鲁教版五四制七年级上册数学 第三章 勾股定理 阶段核心题型 勾股定理解题的十种常见题型

5 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
【点拨】根据折叠前后，重合的 图形全等，得到相等的线段．在 新增的Rt△C′BF中，利用折叠的性 质，表示出各边长，列方程求 解．
解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等，所以 CF＝C′F. 设BF＝x，因为BC＝9， 所以CF＝9－x.所以C′F＝9－x. 由题意得BC′＝3. 在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2， 即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4. 所以BF的长是4.
8 如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处， 某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B 处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后 沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后 是沿哪个方向行走的？并说明理由．
解 ： 小 明 在 河 边 B 处 取 水 后 是 沿 南 偏 东 60° 方 向 行 走 的．理由如下： 由题易知AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，所以AB2 ＋BC2＝AC2.所以∠ABC＝90°. 又因为AD∥NM， 所以∠NBA＝∠BAD＝30°. 所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°. 所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
10 如图，已知长方体的长为4cm，宽为2cm，高 为8cm.一只蟑螂如果沿长方体的表面从A点爬 到B′点，那么最短的路程是多少？
【点拨】本题运用分类讨论思想， 将长方体沿不同展开方式展开， 利用两点之间线段最短去确定路 线，最后利用勾股定理计算．
解：根据题意，有以下三种情况： (1)如图①，连接AB′，AB′2＝AB2＋BB′2＝100； (2)如图②，连接AB′，AB′2＝AC2＋B′C2＝116； (3)如图③，连接AB′，AB′2＝AD2＋B′D2＝148； 综上所述，最短的路程应为如 图①所示的情况，此时AB′2＝ 100，即AB′＝10cm，故最短 的路程为10cm.
所以 t2＝32＋(t－4)2，解得 t＝285. 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，
t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
7 如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300m，到公交 站(D点)的距离为500m．现要在公路边上建一个商店(C
点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公
6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝ 3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设 运动的时间为ts. (1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52 －32＝16，所以BC＝4cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
交站D之间的距离．
解：设CD＝xm，则AC＝xm，作AB⊥l于点B，则AB ＝300m. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300m，AD ＝500m，所以BD＝400m.所以BC＝(400－x)m. 在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2， 所以x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5. 所以商店C与公交站D之间的距离为312.5m.
解得 t＝245.
故当△ABP 为直角三角形时，t＝4 或 t＝245.
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况： Ⅰ.如图①，当BP＝BP＝2BC＝8 cm，t＝8； Ⅲ .如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm， AC＝3 cm， 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，
解：由题意知BP＝tcm，当△ABP为直角三 角形时，有两种情况： Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时， 点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4.
Ⅱ.如图②，当∠BAP 为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm， AC＝3 cm， 在 Rt△ACP 中，AP2＝32＋(t－4)2； 在 Rt△BAP 中，AB2＋AP2＝BP2， 即 52＋[32＋(t－4)2]＝t2，
3 如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.试说明： BP2＝BC2＋AP2.
解：如图，连接BM. 因为MP⊥AB，所以△BMP和△AMP均为直角三角形． 所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2. 同理可得BC2＋CM2＝BM2. 所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2. 又因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2. 所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. 所以BP2＝BC2＋AP2.
在△EDB 与△FDC 中，∠BDE＝BDC＝D，∠C， ∠EDB＝∠FDC，
所以△ EDB≌△FDC(ASA)． 所以 BE＝FC＝3. 所以 AB＝7，则 BC＝7.所以 BF＝4. 在 Rt△EBF 中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25， 所以 EF＝5.
如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD， 2
AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定 理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤：①找出 图中说明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三 边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．
解：因为CD⊥AD，所以∠ADC＝90°， 即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2. 又因为AD2＝2AB2－CD2，所以AD2＋CD2＝2AB2. 所以AC2＝2AB2. 因为∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形． 由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2， 所以AB2＋BC2＝2AB2. 所以BC2＝AB2，即AB＝BC.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°， 4
∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的 长度．
【点拨】当已知条件比较分散且 无法直接使用时，往往通过作辅 助线构造特殊三角形进行计算．
解：如图，连接 BD，作 BE⊥AD 于点 E. 因为 AB＝AD，∠A＝60°， 所以∠1＝∠ABD＝180°－2 60°＝60°. 易得△ BAE≌△BDE. 所以 BD＝AB＝8. 又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°. 设 BC＝x，则 CD＝16－x，由勾股定理得 x2＝82＋(16－x)2. 解得 x＝10.所以 BC＝10，CD＝6.
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第三章勾股定理
阶段核心题型 勾股定理解题的十种常见题型
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答案呈现
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如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°， 1
点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，
交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：如图，连接BD. 因为在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点， ∠ABC＝90°，所以BD⊥AC，BD平分∠ABC. 所以∠ABD＝∠CBD＝45°. 又易知∠C＝45°，所以∠ABD＝∠CBD＝∠C. 易知BD＝CD.因为DE⊥DF，BD⊥AC， 所以∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF. 所以∠FDC＝∠EDB.
9 如图，圆柱形玻璃容器高10cm，底面周长为30cm，在外 侧距下底1cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形
容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有食物，求蚂蚁要
吃到食物所走最短路线的长度．
解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开， 连接SF，过点S作SP⊥MN于点P， 由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，SP＝15cm， 在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289， 所以SF＝17cm. 因此，蚂蚁要吃到食物 所走最短路线的长为17cm.