2021年山东省青岛市平度第二中学高三数学理联考试卷含解析

2021年山东省青岛市平度第二中学高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于
A． B．1 C．或
1 D．
参考答案：
【知识点】等差数列的性质等比数列前n项和D2 D3
A解析：因为、、成等差数列，所以，若公比，，所以
，当时，可得，整理可得：，故选择A.
【思路点拨】根据等差数列的性质列的，当公比，等式不成立，当时，再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到，
2. 某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用
原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，
那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
答案：C
解析：某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为
元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为，选C.
3. 函数的部分图象如图，则
A.；
B. ；
C. ；
D. 。

参考答案：
C
4. 己知全集U＝R，集合A＝{x｜－2＜x＜2}，B＝{x｜－2x≤0}，则A∩B＝
A．（0，2） B．[0，2） C．[0，
2] D．（0，2]
参考答案：
B
略
5. 已知复数Z满足（i﹣1）=2，则Z=( )
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
参考答案：
C
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算求得，求其共轭复数得答案．
解答：解：由（i﹣1）=2，得
，
∴Z=﹣1+i．
故选：C．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
6. 某正三棱柱的三视图如右图所示，其中正视图是边长为2
的正方形，则该正三棱柱的表面积为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
B
略
7. 双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点P为双曲线C 左支上一点，若△APF周长的最小值为6b，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意求得A，F的坐标，设出F'，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF'|+2a，则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF'|+2a+a，运用三点共线取得最小值，可得4a=6b，由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（0，b），F（c，0），设F'（﹣c，0），
由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2a，
|PF|=|PF'|+2a，
|AF|=|AF'|==a，
则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF'|+2a+a
≥|AF'|+3a=4a，
当且仅当A，P，F'共线，取得最小值，且为4a，
由题意可得4a=6b，
即b=a，
c==a，
则e==，
故选：D．
8. 已知定义在R上的函数对任意的x满足，当-l≤x<l
时，．函数若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是
A． B.
C. D．
参考答案：
B
9. 已知向量，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k满足的条件是（）
A．k=﹣16 B．k=16 C．k=﹣11 D．k=1
参考答案：
D
【考点】96：平行向量与共线向量．
【专题】34 ：方程思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．
【分析】根据题意，由向量的坐标可得向量=（﹣1，1），=（k+2，k﹣4）的坐标，分析可得若A、B、C三点不能构成三角形，即A、B、C三点共线，则有∥，由向量平行的坐标表示公式可得2k=2，解可得k的值，即可得答案
【解答】解：根据题意，向量，
则=（﹣1，1），=（k+2，k﹣4），
若A、B、C三点不能构成三角形，即A、B、C三点共线，
则有∥，即有2+k=4﹣k，
解可得k=1，
故选：D
10. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是
A. 12
B.
C.
D.
参考答案：
A 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则
R= ．
参考答案：
设三点分别为A 、B、C ，球心为O ，由题意知∠AOB =∠AOC =∠BOC =，所以
AB =BC =CA=R ，
所以小圆半径为，小圆周长为，解得R=.
12. 一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为(用数值作答)．
参考答案：
13. 已知、为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?= ．
参考答案：
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得、、的值，可得（2﹣）?的值．
【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=， ==1，∴（2﹣）?=2﹣=1﹣1=0，
故答案为：0．
14. 已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是 .
参考答案：
15. 设x，y满足约束条件，向量，且a∥b，
则m的最小值为．
参考答案：
16. 给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题：
（1）m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面；
（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
（3）若l?α，m?α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β；
（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m
其中真命题是（填序号）
参考答案：
（1）、（2）、（3）
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】综合题；阅读型．
【分析】对于（1）可根据异面直线的定义进行判定，对于（2）可根据线面垂直的判定定理进行判定，对于（3）根据面面平行的判定定理进行判定，对于（4）列举出所以可能即可．
【解答】解：（1）m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面，根据异面直线定义可知正确；
（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，根据线面垂直的判定定理可知正确；
（3）若l?α，m?α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β，根据面面平行的判定定理可知正确；（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m平行、相交、异面，故不正确；
故答案为：（1）、（2）、（3）
【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系、以及直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．
17. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
参考答案：
(－5，0)∪(5，＋∞)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，．（Ⅰ）若,
，问：是否存在这样的负实数，使得在处存在切线且该切线与直线平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）已知，若在定义域内恒有，求的最大值
．
参考答案：
（I ）由题意，定义域………………………….2分
不妨假设存在，则
当时，
….3分
…………………………5分
当时，
存在，………………………….6分
（II）（方法一）
①当时，定义域，则当时，，不符；….7分
②当时，（）
当时，；当时，
∴在区间上为增函数，在区间上为减函数
∴在其定义域上有最大值，最大值为
由，得
∴
∴…………………………..………….12分
设，则。

∴时，；时，
∴在区间上为增函数，在区间上为减函…….14分
∴的最大值为，此时.…….15分
（方法二）
，则. 由和的图像易得.…….7分且直线斜率小于等于如图中的切线斜率（切线过点）
设切点
，令图像在处切线斜率为，则，即切点代入直线，只要即可
∴………..…….12分∴
设，则
∴时，；时，
∴在区间上为增函数，在区间上为减函数…………….14分
∴的最大值为，此时.…..…….15分
19. 在△ABC中内角A所对边的长为定值a，函数f（x）=cos（x+A）+cosx的最大值为．（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积的最大值为2+，求a的值．
参考答案：
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（x+A）+cosx
=cosxcosA﹣sinxsinA+cosx=cosx（1+cosA）﹣sinxsinA
=cos（x+θ）（θ为辅助角），
则f（x）最大值为=，
由于A为三角形的内角，则为2cos=，
则=15°，则A=30°；
（Ⅱ）由于a2=b2+c2﹣2bccos30°≥2bc﹣，
即有bc≤，
则bcsin30°=bc≤，
当且仅当b=c取得最大值．
则由△ABC的面积的最大值为2+，
则有=2，解得a=2．
略
20. （本小题满分12分）
如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，
侧棱，为的中点．
(1)求证:；
(2)若，求点到平面的距离．参考答案：21. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（a＞0）
（Ⅰ）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P （x0，g （x0））处的切线平行，求实数x0的值；
（Ⅱ）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（I）把a=1导入解析式，并求出f′（x）和g′（x），根据切线平行对应的斜率相等列出方程，求出x0的值；
（II）根据条件设F（x）=f（x）﹣g（x）﹣，再把条件进行转化，求出对应的解析式和导数，求出临界点，并根据导数与函数单调性的关系列出表格，再对a进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，再求出对应的最小值，列出不等式求出a的范围．
【解答】解：（I）把a=1代入得，，
则，
∵f（x）在点M （x0，f（x0））处的切线与g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，
∴，解得x0=1，
所以x0=1，
（II）由题意设F（x）=f（x）﹣g（x）﹣=lnx+，
∵?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+，
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
则，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：
∴F（e）=1，得，∴a≥e
当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，
则F（a）为最小值，所以F（a）=lna，得a≥，
∴
综上，a≥．
22. 如图，在四面体ABOC 中, , 且.
（Ⅰ）设为为的中点，证明：在
上存在一点，使，并计算的值；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

参考答案：
解法一：
（Ⅰ）在平面内作交
于，连接。

又，
，。

取为的中点，则。

在等腰中，，
在中，，
在中，，.
（Ⅱ）连接，由，知：.
又，
又由，.
是在平面内的射影.
在等腰中，为的中点，
根据三垂线定理，知：,
为二面角的平面角.
在等腰中，，
在中，，中，.
解法二：（Ⅰ）取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）,则, 为中点，.
设.
即，。

所以存在点使得且. （Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，且，得，故可取
又平面的法向量为..
二面角的平面角是锐角，记为，则.
略。