成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题---二次函数定值问题专练

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数定值问题专练
1.如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,82,8
==，现
OA cm OC cm
有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
(1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
2.如图，抛物线y=ax2+c（a≠0)经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线
y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2)且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N．
（1)求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM;
（3)探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k 取何值，
的值都等于同一个常数．
3。

如图,在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54
y x m =+ （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （3-，0），与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0）经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．
（1）求m 的值及抛物线的函数表达式;
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C,E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点,试探究2112
P P M M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．
4.如图,在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝181x
2－94x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t （单位：秒)
(1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
(2）当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程；
(3)当0＜t ＜29时，△PQF 的面积是否总为定值?若是，求出此定值；若不是,请说明理由；
(4）当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．
5.如图，直线y=kx+b(b ＞0)与抛物线相交于点A(x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴正半轴相交于点D ，与y 轴相交于点C,设△OCD 的面积为S ，且kS+32=0．
（1）求b 的值；
（2）求证：点（y 1，y 2）在反比例函数
的图象上；
（3）求证：x 1•OB+y 2•OA=0．
O A B
x y D Q C F P E。