 值
l1 4,
l2 l3 5
T 对于l1 4, 可得特征向量X1 （21 ， ， 2）
对于l2 l3 5，得到线性无关的特征向量
T T X2 （1 ，0，1） ， X3 （1 ，2，0）
正交化 2 X 2， 3 X 3
[ X 2， 2 ] T （ 0.5, 2, 0.5) 2 [ 2， 2 ]
T T T
B C AC C T AT C C T AC B, 即 B 为对称矩阵. R B R AC R A, B C T AC , 1 T 1 又 A C BC 1 , R A RBC R B . R A R B .
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X1 (2,1, 2)T , 2 (1,0,1)T , 3 (0.5, 2, 0.5)T
X1, 2 , 3是正交特征向量组。
单位化
X1 2 1 2T e1 ( , , ) X1 3 3 3
2 1 1 T e2 ( , 0, ) 2 2 2
得特征值
l1 10
0.8 e2 0.6
l2 15
0.6 P 0.8 0.8 0.6
可求得的单位特征向量顺次为
0.6 e1 0.8
经正交变换X PY ,
2 2 f 10 y1 15 y2
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它的特征多项式为
1 1 1 1 l 1 1 3 ( l 3 )( l 1 ) . lI A 1 1 l 1 1 1 1 l
l
于是A的特征值为l 1 3, l 2 l 3 l 4 1.
当l 3时 , 解方程( 3 I A ) x 0 ,