云南省昆明市官渡区第一中学2020届高三数学上学期期中试题文

官渡区第一中学2020届高三上学期期中考试
数学试题（文）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合,,则（）
A. B.
C. D.
2.天气预报说在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，为估计这二天中恰有两天下雨的概率,通过设计模拟试验的方法解决同题．利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%，因为是三天，所以每三个随机数作为一组，假如产生20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 341 257 393 027 556 488 730 113 753 989，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）
A．20% B．25% C．30% D．35%
3.都是实数，且，则的值是（）
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
4.在△ABC中角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积，
那么a等于（）
A．B．7 C．17 D.
5.已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p ∧q，p∨q，p，q中，真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6.已知a和b是平面α内两不同直线，β是一个平面，下列结论正确的是（）
A．若a∥β，b∥β，则a∥b B．若a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a⊥β，则α⊥β D．若a和b与β所成角相等，则a∥b
7 已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
8.已知向量=（1，-3）,=（2，-1），=,若A,B,C 三点共线，则实数的值是 ( )
A.1
B.
C.
D. 3
9．已知函数f （x ）＝sin ωx ﹣cos ωx （ω＞0），若f （）f （）＝﹣4，且| |的最小
值为，则（ ）
A ．在[0，]是增函数
B ．在[0，]上是减函数
C ．在[，]上是增函数
D ．在[，]上是减函数
10.点P 在曲线y ＝x 3－x ＋上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. [0，
] B. [0，
)∪[
，π) C .[
，π) D. (
，
]
11.在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥AC ，AB =3，AC =4，BB 1=3，则面积
的最大值是( ) A 9π B 4π C 227π D 3
4π
12.已知函数
满足：
，当
若不等式
恒
成立，则实数的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分）
13. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为______.
14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()2f x log x =-，则
()()2f f =________
15.若不等式－x ＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则的取值范围是___________. 16 已知F 是抛物线C ：
的焦点，P 是C 上一点，直线FP 交直线
于点Q.若
= 2，
则=__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分 17.已知数列的前项和为．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18.如图1在梯形ABCD 中，ABCD ，AB ＝3，CD ＝6，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，已知DE ＝1，AE ＝3，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE ∥平面BCF ，得到图2．
(1)证明：BE ∥平面ACD ； (2)求三棱锥C ﹣AED 的体积．
19.某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与患感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月份至3月份每月5日.20日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表
A
F
C
E F
图1
图2
该小组确定的研究方案是：先从这六组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验.
(1)求剩余的2组数据中至少有一组是20日的概率；
(2)若选取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四组数据． ①请根据这四组数据，求出y 关于x 的线性回归方程
（
，
用分数表示）；
②若由线性回归方程得到的估计数据与剩余的检验数据的误差均不超过1人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问①中所得线性回归方程是否理想？
附参考公式：⎩⎪
⎨⎪⎧
b ^
＝∑i ＝1n
(x i
－x )(y i
－y )∑i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x y ∑i ＝1
n
x 2i
－n x
2
，
a ^
＝y －b ^
x ，
20.已知椭圆
右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的直线分
别交椭圆于A,B 和C,D 两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求以为顶点的四边形的面积的取值范围；
21.已知函数． (1)当
时，求证：
；
(2)讨论函数在R 上的零点个数，并求出相对应的的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22 [选修4-4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系中以O为极点，轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，已知点A，B的极坐标分别为（2,），（4，0），曲线的极坐标方程为ρ＝2，将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，坐标变为原来的倍，得曲线
(1)求曲线及直线AB的直角坐标方程；
(2)设M为上的动点，求△MAB面积的取值范围．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，为不等式的解集；
(1)求；
(2)证明：当时，.
2020届高三11月月考数学试题（文）答案一选择题
1-5 ABCAB 6-10 CBDDB 11-12 BA
二填空题
13. 6 14. 0
15. 16 8
三（一）必考题：60分
17．已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
解：（1）当时，.
因为，所以，所以.
因为，所以.
两式相减，得，即
又因为，所以.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）可知
故当为偶数时，
当为奇数时，
所以
18.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝6，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为
E，F，已知DE＝1，AE＝3，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图2．
（1）证明：BE∥平面ACD；
（2）求三棱锥C﹣AED的体积．
【解答】（1）证明：设AF∩BE＝O，取AC中点M，连接OM．
∵四边形ABFE为正方形，∴O为AF中点，∵M为AC中点，∴．
∵平面ABFE．
又∵平面ADE∥平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABFE，同理，CF⊥平面ABFE．
又∵DE＝1，FC＝2，∴，
∴，∴四边形DEOM为平行四边形，∴DM∥OE．
∵DM⊂平面ADC，BE⊄平面ADC，∴BE∥平面ADC．
（2）解：∵平面ADE，
∴点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离．
∴．
19.某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与患感冒人数之间的关系，分别到当地气象部
门和某医院抄录了1月份至3月份每月5日.20日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人
余的2组数据进行检验
（1）求剩余的2组数据中至少有一组是20日的概率；
（2）若选取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四组数据．
①请根据这四组数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+（，用分数表示）；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与剩余的检验数据的误差均不超过1人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问1中所得线性回归方程是否理想？
附参考公式：：＝＝，＝﹣b
解：（1）设样本的六天分别为:A,B,C,D,E,F
剩下两天的基本事件为：AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF 共计15个基本事件.
其中含B D F D的有AB AD AF BC BD BE BF CD CF DE DF EF共计12种
所以概率为：
（2）①由所选取的数据得
＝×（11+13+12+8）＝11，
＝×（25+29+26+16）＝24，
计算＝＝＝，
＝﹣b＝24﹣×11＝﹣，
所以y关于x的线性回归方程为＝x﹣；
②当x＝10时，＝×10﹣＝，|﹣22|＝＜1；
当x＝6时，＝×6﹣＝，|﹣12|＝＜1；
所以该小组所得线性回归方程是理想的．
20.．已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦
.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2)求以为顶点的四边形的面积的取值范围；
解：(1) 由题意：，
∴，
则椭圆的方程为
(2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时，
②当两直线斜率存在且都不为0时，
设直线方程为
将其带入椭圆方程整理得：
同理，
，当时，
综上所述四边形面积范围是
21. 已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
解：（1）当时，，
令，则.
令，得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以是的极小值点，也是最小值点，
即
故当时，成立.
（2），由，得.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以是函数的极小值点，也是最小值点，
即.
当，即时，在上没有零点.
当，即时，在上只有一个零点.
当，即时，因为，
所以在内只有一个零点；
由（1）得，令，得，
所以，于是在内有一个零点；
因此，当时，在上有两个零点.
综上，时，函数在上没有零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22 [选修4-4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中以O为极点，x轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，已知点A，B的极坐标分别为（2），（4，0），曲线C1的极坐标方程为ρ＝2，将曲线C1上每一点的横坐标变为原米的倍，坐标变为原来的倍，得曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1及直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M为C2上的动点，求△MAB面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A，B的极坐标分别为（2），（4，0），曲线C1的极坐标
方程为ρ＝2，
∴点A，B的直角坐标分别为（ 0，﹣2）、（4，0），曲线C1的极坐标方程为x2+y2＝4，
故直线AB的直角坐标方程为+＝1，即x﹣y﹣4＝0．
（Ⅱ）将曲线C1上每一点的横坐标变为原米的倍，坐标变为原来的倍，得曲线C2：
+（2y）2＝4，即+y2＝1．
设点M（cosθ，sinθ），则M到直线AB的距离为d＝＝
，
故当cos（θ+）＝1时，d最小为，△MAB面积•|AB|•d取得最小值为•2•
＝2；
当cos（θ+）＝﹣1时，d最大为2，△MAB面积•|AB|•d取得最大值为•2•
2＝6，
故△MAB面积的取值范围为[2，6]．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，为不等式的解集；
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，.
（Ⅰ）解：，
由的单调性及得，或，解得或.
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，，
所以，，，
所以，从而有.。