三角函数竞赛辅导

第一讲：三角恒等关系
一、引入：
三角恒等式的变形方法和技巧，包括三角恒等式的证明，条件恒等式的证明、化简、求值问题等.
（一）、解题中关注的三大变化，这是打开解决问题之门的钥匙：
⑴角的变化；⑵结构的变化；⑶三角函数名称的变化.
（二）、引例：求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα
+-+= 分析：从“角”看：出现四种角：2,,,αβαβαβ++，
一种比较好的联系方式是：()()2,αβαβαβαβα+=++=+-，形式比较对称；
从“结构”看：通分应该是明智的选择；
从“名称”看为正弦、余弦形式，比较基本，证明方法可以综合法或分析法
证明：()()()()()()sin 2sin 22sin cos 2cos sin sin sin s cos sin sin sin sin co αβαβααβαβααααβααββαα
++-+-+=+-+== （三）、复习各种三角恒等关系式：
1、同角三角函数间的基本关系：
⑴倒数关系：
①sin csc 1θθ⋅=；②cos sec 1θθ⋅=；③tan cot 1θθ⋅=
⑵商数关系： ①sin tan cos θθθ=；②cos cot sin θθθ
= ⑶平方关系：
①22sin cos 1θθ+=；②22tan 1sec θθ+=；③221cot csc θθ+=
⑷“θθcos sin +”,“,cos sin θθ-”“θθcos sin ⋅”的关系
①θθθθcos sin 21)cos (sin 2+=+ ；
②θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-
③2)cos (sin )cos (sin 22=-++θθθθ
2、诱导公式：()2
k k Z παα+∈与关系：
①()()2-12-1sin ,sin =2-1cos ,k k k k k απαα⎧∈⎪⎛⎫+⎨ ⎪⎝⎭⎪∈⎩偶奇
； ②()()212-1cos ,cos =2-1s ,k k k k in k απαα+⎧∈⎪⎛⎫+⎨ ⎪⎝⎭⎪∈⎩偶奇
； ③n ,tan =2cot ,ta k k k απαα∈⎧⎛⎫±⎨ ⎪-∈⎝⎭⎩偶奇
3、两角和与差的三角函数：
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；
②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± 4、“和角公式”的派生公式
①βαβαβα22sin sin )sin()sin(-=-+；
②βαβαβα22sin cos )cos()cos(-=-+
③)tan tan 1)(tan(
tan tan βαβαβα ±=± 5、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中a
b =ϕtan ；且ϕ由()b a ，所在的象限确定.
注:辅助角公式主要解决一次齐次式的相关问题.
6、二倍角公式
①αααcos sin 22sin =；
②ααα22sin 211cos 22cos -=-==αα2
2sin cos -； ③ααα2tan 1tan 22tan -= 7、降次公式 ①21cos sin 22x x -=；②21cos cos 22x x +=；③21cos tan 21cos x x x
-=+ 8、升次公式 ①2sin 2cos 12α
α=-；②2cos 2cos 12α
α=+
注：降次公式与升次公式都是从倍角公式推导出来的，在三角函数的求值、化简、证明方面有着很广泛的应用.
9、切割化弦公式
（1）同角公式：①θθθcos sin tan =
； ②θθθsin cos cot =；③θθcos 1sec =；④θθsin 1csc = （2）变角公式： ①sin 1cos tan 21cos sin x x x x x -==+；②sin 1cos cot 21cos sin x x x x x
+==- 10、半角公式:
①sin 2α=
cos 2α=
③sin (1cos )tan .2(1cos )sin ααααα-===+ 11、和差化积公式:
①s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫
⎝
⎛+2βα
co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα；②s in α-s in β=2 co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, ③co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα；④co s α-co s β= -2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, 12、积差化和公式：
①s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)]；②co s αs in β=2
1[s in (α+β)-s in (α-β)], ③co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)]；④s in αs in β=-2
1[co s(α+β)-co s(α-β)]. 13、万能公式:①⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 12tan 2sin 2ααα；②⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 12tan 1cos 22ααα；③.2tan 12tan 2tan 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα 14、三倍角公式： ①3sin 33sin 4sin 4sin sin sin 33ππαααααα⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； ②3cos34cos 3cos 4cos cos cos 33ππαααααα⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； ③tan 3tan tan tan 33ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、典型例题：
一、基本变形方法：
例1、求证：()()()()()()
sin sin sin 0sin sin sin sin sin sin αβγαβαγβαβγγαγβ++=------ 分析：这是一个轮换对称恒等式，可以采用“各个击破”的方法试一试.
证明：()()()()()()()()()()()
sin sin cos s sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin co αγβαβγαβγααβαγαβαγγβαβαγγβ-+---+==--------
同理：()()()()()()()
cos s sin sin sin 2sin sin sin co βγαβγαββαβγβγβααγ+---+=----- ()()()()()()()
cos s sin sin sin 2sin sin sin co γαβγαβγγαγβγαγββα+---+=----- 三式相加易证明.
例2、求值：cot104cos10-.
分析：化为特殊角的三角函数值
解法1：cos10cos104sin10cos10cot104cos104cos10sin10sin10
--=-= ()80sin 20sin 20802sin 202cos50sin30sin 20sin10sin10sin10
sin sin ---⋅-=== sin 40sin 202cos30sin103sin10sin10
-⋅===. 解法2：()sin140sin 202sin 202sin80cos602sin 20cot104cos10sin10sin10
+---== sin140sin 202cos80sin 603sin10sin10
-⋅=== 解法3：()()sin802sin 8060
sin802sin80cos60
cos80sin 60cot104cos10sin10sin10---⋅+⋅-==
2cos80sin 603sin10
⋅== 评注：运用和角公式配凑，试问题回到基本公式上来. 例3、求证：()22
23cos 4tan t 1cos 4x x co x x ++=- 分析：从等式左右角的差异考虑入手，思路为从左边的角x 化到右边的角4x 也可倒过来处理.
证明：
以下来讨论一些条件不恒等式的证明，变形仍注重三个变化.
例4、已知()sin sin ,1,A A ααβ=+>求证：()sin tan +cos A
βαββ=
-. 分析：条件中的角：,ααβ+；结论中的角：,βαβ+
做联系：()=-ααββ+得到统一“名称“与结构，条件为”整式”情形，结论为“分式”情形，这与“名称”转化为正切匹配.也可从A 入手.
证明1：
证明2：
例5、已知33cos sin 1,cos sin ααββ+=cos sin cos sin -++1cos sin cos sin ββββαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
求的值. 分析：观察条件，利用2222sin cos 1sin cos 1ααββ+=+=，改写“1”
，可将条件式子化为奇次式. 解析1：33223322cos sin sin cos ,cos sin cos sin sin cos cos sin ααααββααββββ⎧+=+⎪⎪⇒⎨⎪+=+⎪⎩32223333cos cos cos sin sin sin (1)cos sin cos cos sin sin (2)cos sin ααβββαββαββαββ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩ (2)(1)可得：2222222222cos cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin sin 11cos cos sin sin cos sin cos sin 0cos sin cos sin cos sin cos sin -+cos sin cos ααββαβββαα
ββββααααββββα
αααββββααα++++=⎛⎫⎛⎫⇒++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭+10sin α⎛⎫= ⎪⎝⎭
解析2：利用柯西不等式解，考虑取等条件，找条件的等价式.(昭奕提供)
()33332cos sin cos sin 1cos cos sin cos sin αααααββββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
例6、已知()()22
2cos sin ,sin cos ,x y a x a y a a θθθθ-=-+-=求证：2222x y a +=.
证明：
例7、已知sin sin 2cos cos 2,tan tan 2x y a x y b x y c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
求证：()()222a b ac c a b +=+
分析：基本思路是消去x ，y .
一般的对于条件sin sin cos cos m x n y p m x n y q +=⎧⎨
+=⎩，通常采用平方和求()cos x y -，若m n =，则又可用和差化积公式求tan
2
x y +. 证明：
变题：（1998年新加坡）设A ,B ,C 同时满足sin sin sin cos cos cos 0.A B C A B C ++=++= 求证：222
cos cos cos A B C ++为定值.(高中数学联赛讲义P 113-46题)
以下介绍几个三角恒等变形中的技巧运用：
二、技巧运用一----用好对偶式和配对原理.
例8、求值：
(1)cos 6cos 42cos 66cos 78;
(2)sin18;
(3)sin18sin 54;(4)sin 36sin 72
（奥博P81）
评注：在此题基础上，注意利用诱导公式与积化和差公式产生的式子，表达其灵活性. 51(1)cos 72sin18;4(2)sin18sin 54
cos36cos 72sin18
cos36sin 54cos 7232321sin sin
cos cos sin cos sin cos ;
10105510510
54(3)sin 36sin 72
cos18cos54sin 36cos18cos54sin 722sin
sin c 55ππππππππππ-==
=============332os cos s sin cos sin 10101051054213(4)cos
cos ,cos cos 5525532(5)cos
cos 551(6)cos
52
co πππππππππππππ===-=-=-==
例9、求值：(1)sin1sin3sin5sin87sin89;
(2)sin1sin 2sin3sin88sin89;
分析：⑴利用配对原理解题; ⑵不断使用公式：sin 34sin sin sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来减少角.
例10、求值：44443515cos cos cos cos π
πππ++++
分析：此题使用配对原理
例11、求值：
39 cos cos cos
131313
πππ
++
分析：此题中配对式子与例6不同，也可用构造方法，实际运用中有时并不简单.
三、技巧运用二：裂项技巧：
例12、（第8届IMO 试题）求证对每一个n N *
∈和每一个实数(0,1,2,;2k
n x k n n π
≠
=为任意整数）有：
111
1cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2n
n
x x x x x
x
++++
=-.（奥博P 86） 分析：此题左边为n 项和，右边为2项之差，故尝试左边“裂项”，希望消去多项，实现证明.
证明：,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x
x x x x x x x x -=-=-=
同理x x x
4cot 2cot 4sin 1
-=
……
x x x
n
n n
2cot 2cot 2sin 11-=-
评注：“裂项相消法”运用广泛，在解题中具有普遍性，类似可证以下各题：
()()()()2211tan 1tan tan 2tan 2tan 3tan 1tan tan 2tan +2tan 22tan 22tan 2cot 2cot 2122322
111
(4)cos 0cos1cos1cos 2n n n n n n n n n n n α
ααααααα
αααααααββααβαβαββ+++++-=
-++
+=-+⎛
⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++++++=
+++（）；（）；
s i n s i n （）s i n s i n s i n s i n s i n cos1cot1cos88cos89
=
证明：⑴ ⑵
⑶ （参考专题讲座-三角函数P 5）
对于求和（求积）而言，能裂项相消再好不过，看看许多平凡的式子都具有裂项相消的功能，举例说
明：
1、考虑递推形式的等式：s in αco s βk =21[s in (βk +α)-s in (βk -α)],k N *∈ 出发点：积化和差公式：s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)]=2
1
[s in (β+α)-s in (β-α)]
探讨：将β看做一个关于n 的函数，即有：
s in αco s βn =
21
[s in (βn +α)-s in (βn -α)] s in αco s βn +1=2
1
[s in (βn+1+α)-s in (βn +1-α)]
再令βn +1-α=βn +α，即βn +1=βn +2α，
结论：这样积化和差公式就有了裂项相消的功能了，即取βn =β1+（n -1）2α，则：
()()
112sin sin cos cos cos 2sin n n βαβαβββα
+--+++=
同理类比：s in αs in β=
2
1
[ cos (β-α)-cos (β+α)] 取βn =β1+（n -1）2α,则：
()()
112s s sin sin sin 2sin n n co co βαβαβββα
--+++
+=
2、考虑递推形式的等式：
11
cot 2cot 2,sin 2k k k
x x k N x -*=-∈ 出发点：1
cot cot 2sin 2x x x
-=
证明：
2212cos cos 22cos cos 2cot cot 2sin 22sin cos 2sin cos sin 2x x x x
x x x x x x x x
-==-=- 探讨：11cot cot 2sin 21cot 2cot 41111
cot cot 2sin 4sin 2sin 4sin 8sin 21cot 2cot 2sin 2n n
n n n x x x x x x x x x x x x
x x x
-⎧-=⎪⎪
⎪-=⎪⇒++++
=-⎨
⎪
⎪
⎪=-⎪⎩ 3、考虑递推形式的等式：
1111111tan cot tan ,222222k k k k k k
x x x k N *++++=-∈ 出发点：2cot cot tan 22
x x
x =-
探讨：222211
11tan cot cot 2222111tan cot cot 222222
111tan cot tan ,222222n n n n n n x x x x x x k N x x x *--⎧=-⎪⎪⎪=-⎪
∈⎨⎪⎪
⎪=-⎪⎩ 结论：
223311111tan tan tan tan t cot 222222
2222n n n n
x x x x x
co x ++++
=- 4、考虑递推形式的等式：3
11
13sin 3sin 3sin ,3433k k k k k k k N α
αα+*
-⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
出发点：3
sin 33sin 4sin ααα=-； 探讨：()3
3
1
sin 33sin 4sin sin 3sin sin 34
αααααα=-⇒=
- 写出递推裂项式：()3
323111sin 3sin sin 3413sin 3sin 3sin 3433,13sin 3sin 3sin 3433k n n n
n n n k N ααααααααα*+-⎧=-⎪⎪
⎛⎫
⎪=- ⎪⎪∈⎝⎭
⎨⎪⎪
⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
结论：3
3
3
11sin
3sin 3sin 3sin sin 33
343n n n n α
α
ααα+⎛⎫
++
+=- ⎪⎝⎭
5、考虑递推形式的等式：11sin 2cos 2,2sin 2k k
k
k N ααα
+*
=∈ 出发点：αααcos sin 22sin =
探讨：1sin 2sin 22sin cos cos 2sin αααααα=⇒=，将之写成递推裂项式：11sin 2cos 2,2sin 2k k k
k N ααα
+*
=∈ 结论：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n n αααα
αα
+=.
6、考虑递推形式的等式：12cos 21
2cos 21,2cos 21
k k
k
k N ααα+*+-=∈+ 出发点：2cos22cos 1αα=-
探讨：()()222cos21
cos22cos 12cos214cos 12cos 12cos 12cos 12cos 1
ααααααααα+=-⇒+=-=+-⇒-=
+，
将之写成递推裂项式：12cos 212cos 21,2cos 21
k k
k
k N ααα+*
+-=∈+ 结论：()()()
()2cos 21
2cos 12cos 212cos 412cos 21.2cos 1n n
αααααα+----=+
7、引申：对具有裂项相消功能的式子变形，从而构造恒等式或不等式.
()()
()()()()()sin 1sin 1cos cos 1sin sin sin1
tan 1tan cos cos 1cos 1cos cos 1cos n n n n n n n n n n n n n n
++-++-=-==
+++这样可以构造：
()()
()tan 1111
1
088,cos0cos1cos1cos 2cos 2cos3
sin1
cos cos 1n n n N n n *++++
+
=
≤≤∈+ 特别的，取n =44，88，可得：
()
111
1
1s 1cos 0cos1cos1cos 2cos 2cos3cos 44cos 45
c c +++
+
=
()
2111
1cos1
2cos0cos1cos1cos 2cos 2cos3
cos88cos89sin 1
+++
+
=
例13、已知cos tan ,cos tan ,cos tan αββγγα===,则
2224442sin sin sin s s s 4sin 18co co co αβγαβα======
（参考专题讲座《三角函数》70）
分析：利用三角公式将三角恒等式转化为代数方程来解，有利于从复杂的公式变形中抓住代数本质，从而简化证明. 证明：
例14、已知：44sin cos 1
,x x a b a b +=+求证：()
4421
2121sin cos 1,.n n n n n x x n N a b a b *---+=∈+ （参考专题讲座《三角函数》70跃虎）
证明1：
证明2：利用不等式的方法来证明等式，有时是迫不得已，有时是出奇制胜.
§2三角形中的恒等关系
（以下参考《高中数学专题讲座—三角函数》跃虎编著）
以下介绍三角形的常见恒等关系.这是三角形中的一些基本的数量关系，从各方面刻画三角形中的种种不变量.牢固掌握这些恒等关系，将有益于我们看出问题本质，发现问题的源泉. 一、基本恒等式：
1、(),,,0,A B C A A B C ππ++=∈且
分析：这是三角形中最最基本的恒等关系，恒等变形中不断被利用.对此可进一步限定： 当ABC 为锐角三角形时，,,0,
2A B C π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
； 当ABC 为直角三角形时，,,A B C 中恰有一个角是直角； 当ABC 为钝角三角形时，,,A B C 中恰有一个角是钝角. 2、正弦定理：
===2sin sin sin a b c R A B C
（R 为△ABC 外接圆半径） 注：⑴从理论上正弦定理可解决两类问题：
①两角和任意一边，求其它两边和一角；
②两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

⑵可用公式
R A
a
2sin =求三角形外接圆的半径； ⑶注意正弦定理与等比性质的综合应用； 如
A
a
C
B A c b a sin sin sin sin =
++++,
C c
B A b a sin sin sin =++等
⑷可用角的正弦值表示边：C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===)0(>k ⑸可用边表示角的正弦值：()0sin ,sin ,sin >===t tc C tb B ta A
3、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos b a c ac B a b c bc A c a b ab C
=+-=+-=+-；
；
注：⑴熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
⑵当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
⑶变形bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=222
cos 2a b c C ab
+-=
⑷利用余弦定理 可以解决的问题：①已知三边，求三角； ②已知两边一角，求第三边 4、射影定理：cos cos ;cos cos ;cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+ 以上三定理等价
证明：（见高中数学专题讲座—三角函数-跃虎P 76）： ⑴ 正弦定理⇒射影定理
⑵ 射影定理⇒正弦定理
⑶ 余弦定理⇒射影定理
⑷ 射影定理⇒余弦定理
5、正切定理：tan
tan tan
+222;;tan tan tan 222
B C C A A B
b c c a a b B C C A A B
b c c a a b +++++=
==------ 证明：利用正弦定理，再由积化和差公式得之：
2sin
cos tan
sin sin 2222sin sin sin sin sin 2cos sin tan 222
B C B C B C
a b c b c B C R B C B C B C
A B C b c B C +-+++===⇒===+----：
6、半角公式：
sin
tan 2
22A
A A
==
=说明：利用半角公式与余弦定理可得，注意此处()1
2
p a b c =++
7、模尔外德公式：cos
sin 22;cos sin 22
A B A B a b a b C C c c --+-== 证明：由正切定理tan +2tan 2
A B a b A B
a b +=-- 由正弦定理：sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin sin 22sin 2sin s 22a b c a b c A B C A B C
A B A B a b A B C C c C co -==⇒=-+---⇒== 相乘，相除可得之：
注：该公式中包含了三边，,,a b c 与三个角,,A B C ,通常用来检验所解三角形是否正确.
8、面积公式：
S △ABC =21 a ·h a =21ab sin C =R
abc 4 （R 是△ABC 外接圆的半径）=pr （p =2
1（a +b +c ），r 是△ABC 切圆的半径） =2R 2
·sin A ·sin B ·sin C ()
()
22222
1sin sin 1=2sin 21()2=tan tan tan 222
sin sin sin cot cot cot B C a B C p a b c A B C p Rr A B C a b c A B C
=+⎫==++⎪⎭
=++++=++
注：三角形的面积公式表达式很多，此处只是小部分，主要使大家了解三角形的面积是联系许多关系的纽带.
9、几个常用长度的计算方法：
2=
,,,42cos 2a a a abc s S R r h m S p a bc A t b c =====+
注1：
注2：
注3：
二、三角形中常见恒等式
1、sin sin sin 4cos cos cos 222
A B C A B C ++= 证明：
2、sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=
3、333sin 3sin 3sin 34cos
cos cos 222
A B C A B C ++=-
4、sin 4sin 4sin 44sin 2sin 2sin 2A B C A B C ++=-
5、cos cos cos 14sin sin sin 222
A B C A B C ++=+
6、cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C ++=--
7、333cos3cos3cos314sin
sin sin 222
A B C A B C ++=-
8、cos 4cos 4cos 414cos 2cos 2cos 2A B C A B C ++=--
9、tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
证明：
10、cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=
11、tan
tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A ++=
12、cot
cot cot cot cot cot 222222
A B C A B C ++=
13、222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+
证明：
14、222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-
15、sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin A B C A B C A B C A B C ++=
证明1：
证明2：
16、cos sin sin sin cos sin sin sin cos 1cos cos cos A B C A B C A B C A B C ++=-+
17cos cos cos 4sin sin sin a A b B c C R A B C ++=、
证明：
184cos
cos cos 222
A B C p R =、 证明：
19tan
tan tan 222A B C r p
=、
20sin sin sin 2224A B C
r
R 、
证明1：
证明2：
证明3：
21tan
tan 22A B p c p
-=、 证明：
cos cos cos 22a A b B c C r a b c R
++=++、
23sin sin sin =
p A B C R
++、
24cos cos cos =1+r A B C R
++、
以上24个恒等式是三角形中的一些最基本，最常用的恒等式，其中许多均有相似性，有些还是等式链，如：cos cos cos =14sin sin sin =1+A B C r A B C +++，大家可以自行总结、归纳、使之有条理，更易
于理解、记忆和应用.也可以自己收录一些恒等式.
一些三角形的恒等变形问题的求解
解决三角形恒等变形问题要时刻注意隐含条件,,,0A B C A B C π++=>与其上述的一些基本定理，基本公式的灵活应用.
例1、在ABC 中，已知sin sin sin 0,x A y B z C ++=求
()()()()()()cos cos cos cos cos cos y z A z x B x y C y A z z B x x C y +++++++的值. 分析：考虑从三角形中的基本变换入手.
解析：
例2、在ABC 中，已知2cos ,sin sin sin sin sin ,22B B a b C A C C A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
求这个三角形各个角的度数（不用反三角函数表示）.
分析：条件有俩，由第一个联系射影定理，可以使问题打开.
解析：
例3、在ABC 中，已知3331
181tan tan tan ,tan tan tan ,6216
A B C A B C ++=-++=-求A ,B ,C 的大小. 分析：由第一个条件出发，利用三角形中的基本恒等式构造关系并变形，转化为一元三次方程的根的问题. 解析：
例4、在ABC 中，已知cos cos a b c B c A -=-，试判断三角形的形状.
分析：利用条件判断三角形形状的基本思路有两个：角化边或者边化角.
解析1：
解析2：
例5、在ABC 中，若9,a b c a b c h h h r h h h ++=其中，，为三边上的高，r 为三角形切圆的半径，试确定三角形的形状.
分析：化为纯三角形式，看起来太麻烦了，化为边的关系试试看.
解析：
例6、在ABC 中，求()()()333sin sin sin a B C b C A c A B -+-+-的值.
分析：解决形如()sin c A B -的问题，通常是ABC 中的一个常见式子()222sin sin A B a b c C
--=的一个应用. 解析：先证明引理：()222sin sin A B a b c C
--=
注：上述引理是一个很有用的公式，利用它很容易构造一些恒等式，如在ABC 中，
()
()
()()
()
12345
例7、在ABC 中，实数x 满足()()()3cos cos cos cos 0x A x B x C x ++++=,求证：
()()
22221tan cot cot cot ;2sec csc csc csc .x A B C x A B C =++=++ 分析：关键是⑴式，目标是将x 分离出来，有⑴2
+1即可得到.很好的三角恒等变形题. 解析：。