数学高三必修同步练习题抛物线

数学高三必修同步练习题抛物线
|MF|=4，则点M的横坐标x=________.
解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=-1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3. 答案：3
7.(2019安徽)已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为________.
解析：法一：如图，以(0，a)为圆心，a为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C存在.
联立y=x2，x2+(y-a)2=a有(y-a)(y-a+1)=0.
即y=a或y=a-1.故a-10，即a1.
法二：当C与原点重合时，ACB最小.故若存在C使得ACB 为直角，则2，即OAOB0，故a2-a0，又a0，所以a1.
答案：[1，+)
8.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程.
解：如图，依题意设抛物线方程为y2=2px(p0)，
则直线方程为y=-x+12p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+p2+x2+p2，
即x1+p2+x2+p2=8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由y=-x+12p，y2=2px，消去y得x2-3px+p24=0.
x1+x2=3p.
将其代入①得p=2，所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px时，同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
综上，抛物线的方程为y2=4x.
9.(2019河南洛阳期中考试)已知抛物线C：x2=2py(p0)，O 为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y=x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|=42.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA=aAF，MB=bBF，对任意的直线l，a+b是否为定值?若是，求出a+b的值;否则，说明理由.
解：(1)联立方程y=xx2=2py得x2-2px=0，故O(0,0)，
N(2p,2p)，|ON|=4p2+4p2=22p，
由22p=42得p=2，抛物线C的方程为x2=4y.
(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为
y=kx+1，则直线l与x轴交点为M-1k，0
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y=kx+1x2=4y得x2-4kx-4=0，
=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0，
x1+x2=4k，x1x2=-4.
由MA=aAF，得x1+1k，y1=a(-x1,1-y1)，
a=y11-y1=-kx1+1kx1，同理可得b=-kx2+1kx2，a+b=-kx1+1kx1+kx2+1kx2=-2+x2+x1kx1x2
=-1，
对任意的直线l，a+b为定值-1.。