用待定系数法确定二次函数表达式

用待定系数法确定二次函数表达式
知识点一、二次函数解析式的三种形式
1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；
2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；
3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.
例：二次函数化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】A
【解析】
故选A．
知识点二、待定系数法求二次函数表达式
在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.
1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.
2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.
3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
例：若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为 ．
【解答】y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），
可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，
又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝3，
∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，
故答案为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
巩固练习
一．选择题
1．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）
A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣2
2．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
3．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（ ）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5
4．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x﹣7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣16
C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣16
5．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1
6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3
7．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+3
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝2B．y＝2C．y＝8x2D．y＝9x2
9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
10．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1
11．将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x+2）2+1
C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
12．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+1
二．填空题
13．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式 ．14．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．
15．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．
16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此函数的解析式为 ．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．
18．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 ．
19．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+ ．
20．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符
合条件的二次函数解析式 ．
21．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式是 ．
22．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ．
23．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
24．已知函数y＝﹣x2+2x+c2的部分图象如图所示，则c＝ ，当x 时，y随x的增大而减小．
三．解答题
25．已知二次函数的图象经过（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13）三点，求此二次函数的解析式．
26．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S
△AOB =1
2
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
时，求m的值．
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的3
4
28．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．
（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；
（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；
（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B两点，对称轴为x＝1，与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜4）．连接BC．
（1）求抛物线的函数解析式；
时，求点P的坐标；
（2）当△BCP的面积等于9
2
30．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；
（2）该抛物线有一点D，使得S
△DBC ＝S
△EBC
，求点D的坐标．
31．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）对于该二次函数图象上的两点A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），设t≤x
1
≤t+1，当x
2
≥5时，均有y
1
≤y
2
，请结
合图象，直接写出t的取值范围．
32．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C 作CE∥x轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．
（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落
到y轴上时，求△EGP的面积．。