高考数学4月命题比赛参赛试题3

浙江省杭州市重点高中 高考数学4月命题比赛参赛试题3
（考试时间120分钟，满分150分）
参考公式：
如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式
()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， Sh V 3
1
=
则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高
()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，， 球的表面积公式
台体的体积公式 2
4S R π=
121
()3
V h S S = 球的体积公式
其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 34
3
V R π=
h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）已知U 为全集，I B A ,,都是U 的子集，且I B I A ⊆⊆,，则=)(B A C I （ ）
（A ）{}B x A x U x ∉∉∈且| （B ）{}B x A x U x ∉∉∈或| （C ）{}B x A x I x ∉∉∈且| （D ）{}B x A x I x ∉∉∈或|
（2）（全品改编）执行如图1的程序框图，输出的T 的值
为（ ）
（A ）12 （B ）20 （C ）30 （D ）42 （3）等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”
是“63a a <”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）（课本改编）设i 为虚数单位，则下列运算结果不是．．
纯虚数的是（ ） （A ）
i
i -+11 （B ）)1)(1(i i -+ （C ）2)1(i + （D ）2
)1(i - （5）已知m 是平面α的一条斜线，点α∉A ，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可
能出现的是（ ）
（A ）α//,l m l ⊥ （B ）α⊥l m l ,// （C ） α⊥⊥l m l , （D ） α//,//l m l （6）（2007模拟题改编）已知点)10sin ,10(cos ︒︒A 、)40cos ,40(sin ︒︒B ，则直线AB 的
倾斜角等于（ ）
（A ）︒135 （B ）︒120 （C ）︒105 （D ）︒95
（7） 已知OAB ∆三顶点坐标分别是)0,0(O 、)1,1(A 、)0,2(B ， 直线1=+by ax 与线段
OA 、AB 都有公共点，则对于b a -2下列叙述正确的是 （ ）
（A ）有最大值而无最小值 （B ）有最小值而无最大值 （C ）既有最大值也有最小值 （D ）既无最大值也无最小值 （8）如图2，正方体D C B A ABCD ''''-中，
M 为BC 边的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面 C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点
P 的轨迹是（ ）
（A ）两段圆弧 （B ）两段椭圆弧 （C ）两段双曲线弧 （D ）两段抛物线弧
（9）（2011模拟题改编）ABC ∆中，内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，满足2
2
2
2c b a =+，
如果2=c ，那么ABC ∆的面积等于（ ）
（A ）A tan （B ）B tan （C ）C tan （D ）以上都不对
（10）（2011模拟题改编）已知)(x f 是定义在],[b a 上的函数，其图象是一条连续的曲线，
且满足下列条件：)(x f 的值域为G ，且],[b a G ⊆；对任意],[,b a y x ∈都
有
B '图2
y x y f x f -<-)()(．那么，关于x 的方程x x f =)(在区间],[b a 上根的情况是
（ ） （A ）可能没有实数根 （B ）有且仅有一个实数根
（C ）恰有两个实数根 （D ）可能有无数多个实数根
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）（课本题改编）若n
a
a )1(3
2
+
的展开式中含3a 项，则最小自然数_________=n ．
（12）（2012北京高考题改编）如图3, ABC ∆与ACD
∆都是等腰直角三角形, 且2==DC AD ,
BC AC =, 平面⊥DAC 平面ABC , 如果以ABC 平面为水平面, 正视图的观察方向与AB 垂直,
则三棱锥ABC D -左视图的面积为__________.
（13）（2011模拟题改编）编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、
白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有 ______种．
（14）首项11=a 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，对于一切*∈N k ，总有
2)(2k k S S = 成立，则________=n a ．
（15）（全品改编）已知双曲线116
92
2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，定点)3,1(A ，点P 在双曲线的右支上运动，则PA PF +1的最小值等于________． （16）（2011温州模拟题）如图4，线段AB 长度为2，点,A B
分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为 一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐 标原点，则OD OC ⋅的取值范围是 .
（17）实数c b a >>且c b a -=+1，)1(-=⋅c c b a ，则c 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
D
B
C
A
图3
图4
（18）（2012杭州高三期中联考改编）（本题满分14分）
平面直角坐标系中，ABC ∆满足)sin ,sin 3(θθ-=AB ，)sin ,(cos θθ=AC ， （Ⅰ）若BC 边长等于1，求θ的值（只需写出)2,0(π内的θ值）； （Ⅱ）若θ恰好等于内角A ，求此时内角A 的大小． （19）（2010高考模拟改编）（本题满分14分）
某种鲜花进价每束5.2元，售价每束5元，若卖不出，则以每束6.1元的价格处
理掉．某节日需求量X （单位：束）的分布列为
X 200 300 400 500
P
20.0 35.0 30.0 15.0
（Ⅰ）若进鲜花004束，求利润Y 的均值． （Ⅱ）试问：进多少束花可使利润Y 的均值最大？ （20）（本题满分14分）
如图5，ABC ∆的三边长分别为6=AC 、8=AB 、10=BC ，O '为其内心；取A O '、
B O '、
C O '的中点A '、B '、C '，并按虚线剪拼成一个直三棱柱C B A ABC '''-（如
图6），上下底面的内心分别为O '与O ；
（Ⅰ）求直三棱柱C B A ABC '''-的体积；
（Ⅱ）直三棱柱C B A ABC '''-中，设线段O O '与平面C B A '交于点P ，求二面角
C AP B --的余弦值．
（21）（全品改编）（本题满分14分）
定长等于62的线段AB 的两个端点分别在直线x y 26=和x y 2
6
-=上滑 动，线段AB 中点M 的轨迹为C ；
A B
C
A '
B '
C '
O '
图5
B B
C ' 图6
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点)1,0(的直线l 与轨迹C 交于Q P ,两点，问：在y 轴上是否存在定点T ， 使得不论l 如何转动，⋅为定值．
（22）（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）（本题满分16分）
设函数41)(2
+
=x x f ，)2ln(2
1
)(ex x g =，（其中e 为自然底数）； （Ⅰ）求)()(x g x f y -=（0>x ）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数b kx x h +=)(使得)()(x h x f ≥且)()(x g x h ≥对一切
0>x 恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列{}n a 中，11=a ，)2)((1≥=-n a g a n n ，求证：83
)(1
1
1∑=++<⋅-n
k k k k a a a ．
2013年高考模拟试卷数学卷（理科）
答题卷
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的。

11 ________. 12 ________. 13________ .14________. 15________. 16________. 17____ ____.
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

学校 班级 姓名 考号
三、解答题：本大题共5小题，共72分，
（18）解：（Ⅰ）因为)0,sin 3(cos θθ+=
)6
sin(2π
θ+=，-------2分
若BC 边长等于1，则21)6sin(±=+
π
θ，在)2,0(π内3
2πθ=
或π或35π
----5分 由于与不共线，所以3
2πθ=或35π
．----------------------------7分
（Ⅱ）A =cos A A A A sin 2sin cos sin 32+-=2sin cos 3A
A +-=，--10分
所以A A sin cos )32(=+，32tan +=A ---------------------------12
分
所以12
5π
=
A ．-----------------------------------------------------14分 （19） 解：（Ⅰ）销售量S （单位：束）的分布列为
S
200
300
400
P 20.0 35.0 45.0
所以325)(=S E ，-----------------------------------------------4分 而3604.3-=Z Y ，所以7453603254.3)(=-⨯=Y E ．--------------7分
（Ⅱ）设进n （500≤n ）束花，当500400≤<n 时，销售量S （单位：束）的
分布列为
S 200 300 400
n
P 20.0 35.0 35.0 15.0
可得28515.0)(+=n S E ；而90139.0)(+-=n Y E ；
同理可对其它区间讨论后得
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<+-≤<+≤<+≤=)
500400(90139.0)400300(49363.0)300200(13682.1)
200(5.2)(n n n n n n n n Y E ；-------------------------11分
易知，400=n 时，)(Y E 取最大值745．------------------------------14分 （20）解：（Ⅰ）易知ABC ∆为直角三角形，且其内切圆 半径等于2，--------1分 所以直三棱柱C B A ABC '''-的高等于1，-----------------------------2分
体积61)432
1(=⨯⨯⨯=V ； ---------------------------------------5分 （Ⅱ）如图7以A 为原点建立空间直角坐标系，则
)1,0,4(='B A ，)0,3,0(=，设平面C B A '
的法向量),,(z y x m =，则⎩⎨⎧==+0
30
4y z x ，
所以)4,0,1(-=--------------------7分 再设),1,1(0z =，则由0=⋅得
410=
z ；即)4
1
,1,1(=；-----------------------------------------10分 而)0,0,4(=AB ，所以若设平面ABP 的法向量),,(z y x n '''=，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧='+'+'='041
04z y x x ，可得)4,1,0(-=；-------------------------------12分 所以><n m ,cos 1716
=，而二面角C AP B --为钝角， 所以其余弦值等于17
16
-．---------------------------------------------14分
（21）解：（Ⅰ）设)2
6
,(),26,
(),,(2211x x B x x A y x M -， 则x x x 221=+、6
421y x x =
-；--------------------------------2分
代入62)(4
6
)(221221=++
-=
x x x x AB 得轨迹C 的方程为 2466162
2=+x y ，即14
922=+x y ；-----------------------------5分 （Ⅱ）（1）若l 不与y 轴重合，设直线l 方程为1+=kx y ，代入椭圆C 的方程得 0328)94(2
2
=-++kx x k ，设)1,(),1,(4433++kx x Q kx x P ， 则948243+-
=+k k x x ，9
432
2
43+-=⋅k x x ；---------------------7分 设点),0(t T ，则⋅)1()1(4343t kx t kx x x -+⋅-++⋅=
2
43432)1())(1()1(t x x t k x x k -++-++=
9
4)
94()1()1(8)1(322
2222++-+--+-=k k t t k k 9
4]
)1(932[])1(4840[2222+-+-+-++-=k t k t t ------10分
使TQ TP ⋅为定值，则 4
9
)1(4840)1(93222=
-++--+-t t t ，解得929=t 即对于点)929,
0(T 总有TQ TP ⋅9
97
16⨯⨯=
；----------------------12分 （2）当l 与y 轴重合时，)3,0(),3,0(-Q P ，对于点)929,0(T 也有TQ TP ⋅9
97
16⨯⨯=
， 故在y 轴上存在定点)9
29
,0(T 使得TQ TP ⋅为定值．---------------14分
（22）解：（Ⅰ）0>x 时x x x x y 2142122-=-='，易知210<<x 时0<'y 、2
1>x 时0>'y ；所以21
=
x 时求)()(x g x f y -=取最小值等于0；-------------4分 （Ⅱ）由题Ⅰ易知，21)21()21(==g f ，所以21
)21(=h ；----------------6分
所以可设221)(k kx x h -+=，代入)()(x h x f ≥得04
122
≥-+-k kx x
恒成立，所以0)1(2
≤-=∆k ，所以1=k ，x x h =)(；--------------8分 此时设)2ln(21)(ex x x G -
=，则x
x G 21
1)(-
='， 易知0)2
1()(=≥G x G ，即)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；
综上，存在x x h =)(符合题目要求，它恰好是)()(x g y x f y ==，图象的公切线． （如图8所示）---------------------------------------------10分
（Ⅲ）先证{}n a 递减且
)2(12
1
≥<<n a n ； 由题（Ⅱ）知x x g ≤)(，所以
11)(--≤=n n n a a g a ，即{}n a 为递减数列；
又11=a ，2
1
212ln 212>+=
a ，所以 图8
21
)21()(23=>=g a g a ，…
因为当21>k a 时总有21
)21()(1=>=+g a g a k k ，
所以12
1
11=<<<<<-a a a n n ；------------------------------13分
所以
∑=++⋅-n
k k k k
a a a
1
1
1)(∑=+++⋅-<n
k k k k k a a a a 1112)(∑=+-=n
k k k
a a 1
2
1
22 8
3241
12
2
1
2
1=-
<-=+n a a ．-------------------------------------16分。