四川省乐山市高三数学上学期期末试卷 文(含解析)

2014-2015学年四川省乐山市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，全集U={1，2，3，4，5，6}，则∁U（A∩B）=（）
A．{2，3} B．{1，4，5} C．{1，4，5，6} D．{1，2，3，4，5}
2．命题“∃x0∈R，使得”的否定是（）
A．∀x∈R，都有B．∀x∈R，都有
C．∃x0∈R，都有D．∃x∉R，都有
3．已知点P（1，y0）在抛物线y2=8x上，则点P到抛物线焦点F的距离为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知=， =， =3，用，表示，则等于（）
A． +B．+C．+D．+
5．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（x＞0且a≠1），且
的值为（）
A．B．3 C．9 D．
6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1概率为（）A．B．C．D．π
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（）
A．﹣B．C．D．﹣
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知A，B，C，D是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，D为图象上的最低点，C为该函数图象的一个对称中心，B与E关于点C对称，在x轴上的投影为，则的
值为（）
A．B．C． D．
10．若定义域为D的函数f（x）满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“半值函
数”．
已知函h（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（0，）
二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．复数的虚部是．
12．已知向量，，且∥，则的值为．13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．
14．已知直线x+ay﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a= ．
15．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=﹣x3+x+1；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16．已知函数（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小
正周期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积．
17．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；
（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC，D、E、F分别是BC、BB1、CC1的中
点．
（1）求证A1E∥平面ADF；
（2）若AB=1，求C到平面ADF的距离．
19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n ﹣2b n+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．
21．已知曲线f（x）=x3+bx2+cx在点我A（﹣1，f（﹣1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）（x∈[﹣，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使得f′（x0）+alnx0≤ax0成立（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），求实数a的取值范围．
2014-2015学年四川省乐山市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，全集U={1，2，3，4，5，6}，则∁U（A∩B）=（）
A．{2，3} B．{1，4，5} C．{1，4，5，6} D．{1，2，3，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；规律型；集合．
【分析】直接利用已知条件求出交集，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，全集U={1，2，3，4，5，6}，则A∩B={2，3}
∁U（A∩B）={1，4，5，6}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
2．命题“∃x0∈R，使得”的否定是（）
A．∀x∈R，都有 B．∀x∈R，都有
C．∃x0∈R，都有D．∃x∉R，都有
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；规律型；简易逻辑．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，使得”的否定是：∀x∈R，都有．
故选：A．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3．已知点P（1，y0）在抛物线y2=8x上，则点P到抛物线焦点F的距离为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】确定抛物线y2=8x的准线方程，利用M到焦点F的距离等于M到准线的距离，即可求得结论．
【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为：x=﹣2，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是1，
∴P到焦点F的距离是1+2=3．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线定义的运用，属于基础题．
4．如图，已知=， =， =3，用，表示，则等于（）
A． +B．+C．+D．+
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】根据向量加法的三角形法则可得要求只需求出即可而根据题中条件=3
可得故只需利用向量的减法求出即可得解．
【解答】解析：∵=， =
∴根据向量减法的定义可得=
∵=3
∴=
∴根据向量加法的三角形法则可得=+=
故选B
【点评】本题主要考察向量的加法，减法的三角形法则，属基础题，较易．解题的关键是利用条件=3得出这一结论！
5．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（x＞0且a≠1），且
的值为（）
A．B．3 C．9 D．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】根据对数的定义，得到=﹣2，结合奇函数f（x）满足，
化简整理可得f（2）=3．再利用当x＞0时，函数的表达式，代入得a2=3，解之得a=（舍负）．
【解答】解：∵奇函数f（x）满足， =﹣2＜0，
∴f（2）=3
又∵当x＞0时，f（x）=a x（x＞0且a≠1），2＞0
∴f（2）=a2=3，解之得a=（舍负）
故选A
【点评】本题给出含有对数的自变量，在函数为奇函数的前提下求参数a的值，着重考查了对数的运算性质和函数奇偶性质的应用，属于基础题．
6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1概率为（）A．B．C．D．π
【考点】几何概型．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，以及动点P到定点A的距离|PA|≤1对应的平面区域面积，代入几何概型计算公式加以计算，可得所求概率．
【解答】解：作出满足条件的正方形ABCD，如图所示．
其中使得动点P到定点A的距离|PA|≤1的平面区域，是以A为圆心半径等于1的扇形ABD 内部，如图中阴影所示．
∵正方形的面积S=1，扇形ABD的面积S′=
∴动点P到定点A的距离|PA|≤1的概率P==．
故选：C．
【点评】本题给出正方形ABCD内的动点P，求|PA|≤1的概率．着重考查了正方形与扇形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（）
A．﹣B．C．D．﹣
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离．
【专题】计算题；空间角．
【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值．
【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）
∴=（0，2，1），=（0，2，﹣1），
设异面直线AE与D1F所成角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|=|0|=．
故选B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】程序框图．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值重新为2时变量n的值，并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环
循环前 2 1/
第一圈﹣1 2 是
第二圈 3 是
第三圈 2 4否
则输出的结果为4
故选D
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．
9．已知A，B，C，D是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，D为图象上的最低点，C为该函
数图象的一个对称中心，B与E关于点C对称，在x轴上的投影为，则的
值为（）
A．B．C． D．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据在x轴上的投影为，得到，根据三角函数的图象和性质分别求出
ω 和φ的值即可得到结论．
【解答】解：如图，设在点B左侧图象上的与之相邻的最高点为G，
则由在x轴上的投影为，知在x轴上的投影为，即|OF|=，
又∵，∴|AF|=+==，
即函数的周期T=π，
∵T==π，∴ϖ=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
所以，
∴sin（2×+φ）=0
即+φ=kπ，
即φ=kπ﹣，
∵0＜φ＜π，
∴当k=1时，φ=π﹣=，∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象确定ω 和φ的值是解决本题的关键．
10．若定义域为D的函数f（x）满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“半值函
数”．
已知函h（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（0，）
【考点】对数函数的图像与性质；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质以及复合函数的单调性可知h（x）都是R 上的增函数，再根据“半值函数”的定义得到log c（c x+t）=，构造关于m的方程，根据根
与系数的关系，即可得到结论．
【解答】解：∵h（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1），c＞1或0＜c＜1，h（x）都是R上的增函数，
∴，即log c（c x+t）=，即c x+t=有两不等实根，
令c x=m（m＞0）
∴t=m﹣m2有两不等正根，
∴
解得0＜t＜．
故选：D．
【点评】本题考查了新定义，以及对数函数指数函数的图象和性质，复合函数的单调性，方程根的问题，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．复数的虚部是﹣1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；规律型；函数思想；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：，∴z的虚部为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基础题．
12．已知向量，，且∥，则的值为．
【考点】向量的模；平行向量与共线向量．
【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用．
【分析】利用向量的平行关系求出x，然后求解向量的模．
【解答】解：∵∥，∴﹣3x=12，∴x=﹣4，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查向量的共线以及向量的求法，是基础题．
13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 3 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．
【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，
所以体积．
故答案为：3．
【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．
14．已知直线x+ay﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a= 4±．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=4的圆心C（a，1），半径R=2，
∵直线和圆相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心到直线的距离为Rsin60°=，
即d==，
平方得a2﹣8a+1=0，
解得a=4±，
故答案为：4±．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键．
15．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=﹣x3+x+1；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．以上函数是“H函数”
的所有序号为②③．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】新定义；函数的性质及应用．
【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，
∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y’=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递
增，满足条件．
③y=e x+1为增函数，满足条件．
④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，
不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16．已知函数（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小
正周期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由函数的最大值求出A，由周期求得ω，从而求得函数的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q两点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得cos∠POQ，可得sin∠POQ 的值，根据△POQ的面积为，运算求得结果．
解法2：先求出P、Q两点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点Q到直线OP的距离d以及OP的长度，再根据△POQ的面积为运算求得结果．
【解答】（1）解：∵f（x）的最大值为2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期为8，∴，得．…（2分）
∴f（x）=2sin（x+）．…（3分）
（2）解法1：∵，…（4分）
∴，…（5分）
∴．
∴．…（8分）
∴．…（10分）
∴=．…（11分）
∴△POQ的面积为=．…（12分）
解法2：∵，…（4分）
∴，…（5分）
∴．
∴直线OP的方程为，即．…（7分）
∴点Q到直线OP的距离为．…（9分）
∵，…（11分）
∴△POQ的面积为=．…（12分）
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．
17．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；
（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（I）利用小矩形的面积和为1，求得x值；
（II）求得续驶里程在[200，300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；（III）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．
【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50=1，
∴x=0.003；
（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）=5；（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，
续驶里程在[250，300]的车辆数为2，
从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；
其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法有•=6种，
∴恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率为=．
【点评】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC，D、E、F分别是BC、BB1、CC1的中
点．
（1）求证A1E∥平面ADF；
（2）若AB=1，求C到平面ADF的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）取B1C1中点M，连接EM，A1M，由已知得平面ADF∥平面A1EM，由此能证明A1E∥平面ADF．
（2）利用等体积求出C到平面ADF的距离．
【解答】（1）证明：取B1C1中点M，连接EM，A1M，
∵DF∥EM，AD∥A1M，AD∩DF=D，A1M∩EM=M，
∴平面ADF∥平面A1EM，
∵A1E⊂平面A1EM，
∴A1E∥平面ADF．
（2）解：∵AB=AC=AA1=BC=1，D是BC的中点．
∴AD⊥BC，AD⊥DF，AD=DC=，CF=1，DF=，
设C到平面ADF的距离为h，则，
∴．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查C到平面ADF的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n ﹣2b n+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；
（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
由题意，得，解得，
∴a n=4n；
∵T n﹣2b n+3=0，∴当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，
两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）
又当n=1时，b1=3，
则数列{b n}为等比数列，
∴；
（Ⅱ）
∴P2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（b2+b4+…+b2n）
=
=22n+1+4n2+8n+2．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与前n项和公式，考查方程在数列中的运用，考查数列的求和方法：分组求和，必须掌握．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由离心率为，即可得a2=2b2，从而C：，再把点
代入椭圆方程即可求得b2，进而得到a2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出焦点F1，F2的坐标，设直线MN的方程为y=k（x+2），由直线MN与直线PQ互相垂直得直线PQ的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立直线MN与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到为定值．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，得．
所以a2=2b2．
所以C：，即x2+2y2=2b2．
因为椭圆C过点，所以，
得b2=4，a2=8．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．
则，．
所以|MN|===．
同理可得|PQ|=．
所以==．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握．
21．已知曲线f（x）=x3+bx2+cx在点我A（﹣1，f（﹣1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）（x∈[﹣，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使得f′（x0）+alnx0≤ax0
成立（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）由曲线在A、B两点处的切线互相平行，则函数在x=﹣1和x=3时的导数相等，再由0是函数的一个极值点，则x=0时的导数是0，联立方程组即可解得实数b，c的值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，根据导函数的符号分析出原函数在[﹣，3]内的单调区间，找出函数在（﹣，3）上的极值点，求出极值，把极值和端点处的函数值比较后，根据函数y=f（x）的图象与y=m恰有三个交点即可得到实数m的取值范围；
（Ⅲ）存在x0∈[1，e]，使得f′（x0）+alnx0≤ax0成立，可转化为函数
在[1，e]上的最小值小于等于0，求出函数g（x）的导函
数，通过对a分类求解函数g（x）在[1，e]上的最小值，由最小值小于等于0求解实数a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x3+bx2+cx，得f′（x）=3x2=2bx+c，
∵曲线f（x）=x3+bx2+cx在点A（﹣1，f（﹣1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0，
∴，即，解得：．
∴实数b，c的值分别为﹣3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x3﹣3x2，∴f′（x）=3x2﹣6x，
由f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函数f（x）在区间，（2，3]上递增，在（0，2）上递减．
且，f（0）=0，f（2）=23﹣3×22=﹣4，f
（3）=33﹣3×32=0．
∴函数y=f（x）（x∈[﹣，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，则．
故所求实数m的取值范围是．
（Ⅲ）依题意知存在x0∈[1，e]，使得f′（x0）+alnx0≤ax0成立，即
成立，
设，则g（x）min≤0，
，
①当a≤1时，由x∈（1，e），g′（x）＞0，得函数g（x）在[1，e]上递增，
∴，得．
②当1＜a＜e时，可知在（1，a）上g′（x）0，
得函数g（x）在（1，a）上递减，在（a，e）上递增，
∴恒成立，∴1＜a＜e．
③当a≥e时，在x∈（1，e）上g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，e]上递减，
∴，∴，又，∴a≥e．
综上可知：．
∴实数a的取值范围是[﹣，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数在某点取得极值的条件，考查了数学转化思想，此题的难点在于把存在x0∈[1，e]，使得f′（x0）+alnx0≤ax0
成立转化为一个函数的最小值小于等于0，考查了学生灵活分析和处理问题的能力．此题属难题．。