人教版数学高一-数学《函数的奇偶性和函数的周期性》学案

函数的奇偶性与周期性 姓名____________
【知识要点】 奇偶性的定义：
周期性的定义及相关性质：
教学目标：1．奇偶性定义及其性质的理解．２．周期性定义及其性质的理解．３．奇偶性，周期性的证明．
教学重难点：１．如何证明函数不具备奇偶性．２．如何写出周期函数的解析式 例1． 判断下列函数的奇偶性：
(1) 22log )(2+-=x x x f ， （2）2
1
121)(+-=x x f ， （3）)1(log )(22x x x f -+=
(4) 2|2|)1lg()(2---=x x x f ， （5）⎪⎩⎪⎨⎧<->+=0
sin 0
sin )(2
2x x x x x x x f
例2. 构造奇、偶函数解题：
（1）设8)(3
5-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则_________)2(=f 。

（2）设4)(-+
=x b
kx x f ，当32+=x 时，0)(=x f ，求)2
31(
-f 的值。

例3. 由奇偶性求函数的解析式：
（1）设)(x f 是R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(3
x x x f -=，求R x ∈时，)
(x f 的解析式。

（2）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，2
()lg(1)f x x x =++，求)(x f 在R 的解析式。

若偶函数)(x f 的定义域为R ，当0≤x 时，12)(2
++-=x x x f ，则R x ∈时，)(x f 的解析式。

（上述思想可推广成一般点对称或轴对称） 例4. 综合应用： （1）已知1
1log )(--=x kx
x f a
是奇函数. （0>a 且1≠a ） 10 求k 的值，并求该函数定义域， 20 判断)(x f 在（1，)∞+上的单调性。

03 当12a =
时，若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2
x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围。

（2）已知函数()sin tan .f x x x =+项数为27的等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭，且公差0d ≠，若1227()()()0f a f a f a +++=，则当____________k =时，()0.k f a =
例5．定义在R 上的函数()y f x =满足条件：()f x 不是常数函数；且(2)()f x f x -=与
(1)(1)f x f x -=+对任意x R ∈成立，则对于下述命题中：
（1）()f x 是周期函数；（2）()f x 的图像关于直线1x =成轴对称；（3）()f x 的图像关于y 轴对称；（4）()f x 的图像关于原点成中心对称。

正确命题序号是__________________。

例6．设函数()y f x =定义在R 上，且(1)(1)f x f x +=-恒成立，且当(1,1]x ∈-时，
2()f x x =。

（1）求(1,3]x ∈时，()f x 的表达式； （2）求(3),(3.5)f f 的值。

（３）若x R ∈，求()f x 的解析式． 课后总结：
作业： 1．2()
1
()02
1
x
f x
g x x 是偶函数，且()g x 不恒为零，则()g x 是（ ）
（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）既不是奇函数又不是偶函数 2．对于定义域为R 的任意奇函数()f x ，都有（ ） （A ）()
()0f x f x （B ）()()0f x f x （C ）()()0f x f x （D ）()()
0f x f x
3．已知()f x 是奇函数，则下列各点中是函数()y f x 图象上的点的是（ ）
（A ）(,())a f a （B ）(,
())a f a （C ）1
1
(,
())f a a
（D ）(,())a f a 4．已知函数1()lg
.().1x
f x f a b x
若则()
f a （ ）
（A ）b （B ）b - （C ）1
b （D ）1b
5．设()f x 是(
,)上的奇函数,(2)()f x f x ,且当01x 时,()
f x x ,则
(7.5)___f 。

6．设函数()f x 在(0,2)上是增函数，函数(2)f x 是偶函数，则57
(1),(),()22
f f f 的大小
关系为_______________。

7．设奇函数()f x 的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, ()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 。

8．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数。

若()f x 的最小
正周期是π，且当[0,]2
x
时，()sin f x x ，则5
(
)3
f 的值为__________。

9．已知定义在R 上的偶函数，)(x f 在),0[∞+上为增函数，且0)3
1
(=f ，则不等式
0)(log 8
1>x f 的解为：_________________。

10．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，()lg f x x =，则满足()f x ＞0的x 的取值范围是
11．已知函数1()2
2
1
x
a f x x R ，实数a 为何值时，()f x 具有奇偶性？并证明你
的结论。

１２．是否存在实数a ，使函数(2=-()log f x x a 为奇函数，同时使函数11⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
()x g x x a a 为偶函数，证明你的结论。

１３．已知函数0()(2
≠+=x x
a x x f ，常数)a ∈R ，讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明
理由。

１４．设函数()y f x =的图像关于直线,x a x b ==分别对称，()a b ≠，求证：函数()f x 的周期是2()b a -。

１５．已知()f x 为定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间
(]21,21k k -+，已知0x I ∈时，()2f x x =
（1）求()f x 在k I 上解析式
（2）对自然数k ，求集合(){}
k k M a f x ax I ==使方程在上有两个不相等的实根。