2020版高考数学大一轮精准复习精练---直线、圆的位置关系Word版含解析

2020版高考数学大一轮精准复习精练
9.2 直线、圆的位置关系
挖命题
【考情探究】
分析解读从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为5分,主要考查:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.
破考点
【考点集训】
考点直线、圆的位置关系
1.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2
B.4
C.6
D.2
答案C
2.若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点,则k的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.
C.
D.(-∞,-1]
答案B
3.(2014安徽,6,5分)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案D
炼技法
【方法集训】
方法1与圆有关的最值问题的求解方法
1.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为( )
A.3
B.
C.2
D.2
答案D
2.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线
mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.
答案(x-1)2+y2=2
方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法
3.(2015安徽文,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12
B.2或-12
C.-2或-12
D.2或12
答案D
4.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
答案B
过专题
【五年高考】
A组自主命题·天津卷题组
1.(2018天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为.
答案
2.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为.
答案2
3.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于
A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为.
答案3
4.(2012天津,12,5分)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为. 答案3
B组统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018课标Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[,3]
D.[2,3]
答案A
2.(2018课标Ⅰ文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= . 答案2
3.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .
答案4
4.(2016课标Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .
答案4
5.(2015湖南文,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .
答案2
6.(2014重庆文,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.
答案0或6
7.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.
答案[-1,1]
8.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.
由题设可得+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.
9.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
解析(1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).
(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线
段AB的中点M(x0,y0),
将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0.
则有x1+x2=,
所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.
因为+=+===3x0,
所以+=.
又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,
所以Δ=36-20(1+t2)>0,解得t2<,所以<x0≤3.
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=.
(3)由(2)知,曲线C:+y2=.
如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).
由得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
当直线L与曲线C相切时,判别式Δ=0,解得k=±.结合图形可以判断,当直线L与曲线C只有一个交点时,有k DG≤k≤k EG或k=k GH或k=k GI,即k∈∪.
评析本题考查了直线和圆的位置关系;考查了求解弦的中点问题的基本方法;考查了运算求解能力和数形结合思想,属偏难题.
C组教师专用题组
1.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或-
B.-或-
C.-或-
D.-或-
答案D
2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )
A.π
B.π
C.(6-2)π
D.π
答案A
3.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的
点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点 D.若·=0,则点A的横坐标为.
答案3
4.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .
答案4±
5.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .
答案2
6.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
解析(1)由已知得解得
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).
由得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.
所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.
==
==(1+m2)(-y1y2),
故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.
故点G在以AB为直径的圆外.
解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=,y1y2=-,
从而
·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+
+=>0,
所以cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外.
评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2017天津河东二模,4)若a,b∈R,直线l:y=ax+b,圆C:x2+y2=1.命题p:直线l与圆C相交;
命题q:a>,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案B
2.(2017天津河西一模,6)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若其渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则此双曲线的离心率等于( )
A. B.2 C. D.
答案B
3.(2018天津南开中学第三次月考,7)已知圆C:x2+(y-2)2=1与双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线相切,且和圆x2+y2=b2外切,则双曲线方程为( )
A.x2-3y2=1
B.3x2-y2=1
C.x2-=1
D.-y2=1
答案B
4.(2018天津一中5月月考,5)已知圆C:x2+y2+2x+2y+1=0与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案B
二、填空题(每小题5分,共25分)
5.(2018天津部分区县期末,13)以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为.
答案x2+=
6.(2018天津和平第一次质量检查,10)若直线l:x+y+1=0与圆x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则a
的值为.
答案1
7.(2018天津部分区县质量检查(2),11)已知直线k(x+1)+y+2=0恒过点C,且以C为圆心,5为半径的圆与直线3x+4y+1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为.
答案2
8.(2018天津南开中学第四次月考,13)已知圆C:(x-m)2+(y-n)2=9的圆心在第一象限,直线l:x+2y+2=0被圆C所截得的弦长为4,则的最小值为.
答案
9.(2017天津十二区县二模,12)已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B两个不同的点,且直线AB与直线3x-y+1=0垂直,则实数a= .
答案3。